利用f(f(x))=x的性质巧解两道高考题

利用(())f f x x =的根的性质巧解高考压轴题
南昌外国语学校 梁懿涛
以下是两道2013年高考压轴题：
题1.（2013年四川理10）设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。

若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[1,]e （B ）1[1,1]e -- （C ）[1,1]e + （D ）1[1,1]e e --+
题2.（2013年江西理21）已知函数1()=(12)2
f x a x --，a 为常数且>0a . （1）证明：函数()f x 的图像关于直线1=2
x 对称； （2）若0x 满足00(())=f f x x ，但00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；
（3）对于（2）中12,x x 的和a ，设3x 为函数(())f f x 的最大值点，11(,(()))A x f f x ，22(,(()))B x f f x ，3(,0)C x ，记ABC ∆的面积为()S a ，讨论()S a 的单调性．
这两题不约而同的利用二阶迭代函数(())y f f x =的不动点，即(())f f x x =的根来出题．因为
10000(())()()
f f x x f x f x -=⇔=（*），所以此问题可以转化为()y f x =与1()y f x -=的交点问题，得到试题的简易解法．（注：（*）处10()f x -表示满足0()f x x =的任意x ）
先给出以下定理：
引理 1 函数()y f x =与它的反函数1()y f x -=的图像的交点，或者在直线y x =上，或者关于直线
y x =对称地成对出现．
证明：设(,)a b 是()y f x =与它1
()y f x -=的图像的交点，即1()()b f a b f a -=⎧⎨=⎩，从而1()()a f b a f b -⎧=⎨=⎩，即(,)b a 也是()y f x =与它1()y f x -=的图像的交点．显然点(,)a b 与点(,)b a 关于直线y x =对称．特别地，当a b =时，点(,)a b 与点(,)b a 重合在直线y x =上．
引理2 如果函数()y f x =是单调增函数，那么()y f x =与它的反函数1()y f x -=的图像的交点必定
在直线y x =上．
证明：由引理1，假如()y f x =与1()y f x -=的图像存在不在直线y x =上的交点(,)a b ，则(,)b a
也
是它们交点，所以()()f a b f b a =⎧⎨=⎩
．若a b >，则由()y f x =是单调递增，得()()f a f b >，即b a >，矛盾；同理若a b <，可得a b >，也矛盾．从而假设不成立，()y f x =与1()y f x -=的图像的交点必定在直线y x =上．
引理3 若0x ，0()f x 使得0()f x 及0(())f f x 有意义，且0x 满足00()=f x x ，那么0x 也满足00(())=f f x x ． 证明：若00()=f x x ，则000(())=()=f f x f x x 成立．
引理4 如果函数()y f x =是单调函数，且存在0x ，使得00(())=f f x x ，则00()=f x x ．
证明：只证()y f x =单调递增的情形，()y f x =单调递减时同理可证．
假设00()f x x ≠，若00()>f x x ，000(())>()>f f x f x x ，与00(())=f f x x 矛盾；若00()<f x x ，000(())<()<f f x f x x ，也与00(())=f f x x 矛盾．从而假设不成立，即00()=f x x ．
再运用以上定理来解以上两道高考压轴题：
题1.解析：本题等价于存在0[0,1]y ∈，使得00(())f f y y =有解，也即1()()f x f x -=在[0,1]x ∈上
有解．因为()f x =1、2，问题等价于当[0,1]x ∈时，()y f x =的图像
与直线y x =x =，得2x e x x a +-=．令2(),[0,1]x x e x x x ϕ=+-∈，
()12x x e x ϕ'=+-，再令()12x h x e x =+-，()2x h x e '=-，显然()h x 在[0,ln 2]单调递减，在[ln 2,1]单调递增，所以()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->，即()0x ϕ'>，所以()[(0),(1)][1,]x e ϕϕϕ∈=，即[1,]a e ∈．选A.
题2.解析：（1）略；
（2）由1()=(12)2
f x a x --可得，当1(,]2x ∈-∞时，()=2f x ax ，1()=,(,]2x f x x a a -∈-∞；当1[,)2x ∈∞时，()=22f x a ax -，1()=1,(,]2x f x x a a
--∈-∞．由(())=f f x x ，得1()=()f x f x -．结合引理3、4，得2=12x ax a -或222x a ax a -=．解得12241a x a =+，2
22441
a x a =+．考虑到()f x 与1()f x -的定义域，必须有121,(,]2x x ∈-∞且12,(,]x x a ∈-∞，得12a ≥
．又依题意12x x ≠，12a ≠，综上分析，12a >． （3）由1()=(12)2f x a x --，得1(())=(12())2
f f x a f x --，结合()(,]f x a ∈-∞及12a >，可知
当1()02f x -=，即1()=2f x 时，(())f f x 取得取大值．由11(12)=22
a x --，解得14x a =或414a a -，即314x a =或414a a
-．（以下同标准答案，略）。