Ch 7.4 无向图的连通度

引理1
引理1: 设E’是边割集,则 p(G-E’)=p(G)+1. 证明: 如果p(G-E’)>p(G)+1, 则E’不是边割集, 因为 不满足定义中的极小性. # 说明: 点割集无此性质
16
引理2
引理2: 设E’是非完全图G的边割集, λ(G)=|E’|, G-E’的2个连通分支是G1,G2,则 存在u∈V(G1),v∈V(G2),使得(u,v)∉E(G) 证明: (反证) 否则, λ(G)=|E’| =|V(G1)|×|V(G2)|≥|V(G1)|+|V(G2)|-1=n-1, 即需要至少删n-1条边才能破坏G的连通性，与G非完全 图相矛盾. # 说明: a≥1∧b≥1
λ(G)≤n1-2 #
33
定理7.12(λ=δ的充分条件)
定理7.12: G是6阶以上连通简单无向图. (1) δ(G)≥ n/2 ⇒ λ(G)=δ(G) (2) 若任意一对不相邻顶点 u, v 都有
d(u)+d(v)≥n-1, 则λ(G)=δ(G). (3) d(G)≤2 ⇒ λ(G)=δ(G). 证明:由定理7.11和推论可得. #
G1
G2
Kn1
Kn2
E1
31
定理7.11(证明)
证明(续): λ(G)<δ(G)≤δ(G*)≤n1-1+ λ(G)/n1 (抽屉原理) ⇒ λ(G)<n1-1+λ(G)/n1 ⇔ (n1-1)(n1-λ(G))>0 ⇒ λ(G)<n1 ⇒ λ(G) ≤ n1-1. 若 λ(G)=n1-1 ⇒ λ(G)=n1-1+ λ(G)/n1 . ⇒ λ(G)<δ(G)≤δ(G*)≤λ(G) (矛盾!) λ(G)<n1-1 ⇒ λ(G) ≤ n1-2 ⇒ λ(G)+2≤n1. #
dj
i
G1
a
g
b
fkh
e
c
dj
i
G2
9
割边(cut-edge)(桥)
割边: (u,v)是割边 ⇔ {(u,v)}是边割集 例: G1中(f, g)是桥, G2中无桥
a
g
f
be
k
h
c
dj
i
G1
a
g
b
fkh
e
c
dj
i
G2
《集合论与图论》第16讲
10
扇形割集(fan cutset)
IG(v)是v的关联集, IG(v) ⊆E IG(v)不一定是边割集(不一定极小) IG(v)不是边割集 ⇔ v是割点 扇形割集: E’是边割集∧E’⊆IG(v)
⇒(a-1)(b-1)=ab-a-b+1≥0 ⇔ ab≥a+b-1.
Whitney定理(续)
证明(续): (κ≤λ) 设G-E’的2个连通分支是G1,G2. 设
u∈V(G1),v∈V(G2), 使得(u,v)∉E(G).
如下构造V’’: ∀e∈E’, 选择e的异于u,v的一个端点放
入V’’. |V’’|≤|E’|.
彼得森图
14
Whitney定理
定理7.10: κ≤λ≤δ.
证明: 不妨设G是3阶以上连通简单非完全图. (λ≤δ) 设d(v)=δ, 则|IG(v)|=δ, IG (v)中一定有边割集E’, 所以 λ≤|E’|≤|IG(v)|=δ. (κ≤λ) 设E’是边割集,|E’|=λ,从V(E’)中找出点割集V’(怎样 选择?), 使得|V’|≤λ, 所以κ≤|V’|≤λ.
G2
G1 Gs
35
定理7.13(续)
证明(续): δ(G)≤n1-1+κ(G)=n1+κ(G)-1, 同理 δ(G)≤n2+κ(G)-1, 所以 2δ(G) ≤ n1+κ(G)+n2+κ(G)-2 = n+κ(G)-2, 即 κ(G) ≥ 2δ(G)-n+2. #
G2 G1
Gs
36
定理7.14((仅有)(2)(3))
什么是直觉?------习惯成自然,熟能生巧 骑自行车: “平衡感” 游泳: “水感” 学外语: “语感”
如何取得经验?------自己动手 练习! 不能只听不做.
20
简单连通图的κ,λ,δ
定理7.14: n阶简单连通图的κ,λ,δ之间关系有且仅有3 种可能:
(1) κ = λ = δ = n-1 (2) 1 ≤ 2δ-n+2 ≤ κ ≤ λ = δ ≤ n-2
规定: κ(Kn) = n-1, G非连通: κ(G)=0 例: κ(G)=1, κ(H)=2, κ(F)=3, κ(K5)=4
G
H
F
K5
12
边连通度(edge-connectivity)
边连通度: G是无向连通图, λ(G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 }
规定: G非连通: λ(G)=0 例: λ(G)=1, λ(H)=2, λ(F)=3, λ(K5)=4
a
g
f
be
k
h
c
dj
i
G1
a
g
b
fkh
e
c
dj
i
G2
6
割点(cut-point/cut-vertex)
割点: v是割点 ⇔ {v}是割集 例: G1中 f 是割点, G2中无割点
a
g
f
be
k
h
c
dj
i
G1
a
g
b
fkh
e
c
dj
i
G2
7
边割集(edge cutset)
边割集: 无向图G=<V,E>, ∅≠E’⊂E, 满足 (1) p(G-E’)>p(G); (2) 极小性: ∀E’’⊂E’, p(G-E’’)=p(G), 则称E’为边割集.
