椭圆方程的几种常见求法

椭圆方程的几种常见求法

河南

对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：

陈长松

一、定义法

例 1 已知两圆C1：( x4) 2y2169 ，C2： (x 4)2y 29 ，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆 C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．

解：设动圆圆心Ｍ（x ， y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，

∴ MC113r ，圆Ｍ外切于圆C2，∴MC2 3 r ，

∴ MC1MC2 16，y

∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、 C2为焦点的椭圆，

且 2a 16,2c8，

C2Ｍ

b2 a 2c264 16 48，ＯC

1x

故所求轨迹方程为：

x 2y 2

641 ．

48

评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出

外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住

本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．

二、待定系数法

例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1 ( 6,1), P2 ( 3, 2) ，求该椭圆的方程．

分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：

mx 2ny 2＝１（ m0,n0) ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为mx2ny 2＝１（ m 0, n 0) ．

∵椭圆经过两点P1 (6,1), P2 (3, 2)，

6m n 1,m 1

,x 2y 2

解得9

∴，故所求的椭圆标准方程为1．

3m2n 1.n 1 .93

3

评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出a, b 的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．

三、直接法

例３设动直线 l 垂直于 x 轴，且交椭圆x2y 2

1 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段42

AB 外一点，且满足PA PB 1 ，求点Ｐ的轨迹方程．

分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于 x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，

因此，紧紧抓住等式PA PB 1 即可求解．

解：设Ｐ（ x ， y ），Ａ（x A，y A），Ｂ（ x B，y B），

由题意： x ＝ x A＝ x B， y A＋ y B＝０

∴ PA y y A, PB y y B，∵Ｐ在椭圆外，∴y －y A与 y －y B同号，

∴ PA PB =（ y －y A）（ y －y B）＝ y 2( y A y B ) y y A y B1

∵ y A y B22(1x A2

)2(1

x 2

y A

4

) 4

y22(1x 2)1，即 x2y 21( 2x2) 为所求．

463

评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．

四、相关点法

例４ABC 的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．

分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好

建立，故可用相关点法去求．

解（１）以 BC 边所在直线为x 轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，

设Ｇ（ x ，y），由GC GB

230

，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，3

长轴长为 20 的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为

x2y2

0) ．100

1( y

36

（２）设Ａ（

x02y02

x ，y），Ｇ（x0, y0)，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是1( y0 0)

10036

x

∵ Ｇ为ABC 的重心∴x0

代入得：

x2y 2

0) 3

900

1( y

y324

y0

3

其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．

评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．