物理学专业必修课程

⒈初始条件 ux,0x
⒉ 边界条件提法有三种
23
ⅰ第一类边界条件:直接给出物理量在 边界上的数值(边界上各点的温度).
u0,t1t
ul,t2t
ux,t x0
1t
ux,t xl
2t
24
ⅱ第二类边界条件: 研究物理量在 边界外法线方向上方向导数的数值.
u x
x0
v1
t
或
uxx,tx0v1t
u x
xl
l
n1 l
l l
f
cos
n l
cos n l
x sin
n l
sin
n l
x
d
1 l f d 1 l f cos n x d
2l l
l l
n 1
l
49
现设 f x, t 在 , 上这时可积,即
fxdx有 限 值
则当 l 时,
fxlli m n 11 l llfco sn lxd
引起的温度分布的叠加.
43
3.3 初值问题的付氏解法
44
引言
上节求解混合问题时,空间坐标 x 变动
区间为 0 , l .如考虑无界杆的热传导,如何？
将 f x, t 等在 l , l 上展成Fourier级数,再
让区间 l , l 无限扩大.
45
结 果：在一定条件下,Fourier级数 变成一个积分形式,称为Fourier积分.
热量：Q 面积：S 体积：V 时间：t 密度： 温度：T
6
② 比热:单位物质温度升高一度
所需热量.
C Q VT
③ 热流密度:单位时间流过单位面积
的热量( Fourier实验定律)
q Q u
tS
n
:导热率
7
④热源强度:单位时间,单位体积放出 的热量(源密度).
f Q tV
8
⑵用到的物理学规律
2l
l l
f
d
n 1
1 l
l f cos n d cos n x 1
l
l
ll
l l
f
sin
n l
d
sin
n l
x
1
2l
l l
f
d
1 n1 l
l l
f
cos n
l
cos n x d l
l l
f
sin
n l
sin
n l
x
d
1
2l
l f d 1
第四步：确定叠加系数
由初始条件 ux,tx
有
n1Cn sinnl xx
两端同乘以 s in m x ,逐次积分有
l
40
l
x sin
m
xdx
0
l
l 0
Cn
n 1
sin
n l
x sin m xdx l
l n
m
Cn
sin
0
n 1
l
x sin
l
xdx
0n m
Cn n1
l 0
3
数理方程的基本步骤:
物理模型
定量化 数学模型
ⅰ 建坐标系
ⅱ 选物理量 u
ⅲ 找物理规律
ⅳ 写表达式
4
3.1 热传导方程 一、热传导方程的导出
1. 物理模型 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热, 沿 杆长方向有温差, 求热量的流动.
5
2.相关链接 ⑴ 相关概念和定律 ① 热传导:由于温度分布不均匀产生 的热传递现象.设
由Fourier积分有:
Au21 cosud
Bu2 1 sinud
59
ux,t 1 e u2a2t 2
cosucosuxsinusinuxddt
21
eu2a2t
cosuxdud
而
e ax2 cosbxdx1
b2
e4a
0
2a
1 e u 2 a 2 tco su
xo
4a2t o
Q
2C a
1
t 2
x2
e d xo 4 a 2 t
xo
65
0 ,将分布在整个一小段上的热量
Q 看作在极限情形只作用在 x o 点,则在
x x o 有瞬时点热源,强度为 Q ,这样
的热源,在细杆上得到的温度分布为:
lim Q
x2
1 e d xo 4a2t
n
(对同一种物质)温差越大,热能流动
越大.相同温度下,不同的物质热能流
动不同.
11
② 热量守恒(质量)定律:物体内部温 度升高所吸收的热量(浓度增加所需要 的质量),等于流入物体内部的净热量(质 量)与物体内部的热源所产生的热量(质 量)之和.
12
3.分析 研究的问题: 热流流动是由温差造成,
设 u 为温度.
46
一、 Fourier积分
设 f x 定义在 , 内,且在任一 有限区间 l , l 上分段光滑,则 f x 可.
