数学物理方程第二章分离变量法培训课件
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习题：习题1（1）、（3）；习题2；习题3（2）；
§2.2 稳定场齐次问题的分离变量法
1 矩形区域上拉普拉斯方程
【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边 y b 处于较高温
度 U ，y 0 边处于冷却介质中而保持较低的温度u 0 , 其他两
边 x 0 ，xa 温度保持为零， 求解这横截面上的稳定温
特点：边界条件 均非齐次
u x 0 p 0 u x a P(0 y b )
uy 0u 0
u U(0xa ) y b
让 ( x , y ) 和 w ( x , y ) 分别满足拉普拉斯方程,并各有
一组齐次边界条件，即
xx x
0
y
y
p
0
0
xa
P
y 0 0
0 yb
w w
xx
x0
XX 0
得到固有值问题 X(0)0 X(a)0
和常微分方程
YY0
得固有值：
n na222
(n1,2,.....)
固有函数：
Xn(x)
sin
nx
a
(n1,2,.....)
ny
ny
而
Yn(y)Anea Bnea
于是有
un(x,y)(A nena yBnena y)sinnax
叠加得
u(x,y)n 1(A nen a yB nen a y)sinnax
un(x,t) (Anconlsa tBnsin nla)tsin
nx
l
(n=1,2,3,…)
由叠加原理，一般解为：
u(x,t) n 1(Anconsla tBnsin nla)tsin
nx
l
现在要求出叠加系数 A n和 B n
满足初始条件
u t0 (x)
ut t0 (x) 0 x l
u ut((xx,,00 ))n n1 1 AB nsnin nn llasxin nl(x)x(x)
方程、边界 条件均齐次
设u(x,t)X(x)T(t) 代入上述波动方程和边界条件得
X T a 2 X T 0
X
(0
)T
(t
)
0Leabharlann Baidu
X
(l )T
(t)
0
用 a 2 X T 遍除 T X
a 2T X
X(0)X(l)0
T X a 2T X
两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常
只有sin l 0才能保证 C 2 0 ，方程有非零解
于是 l n 或 n 此时 Xn(x)Cnsinnl x
n 2 l2
2
n1,2,
n 称为固有值，X n ( x ) 称为固有函数
再看关于T 的方程
T"
a2
n22
l2
T
0
分这离个变方量程的的形解式解T n(t)A n cosnlatB n sinnlat
w
yy
0
0 w
xa
0
w
y0
u0
w U yb
则 u (x ,y )(x ,y ) w (x ,y ) ，而上面两个定解
问题分别用例1的方法求解。
称为定解问题的分拆。
2 圆形区域问题
【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的， 水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型， 求导线外电场的电势。
由第一式可得 C 2 0 ，因此第二式变为
C1sinl 0 而 C1 0 只有
sin l 0
l n
于是有固有值和固有函数
n n2 2 l2
Xn(x)
cos
n
l
x
n1,2,
综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为
n n2 2 l2
Xn(x)
cos
n
l
x
n0,1,2,
现在需要求解 Ta2n2T0
由初始条件得
A0
B0
n1
n1
An Bn
cosnx(x)
l
nacosnx(x)
l
l
(0xl)
把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数，得
A0
1 l
l()d
0
B0
1 l
l()d
0
An2 l0l()conlsd Bnn 2a0 l()conlsd
【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ( x ) ,试求无热源时细杆上 温度的变化。
Ta2T0
u|t0(x)
u a2u
t
xx
u|x0ux |xl=0
分 离 变 量
uT(t)X(x)
T a2T
X" X
Ta2T0
X(0)X(l)0
X"X0
流 程
Tn(t)Cne(2n14)l222a2t
n ((2n2l1))2,n1,2, 固有
Xn sin(2n2l1)x,
值 （特
图
unTn(t)Xn(x)
