控制系统的数学模型

本章重点
通过本章学习，应着 重了解控制系统数学模型 的基本知识，熟练掌握建 立线性定常系统微分方程 的建立、传递函数的概念 和应用知识、控制系统方 框图的构成和等效变换方 法、典型闭环控制系统的 传递函数的基本概念和梅 逊公式的应用。
2-1 控制系统的时域数学模型 1、系统的数学模型 描述物理系统的物理模型的数学方程式 2、物理模型 一个理想化的物理系统
例题：机械系统如下 阻尼器系数及输入输出如图列写数学模型
c1 b
xi m
输入为xi输出为x0初态为零
m d x0 dt
2 2 2
fc2 a
c1
d ( xi x0 ) dt
c2
dx dt
0
方程拉氏变换得
ms x 0 ( s ) c 1 sx i ( s ) c 1 sx 0 ( s ) c 2 sx 0 ( s ) x0 (s) xi (s) c1 ms c 1 c 2
一、系统微分方程的方法
ur
L
R
C
uC
L
di (t ) dt

2
1 C
i (t )dt Ri (t ) u r (t ),
百度文库
u C (t )
1 C
i (t )dt
LC
d uC (t ) dt
2
RC
duC (t ) dt
uC (t ) u r (t )
弹簧-质量-阻尼器（S-M-D） 机械位移系统

求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。 设系统已处于平衡状态， 相对于初始状态位移、速度、加速度为零
m
d x(t ) dt
2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t ) dx(t ) dt Kx(t )
F (t )
k
m
f
F (t ) f
x(t )

实验法：人为加入测试信号，记录输出用数学模型逼近。
控制系统微分方程的建立
基本步骤：
（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定
系统中各个基本部件（元件）
（2）列写各方框图或各元件的输入输出之间的 微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级 元件对前级元件的负载效应（齿轮系对电机的转 动惯量的影响）和信号传递的单向性。
m
d x(t ) dt
2
f
dx(t ) dt
Kx(t ) F (t )
相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。
线性系统的性质：具有可叠加性、均匀 性（齐次性） 两个或多个外作用加于系统产生的输出等 于各个外作用分别作用于系统产生的输 出之和。例如
d c (t ) dt
2 2

dc ( t ) dt
KC
KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
Tm
d dt
K g
du g dt
MC K g ug KC
*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程
LC d uC (t ) dt
2
2
2
RC
duC (t ) dt
uC (t ) u r (t )
Tm (iTm K 1 K 2 K 3 K m K t )
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
K g
K 1 K 2 K 3 K m
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
Kg
K1 K 2 K 3 K m
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
du1 dt
u1 )
,
R1C ,
K2
R2 R1
u a K 3u 2
Tm dm dt m K mu a K C M C
直流电动机
减速器（齿轮系） i为传动比 测速发电机

1 i
m
ut K t
ut u1 u 2 ua
消去中间变量
m
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
c2
x0 fc1
二、非线性元件微分方程的线性化

实际的物理元件都存在一定的非线性，例如
弹簧系数 是位移的函数 K ( x) 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动本身的摩擦、死区
小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数
平衡状态A为工作点
y 0 f ( x0 ) , x x0 x , y y 0 y
（3）消去中间变量得到输入输出的数学方程
速度控制系统的微分方程
R2 R1
ug
R2
m
u2
ua

R1
u1
C
S M
负 载
k1
k2
uf
TG
运放2的数学模型 R1 U1 c a
R2 U2
b R1 a R2 i3 U2
1 c
物理模型 U1 i1 ua=ub=0 c i2
u 1 / R 1 i1
i 3 i 2 i1
c (t ) f (t ) 输出为 c 1 ( t ), f ( t ) f 2 ( t ) 输出为 c 1 ( t ) c 2 ( t ) 输出为 c 2 ( t )
f (t ) f1 (t )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f ( t ) af 1 ( t )时输出 c ( t ) ac 1 ( t )
u 2 / R 2 i3
0 i 2 dt u 1
t
系统输出 系统输入参考量
ug
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功 率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1
运放2 功放
u1 K 1 (u g u f ) K 1u e
,
K1
R2 R1
u 2 K 2 (
y f ( x)
y f ( x)
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
本章主要内容
本章介绍了 建立控制系统数 学模型和简化的 相关知识。包括 线性定常系统微 分方程的建立、 非线性系统的线 性化方法、传递 函数概念与应用、 方框图及其等效 变换、梅逊公式 的应用等。
列写元件微分方程的步骤： （1）一定条件下简化系统为物理模型 （2）确定元件的输入量、输出量 （3）由物理或化学规律，列写微分方程； （4）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程
一般列写数学模型有分析法和实验法两种方法 分析法：分析系统内部各部分运动机理，然后列写相应 的方程，
最后求取系统的数学模型