展开成Fourier级数
47
fxa 2on 1ancosnlxbnsinnlx
其中:
an1l ll
fcosnd
l
bn1l ll
fsinnd
l
48
f x 1
A , B 与 x , t 无关,而恒等于 u .
u u x ,t T X e u 2 a 2 tA c o s u x B s in u x
58
0 ， u 取所有实数,解的叠加只能积分.
u x ,t e u 2 a 2 tA c o su x B sin u xd u
而 u x ,0 x A c o su x B s in u x d u
v2
t
ux x0 v1 t
25
已知通过细杆端点的热量,特殊
情形 v t 0 如 ux l,t 0 绝热条件。
物理意义: 把细杆端点 x l 处的截面 用一种定点绝热的物质包裹起来,使得 在端点 x l 处,既无热量流出去,又 无热量流进来.
26
ⅲ 第三类边界条件: 物理量与外法向
导数的线性组合. 已知杆端 x l 与某种介质接触,它们
uxxx,tuxx,tAtfAxt
17
化简:
两边同除以
1 A x t
Cux,ttux,t
t
uxxx,tuxx,tf
x
当 x 0 , t 0
则 Cut uxxf
18
一维热传导方程为:
ut Duxx f
其中:
D C
, f F
C
.
二维热传导方程为:
utDuxxuyy f
19
三维热传导方程为:
f x 及 f ' x 的连续点处, f x 的付氏
积分收敛于它在该点处的函数值。
52
Fourier积分还可写为
fx A c o sx B s in x d
其中
A21 fcosd
B21 fsind
53
二、热导方程的Cauchy问题
定解问题
ut a2uxxxt 0
① Fourier实验定律(热传导定律):当物 体内存在 温度差时,会产生热量的流动.热流 强度(热流密度)q 与温度的下降成正比.即
r
qu
9
:热导系数(热导率),不同物质 不同,
x,u 对均匀杆 是常数.负号表示
温度下降的方向.
10
分量形式：qx
u x
，
qy
u y
，q z
u z
一维问题： q u
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数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
1
第三章 热传导方程的分离变量法
2
引言
上一章对弦振动方程为代表的双曲 型方程进行了研究,它的研究包括从方程 的导出到应用行波法和分离变量法.本章 我们对抛物型方程以热传导方程为代表 进行研究 。
xd u
1
x2
e4 a 2 t
0
2t
60
∴ ux,t 1
x2
e 4a2t
d
2a t
61
分析解答
解的物理意义: 由初始温度 引起
的温度分布 u x , t 可看作由各个瞬间点
热源引起的温度分布的叠加.
62
说明:
① 取 v
1
x2
e 4a2t
2a t
在单位横截面积细杆上取 x o 点附近
T' aT0 T' u2aT0
X ''X 0 X '' u 2 X 0
⑴ 当 u 0 0 时,
T To
XXoC1C2x
56
T o ，C 1 ，C 2 为积分常数, 必须
C2 0
因为 x, X x 会无界，
所以
X o C1
57
⑵ 当 u 0 时, T eu2a2t x A c o su x B s in u x
uxl,thul,tt
29
3.2 混合问题的分离变量解
30
一、定解问题：有界杆的热传导现象
ut a2uxx 00 x lt 0
u0,t 0ul,t 00 t
ux,0 x0 x l
其中 x 为已知函数.
31
第一步：分离变量 ⅰ.设热导方程具有如下分离
变量解(特解)
02Ca t 2 xo
66
由积分中值定理:
x2
1 e d e xo
4a2t
ox2
4a2t
2 xo
其中: xoo,xo
0 , o 0 ,
67
则
1 e d e xo
x2
u tDuxxuyyuzz f
ut Duf
ut a2u f
20
扩散方程物理模型
一充满清水的玻璃管.如果一端滴 一滴红墨水,则红墨水的分子就要向 另一端扩散.渗透半导体之间的锑扩 散,硼扩散,磷扩散.