❖ 齐次发展（演化）问题的求解 ❖ 齐次稳定场问题的求解 ❖ 非齐次问题的求解 ❖ 多变量推广 ❖ 本章小结
§2.1 齐次发展方程的分离变量法
一 分离变量法简介
研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题
uutt
a2uxx x00
0 u
xl
0xl,t 0
0
u t0(x) ut t0 (x), 0xl
当 n 0 时有解 T0(t)A0B0t
当 n 0 时有解
n a t n a t
T n (t) A nc o sl B nsinl (n 1 ,2 , ) 其中 A0 B0 An Bn 均为独立的任意常数。
由叠加原理，一般解为
u(x,t)＝ Tn(t)Xn(x)
＝ A n=0 0 B 0 t n 1 (A nc o sn la t B ns in n la t)c o sn lx
u u
t
a 2uxx x0 0,
0, ux
0 x 0
xl
l,
t
0
u
t0
Ax l
u (x ,t) 2 A ( 1 )n 8 Ae (2 n 1 4 ) l2 2 2 a 2tsin (2 n 1 )x
2
n 0
(2 n 1 )22
2 l
图形如下: (程序:my1)
u u
是齐次的，则可使用分离变量法求解。
图形如下： （程序：my2）
u u
6
5
4
6
3
5
2
4
1
3
2
0 3
2
2
1 2
1.5
0
1.5 1
1 Y
00
1 0.5
X
3 2.5
2 1.5
1 0.5
Y
0.5 X
00
a=2 b=3 U0=1 U=5 N=150
(a) 精确解图
(b) 瀑布图
【例2】求解下列问题 uxx uyy 0
通解 故有函数 本征值
【例题1】
磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是 两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由 纵振动,即定解问题
utt a2uxx0 0xl,t0
u x x0 0
u t0 (x)
u x xl 0
ut t0 (x)
分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0 1
0.5
0 1
10 0.5
5
10 5
T
00
X a=5 A=10 l=10 N=100 T
00
X
(a) 精确解图
(b) 瀑布图
思考题：如何求解下面的波动问题
utt a2uxx 0,0 x 1, t 0 u |x0 0, u |x1 0
u |t0 sin2x, ut |t0 x(1x)
【解】 设 u(x,t)X(x)T(t)并代入方程得
XTa2XT0
X (0)T (t) 0
X (l)T (t) 0
X(0) 0
X(l) 0
u |t0 ( x ) ut t0 (x)
u a2u
tt
xx
ux |x0ux |xl=0
分 离 变 量
uT(t)X(x)
X(0)X(l)0
T a2T
Ta2T0
X"X0
流程 TnAncosnlatBnsinnlat
n
(
n l
)2
固有
X
n
sin
n l
x,
值 （特
图
unTn(t)Xn(x)
征值） 问题
uu(x,t)
u Tn(t)Xn(x)
偏微分方程 分 离 变量
常 微 分 方 程 （ 关 于 X ） + 边 界 条 件 故 有 ( 值 ) 函 数 常 微 分 方 程 （ 关 于 T ） + 初 始 条 件 叠 加 系 数
数，把这个常数记作------
T a2T
X X
这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程， 且边界条件也同样进行分离
XX 0
X(0)0 X(l)0
Ta2T0
称为固有值（本征值）问题
3、 λ>0的情况
方程的解是 X (x ) C 1cox s C 2sin x
C1 0
C2 sin l 0
2 l2
(2n1)22
4l2
下面求解 Xn(x)sin(2n2l1)x
Ta2 (2n1)22T0
4l2
得
Tn(t)
Ce(2n14)l222a2t n
由叠加原理，得
u(x,t)n 0Cne(2n1 4)l2 22a2tsin(2n 2l1) x
确定系数 C n ,由初值条件知
n 0Cnsin(2n2l1)x(x) (0xl)
征值） 问题
uu(x,t)
u Tn(t)Xn(x)
经讨论知，仅 0 时有非零解，且
X (x ) C 1c o sx C 2sinx
由 X(0) 0 得 C 1 0
由 X(l) 0 得 C2 cos l 0
只有 cos l 0 由此得
l(n1), n0,1,2,3
2
于是得固有值和固有函数为
n
(n1)22
度分布 u(x, y) .
【解】先写出定解问题定解问题
uxx uyy 0
方程齐次
这组边界条件齐次
u 0u 0(0 y b )
x 0
x a
uy 0u 0
u U(0xa ) y b
用分离变量法
u |y0 u0 u U
yb
uxx uyy 0 u|x0u|xa=0
分 离 变 量
YY0
uX(x)Y(y) X(0)X(a)0
注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。
如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个 有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。
u |t0 ( x ) ut t0 (x)
u a2u
tt
xx
u|x0u|xl=0
分 离 变 量
uT(t)X(x)
X(0)X(l)0
T a2T
X" X
X" X
Ta2T0
X"X0
流
T0 A0 B0t
n (nl)2,n0,1,2, 固有
程
Tn Ancosnlat Bnsinnlat
Xn cosnlx,
图
unTn(t)Xn(x)
值 （特 征值） 问题
uu(x,t)
u Tn(t)Xn(x)
现用 a 2 X T 遍除各项即得
T a2T
X X
于是得固有值问题
X"Y
XY
X"X0
流
ny
ny
n (na)2,n1,2, 固有
程
Yn(y)Anea Bnea
Xn(x) sinna x,
值 （特
图
unXn(x)Yn(y)
征值） 问题
u u(x, y)
u (x ,y ) X n (x )Y n (y )
设形式解为：
u(x,y)X (x)Y(y)
代入上述泛定方程,得到
为确定叠加系数，将 u ( x , y ) 代入非齐次边界条件
n1
(An
Bn
)sin
nx
a
u0
n1
n
(Ane a
b
n
Bne a
b
)sin
nx
a
U
将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得
A n B na 20 au 0sinn a xd x2 u 0(1 n ( 1 )n)
AnenabBnenab2U(1n (1)n)
X"X0
X (0 )0X (l)0
经讨论，当 0 时有解
XC1xC2
由定解条件得 C1 0,C2任意，于是有固有值和固有函数
00 , X 0(x)C 2 或X0(x)1
当 0 时有解
X (x ) C 1cox s C 2sin x
现确定积分常数，由条件知
C2 0 (C1sinlC2cosl)0
方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边 的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得
An2 l0l()sinnld
Bnn 2a0l()sin nl d
按上述公式计算出系数 A n 和 B n ，则可得原问题的解：
u(x,t) n 1(Anconsla tBnsin nla)tsin
nx
l
联立求解得
An
(1(1)n)(U
nb
u0e a
nsh(nb)
)
a
nb
Bn
(1(1)n)(u0e a
nsh(nb)
U)
a
故原问题的解为
ny
u(x,y) (Anea
n1
Bnenay)sinnax
2(1(1)n) ny
n(by) nx
n1
nshnb [Ush
a
u0sh
a
]sin a
a
小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件
【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件
ut a2uxx 0, 0 x l, t 0 u x00, ux xl 0
u t0(x)
分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
试探解 u(x,t)X(x)T(t)
代入方程和边界条件得 固有值问题
XX 0
X(0)0 X(l)0
和常微分方程
于是 Cn2 l 0l(x)sin(2n 2l1)xdx
如取 ( x ) A x ，则 l
Cn2 l 0l A lxsin(2n 2l1)xdx2l2 A[x((2n2l1)cos(2n 2l1)x)1 0
(2n2l1)0lcos(2n 2l1)xdx](1)n(2n 8A 1)22
从而下列问题 的解为
§2.2 稳定场齐次问题的分离变量法
1 矩形区域上拉普拉斯方程
【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边 y b 处于较高温
度 U ，y 0 边处于冷却介质中而保持较低的温度u 0 , 其他两
边 x 0 ，xa 温度保持为零， 求解这横截面上的稳定温
特点：边界条件 均非齐次
u x 0 p 0 u x a P(0 y b )
uy 0u 0
u U(0xa ) y b
让 ( x , y ) 和 w ( x , y ) 分别满足拉普拉斯方程,并各有
一组齐次边界条件，即
xx x
0
y
y
p
0
0
xa
P
y 0 0
0 yb
w w
xx
x0
XX 0
得到固有值问题 X(0)0 X(a)0
和常微分方程
YY0
得固有值：
n na222
(n1,2,.....)
固有函数：
Xn(x)
sin
nx
a
(n1,2,.....)