21
二、定解条件
物体上初始时刻的温度分布 边界上温度，热交换情形
定解问题
22
以细杆的热导方程为例
s
i
n
n l
x
2
d xn
m
Cn
n 1
1 cos 2n
l
l
0
2
x
dx
C
n
l 2
41
Cn2 l0lxsinnlxdx
ux,t
Ce
nla2t
n
n1
sinn l
xdx
n1,2,3,
Cn2 l 0lxsinnlxdx
42
分析解答：
由初始温度 x 引起的温度
分布 u x , t 可看作是由各个瞬热源
50
证:
1
l
,
2
2 l
,
,n
n l
,
n
n1
n
l
则上式写成
f
x
lim 1
n
n1
n
l l
f cosn xd
1
d
0
f
cos
xd
51
其中 cosx ,它是关于 的偶函数.
fx 2 1 d fc o s x d
称为 f x 的Fourier积分.
可以证明：
ux,tXxTt
32
ⅱ. 将其代入泛定方程有
1 a2
T' T
X '' X
其中 是常数.于是有 X'' x0
T' a2T0
33
ⅲ 、由边界条件有
当 u0,t 0 ,则 X 0 0
当 u l,t 0 ,则 X l 0
X '' x 0
即本征值问题
X
0
0 X
l
0
34
第二步：求解本征值问题 上章已经证明只有当 0 时,
该本征值问题有非零解.
ⅰ. XxA sinxB cosx
35
ⅱ.由
X00
B0Asin l 0
Xl0
n 2 2
l2
， n1,2,3,
即特征值是
n
n l
2 ，
n1,2,3,
36
ⅲ . 本征函数是
Xn
x
sin
n
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x
37
第三步: 求特解,并叠加出一般解
又由
T' a2T0,
n
n l
2
,得
T'
之间按热传导中的牛顿实验定律进行热
交换,相应的边界条件为 ：
uxl,thul,tt
:热导系数
h :热交换系数
27
介质通过边界按照冷却定律散热: 单位时间通过单位面积表面和外界交
换的热量与介质表面温度 u 边 界 和外界温 度 u o 之差成正比.
28
设比例系数为 a ,则
unhuhuot
如在 x l 处,
n a
l
2
T
0
T' T
t t
n
l
a
2
dlnT
na2
l
dt
38
两边积分得：
lnT
na2
l
t
C1
Tn
C enl a2t n
其中 C n 是积分常数.于是
unx,tXnxTntCnenla2tsinnlx n1,2,3,
故一般解为： u x,t
Ce
nla2t
n
n1
sinn l
x
39
ux,0xx
其中 x 为已知函数.
分析: 已知一无限长细杆在初始
时刻的温度分布,求其以后的温度分布.
54
解: (分离变量法求)
令 ux,tTtXx
则
T ' a T 0
X
''
X
0
有
T t ea2t
为常数.
ⅰ 0 时, T t 将随 t 的增加而增加,
所以不合理.
55
ⅱ 0 ,设 u 2 ,则
At
③热源产生:设有热源其密度为 f x, t
杆内热 源在 x 段产生的热量为
Q3fx,tAxt
15
④ x 段温度要升高 u 所吸收 的热量 Q , 故
QCAxu
CAxux,t tux,t
16
⑤ 根据能量守恒定律
流入 x 段总热量与 x 段中热源产生
的热量:
QQ1Q2Q3
即 CAxux,ttux,t
的一个小单元xo,xo，函数 x 在该区
间内为常数 U o ，而区间外恒为0.
物理上: 在初始时刻, 这个表示吸取了热量
QC2Uo
63
使这一段温度为 U o ,此后温度在细
杆上的分布由
ux,t 1
x2
e 4a2t
d
2a t
给出.
64
②取上式为:
1
2a t
x2
U e d xo
已知:
C , , 常数 .
u ux,t是一维问题 .
方法: 与弦振动方程所用方法相同
13
4. 研究建立方程
取 x 轴与细杆重合, u x , t 表示在 x
点 t 时刻的温度.
考虑任一 x 段在 t 时间热量情况
① 流入 x
面:
Q1
u x
x
At
14
②流出 x x 面:
Q2
u x
xx