ny
ny
而
Yn(y)Anea Bnea
于是有
un(x,y)(A nena yBnena y)sinnax
叠加得
u(x,y)n 1(A nen a yB nen a y)sinnax
un(x,t) (Anconlsa tBnsin nla)tsin
nx
l
(n=1,2,3,…)
由叠加原理，一般解为：
u(x,t) n 1(Anconsla tBnsin nla)tsin
nx
l
现在要求出叠加系数 A n和 B n
满足初始条件
u t0 (x)
ut t0 (x) 0 x l
u ut((xx,,00 ))n n1 1 AB nsnin nn llasxin nl(x)x(x)
方程、边界 条件均齐次
设u(x,t)X(x)T(t) 代入上述波动方程和边界条件得
X T a 2 X T 0
X
(0
)T
(t
)
0Leabharlann Baidu
X
(l )T
(t)
0
用 a 2 X T 遍除 T X
a 2T X
X(0)X(l)0
T X a 2T X
两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常
只有sin l 0才能保证 C 2 0 ，方程有非零解
于是 l n 或 n 此时 Xn(x)Cnsinnl x
n 2 l2
2
n1,2,
n 称为固有值，X n ( x ) 称为固有函数
再看关于T 的方程
T"
a2
n22
l2
T
0
分这离个变方量程的的形解式解T n(t)A n cosnlatB n sinnlat
w
yy
0
0 w
xa
0
w
y0
u0
w U yb
则 u (x ,y )(x ,y ) w (x ,y ) ，而上面两个定解
问题分别用例1的方法求解。
称为定解问题的分拆。
2 圆形区域问题
【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的， 水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型， 求导线外电场的电势。
由第一式可得 C 2 0 ，因此第二式变为
C1sinl 0 而 C1 0 只有
sin l 0
l n
于是有固有值和固有函数
n n2 2 l2
Xn(x)
cos
n
l
x
n1,2,
综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为
n n2 2 l2
Xn(x)
cos
n
l
x
n0,1,2,
现在需要求解 Ta2n2T0
由初始条件得
A0
B0
n1
n1
An Bn
cosnx(x)
l
nacosnx(x)
l
l
(0xl)
把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数，得
A0
1 l
l()d
0
B0
1 l
l()d
0
An2 l0l()conlsd Bnn 2a0 l()conlsd
【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ( x ) ,试求无热源时细杆上 温度的变化。
Ta2T0
u|t0(x)
u a2u
t
xx
u|x0ux |xl=0
分 离 变 量
uT(t)X(x)
T a2T
X" X
Ta2T0
X(0)X(l)0
X"X0
流 程
Tn(t)Cne(2n14)l222a2t
n ((2n2l1))2,n1,2, 固有
Xn sin(2n2l1)x,
值 （特
图
unTn(t)Xn(x)
❖ 齐次发展（演化）问题的求解 ❖ 齐次稳定场问题的求解 ❖ 非齐次问题的求解 ❖ 多变量推广 ❖ 本章小结
§2.1 齐次发展方程的分离变量法
一 分离变量法简介
研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题
uutt
a2uxx x00
0 u
xl
0xl,t 0
0
u t0(x) ut t0 (x), 0xl
当 n 0 时有解 T0(t)A0B0t
当 n 0 时有解
n a t n a t
T n (t) A nc o sl B nsinl (n 1 ,2 , ) 其中 A0 B0 An Bn 均为独立的任意常数。
由叠加原理，一般解为
u(x,t)＝ Tn(t)Xn(x)
＝ A n=0 0 B 0 t n 1 (A nc o sn la t B ns in n la t)c o sn lx
u u
t
a 2uxx x0 0,
0, ux
0 x 0
xl
l,
t
0
u
t0
Ax l
u (x ,t) 2 A ( 1 )n 8 Ae (2 n 1 4 ) l2 2 2 a 2tsin (2 n 1 )x
2
n 0
(2 n 1 )22
2 l
图形如下: (程序:my1)
u u
是齐次的，则可使用分离变量法求解。
图形如下： （程序：my2）
u u
6
5
4
6
3
5
2
4
1
3
2
0 3
2
2
1 2
1.5
0
1.5 1
1 Y
00
1 0.5
X
3 2.5
2 1.5
1 0.5
Y
0.5 X
00
a=2 b=3 U0=1 U=5 N=150
(a) 精确解图
(b) 瀑布图
【例2】求解下列问题 uxx uyy 0
通解 故有函数 本征值
【例题1】
磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是 两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由 纵振动,即定解问题
utt a2uxx0 0xl,t0
u x x0 0
u t0 (x)
u x xl 0
ut t0 (x)
分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0 1
0.5
0 1
10 0.5
5
10 5
T
00
X a=5 A=10 l=10 N=100 T
00
X
(a) 精确解图
(b) 瀑布图
思考题：如何求解下面的波动问题
utt a2uxx 0,0 x 1, t 0 u |x0 0, u |x1 0
u |t0 sin2x, ut |t0 x(1x)
【解】 设 u(x,t)X(x)T(t)并代入方程得
XTa2XT0
X (0)T (t) 0
X (l)T (t) 0
X(0) 0
X(l) 0
u |t0 ( x ) ut t0 (x)
u a2u
tt
xx
ux |x0ux |xl=0
分 离 变 量
uT(t)X(x)
X(0)X(l)0
T a2T
Ta2T0
X"X0
流程 TnAncosnlatBnsinnlat
n
(
n l
)2
固有
X
n
sin
n l
x,
值 （特
图
unTn(t)Xn(x)
征值） 问题
uu(x,t)
u Tn(t)Xn(x)
偏微分方程 分 离 变量
常 微 分 方 程 （ 关 于 X ） + 边 界 条 件 故 有 ( 值 ) 函 数 常 微 分 方 程 （ 关 于 T ） + 初 始 条 件 叠 加 系 数
数，把这个常数记作------
T a2T
X X
这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程， 且边界条件也同样进行分离
XX 0
X(0)0 X(l)0
Ta2T0
称为固有值（本征值）问题
3、 λ>0的情况
方程的解是 X (x ) C 1cox s C 2sin x
C1 0
C2 sin l 0
2 l2
(2n1)22
4l2
下面求解 Xn(x)sin(2n2l1)x
Ta2 (2n1)22T0
4l2
得
Tn(t)
Ce(2n14)l222a2t n
由叠加原理，得
u(x,t)n 0Cne(2n1 4)l2 22a2tsin(2n 2l1) x
确定系数 C n ,由初值条件知
n 0Cnsin(2n2l1)x(x) (0xl)
征值） 问题
uu(x,t)
u Tn(t)Xn(x)
经讨论知，仅 0 时有非零解，且
X (x ) C 1c o sx C 2sinx
由 X(0) 0 得 C 1 0
由 X(l) 0 得 C2 cos l 0
只有 cos l 0 由此得
l(n1), n0,1,2,3
2
于是得固有值和固有函数为
n
(n1)22
度分布 u(x, y) .
【解】先写出定解问题定解问题
uxx uyy 0
方程齐次
这组边界条件齐次
u 0u 0(0 y b )
x 0
x a
uy 0u 0
u U(0xa ) y b
用分离变量法
u |y0 u0 u U
yb
uxx uyy 0 u|x0u|xa=0
分 离 变 量
YY0
uX(x)Y(y) X(0)X(a)0
注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。
如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个 有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。
u |t0 ( x ) ut t0 (x)
u a2u
tt
xx
u|x0u|xl=0
分 离 变 量
uT(t)X(x)
X(0)X(l)0
T a2T
X" X
X" X
Ta2T0
X"X0
流
T0 A0 B0t
n (nl)2,n0,1,2, 固有
程
Tn Ancosnlat Bnsinnlat
Xn cosnlx,
图
unTn(t)Xn(x)
值 （特 征值） 问题
uu(x,t)
u Tn(t)Xn(x)
现用 a 2 X T 遍除各项即得
T a2T
X X
于是得固有值问题
X"Y
XY
X"X0
流
ny
ny
n (na)2,n1,2, 固有
程
Yn(y)Anea Bnea
Xn(x) sinna x,
值 （特
图
unXn(x)Yn(y)
征值） 问题
u u(x, y)
u (x ,y ) X n (x )Y n (y )
设形式解为：
u(x,y)X (x)Y(y)
代入上述泛定方程,得到
为确定叠加系数，将 u ( x , y ) 代入非齐次边界条件
n1
(An
Bn
)sin
nx
a
u0
n1
n
(Ane a
b
n
Bne a
b
)sin
nx
a
U
将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得
A n B na 20 au 0sinn a xd x2 u 0(1 n ( 1 )n)
AnenabBnenab2U(1n (1)n)
X"X0
X (0 )0X (l)0
经讨论，当 0 时有解
XC1xC2
由定解条件得 C1 0,C2任意，于是有固有值和固有函数
00 , X 0(x)C 2 或X0(x)1
当 0 时有解
X (x ) C 1cox s C 2sin x
现确定积分常数，由条件知
C2 0 (C1sinlC2cosl)0
方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边 的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得
An2 l0l()sinnld
Bnn 2a0l()sin nl d
按上述公式计算出系数 A n 和 B n ，则可得原问题的解：
u(x,t) n 1(Anconsla tBnsin nla)tsin
nx
l
联立求解得
An
(1(1)n)(U
nb
u0e a
nsh(nb)
)
a
nb
Bn
(1(1)n)(u0e a
nsh(nb)
U)
a
故原问题的解为
ny
u(x,y) (Anea
n1
Bnenay)sinnax
2(1(1)n) ny
n(by) nx
n1
nshnb [Ush
a
u0sh
a
]sin a
a
小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件
【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件
ut a2uxx 0, 0 x l, t 0 u x00, ux xl 0
u t0(x)
分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
试探解 u(x,t)X(x)T(t)
代入方程和边界条件得 固有值问题
XX 0
X(0)0 X(l)0
和常微分方程
于是 Cn2 l 0l(x)sin(2n 2l1)xdx
如取 ( x ) A x ，则 l
Cn2 l 0l A lxsin(2n 2l1)xdx2l2 A[x((2n2l1)cos(2n 2l1)x)1 0
(2n2l1)0lcos(2n 2l1)xdx](1)n(2n 8A 1)22
从而下列问题 的解为