4
点割集(vertex cutset)
点割集: 无向图 G=<V,E>, ∅≠V’⊂V, 满足 (1) p(G-V’)>p(G); (2) 极小性: ∀ V’’⊂V’, p(G-V’’)=p(G),
则称V’为点割集.
5
点割集(举例)
G1: {f},{a,e,c},{g,k,j},{b,e,f,k,h} G2: {f},{a,e,c},{g,k,j},{b,e,f,k,h}
G
H
F
K5
13
k-连通图, k-边连通图
k-连通图(k-connected): κ(G)≥k k-边连通图(k-edge-connected): λ(G)≥k 例: 彼得森图 κ=3, λ=3; 它是1-连通图, 2-连通图, 3-连通图, 不是4-连通图; 它是1-边连通图, 2-边连通图,3-边连通图,但不是4-边连 通图.
1 2
κ
Kδ+1
2 λ-κ+1
Kn-δ-1
27
定理7.14((有)(3)(续))
证明: (有)(3) (分析): δ(G)=δ: Kδ+1: d(u)≥δ, Kn-δ-1 : d(u)≥n-δ-2≥δ. κ(G)=κ: 删除{ ui | i=1,2,…,κ }, λ(G)=λ: 删除{(ui, vi) | i=1,2,…,κ}∪{(u1,vi)|
i=2,3,…,λ-κ+1}
u1
u2
v2
uκ
Kδ+1
vλ-κ+1
Kn-δ-1
28
定理7.14((仅有)(1))
证明: (仅有): (1) 如果G是完全图,则 G=Kn, 所以 κ = λ = δ = n-: G是n(≥6)阶简单无向连通图,λ(G)<δ(G), 则 存在G*以G为生成子图, G* 由完全图Kn1和Kn-n1,以及 它们之间的λ(G)条边组成, λ(G)+2≤n1≤ n/2 .
Kn1
Kn-n1
30
定理7.11(证明)
证明: 设E1是G的边割集, |E1|=λ(G). 设G-E1的2个连通分支是G1与G2,
|V(G1)|=n1, |V(G2)|=n2, 不妨设n1≤n2, 显然n1+n2=n, n1≤ n/2 . 给G1加新边使它成为Kn1,给G2加新边使它成为Kn2, 令G*=Kn1∪E1∪Kn2.
例: {(a,g),(a,b)},{(g,a),(g,b),(g,c)},{(c,d)},
{(d,e),(d,f)}, {(a,b),(g,b),(g,c)}
g
d
a
c
f
b
e
11
点连通度(vertex-connectivity)
点连通度: G是无向连通非完全图, κ(G) = min{ |V’| | V’是G的点割集 }
《集合论与图论》第16讲
8
边割集(举例)
G1: {(a,f),(e,f),(d,f)}, {(f,g),(f,k),(j,k),(j,i)}, {(c,d)} {(a,f),(e,f),(d,f),(f,g),(f,k),(f,j)}
G2: {(b,a),(b,e),(b,c)}
a
g
be
f k
h
c
Ks
Kκ
Kδ-κ
v
25
定理7.14((有)(3))
证明: (有)(3) 0 ≤ κ ≤ λ ≤ δ < n/2 . (构造)令G’=Kδ+1∪Kn-δ-1,设V(Kδ+1)={u1,u2,…,uδ+1},
V(Kn-δ-1)={v1,v2,…,vn-δ-1}, 给G’增加边(ui,vi), i=1,2,…,κ, 以及(u1,vi), i=2,3,…,λ-κ+1, 就得到G.
34
定理7.13
定理7.13: G是n阶简单连通无向非完全图, 则 2δ(G)-n+2 ≤ κ(G).
证明: 设V1是G的点割集, |V1|=κ(G), 设G-V1的连通分 支是G1,G2,…,Gs(s≥2), 设 |V(G1)|=n1, |V(G2)|+…+|V(Gs)|=n2, 则 n1+ n2+κ(G)=n.
证明: (仅有): (2) δ≥ n/2 时, 定理12,13. (3) δ< n/2 时, 定理10. #
37
2-连通的充分必要条件
定理7.15: 3阶以上无向简单连通图G是2-连通图 ⇔ G中任意两个顶点共圈.
Kn1
Kn2
E1
推论
(1) δ(G)≤δ(G*)≤n1-1≤ n/2 -1 (2) G*中有不相邻顶点u,v, 使得
dG*(u)+dG*(v)≤n-2 (3) d(G)≥d(G*)≥3 证明: (2) u∈G1,v∈G2,在G中不相邻,则在G*中仍 然不相邻. (3) d(G)=max d(u,v)
Ch7.4 无向图的连通度
中国海洋大学 计算机系
无向图的连通度
1. 点(边)割集,点连通度κ,边连通度λ 2. Whitney定理, 简单连通图κ,λ,δ之间的
关系 3. 2-连通, 2-边连通的充要条件 4. 割点, 桥, 块的充要条件
1
问题
如何定量比较无向图连通性的强与弱?
2
如何定义连通度
G-V’’⊆G-E’=G1∪G2, u和v在G-V’’中不连通, 所以V’’
中含有点割集V’.
所以 κ≤|V’|≤|V’’|≤|E’|=λ.#
u
v
18
推论
推论: k-连通图一定是k-边连通图. k≤ κ≤λ
19
Hassler Whitney(1907-1989)
美国数学家,曾获得 Wolf 奖 主要研究拓扑学. 20世纪30年代发表了十几篇图论 论文,定义了“对偶图”概念,推动了四色定理的研究.
注意: κ(K1)=λ(K1)=δ(K1)=0, 但是K1连通, 所以, 非连通 ⇒ κ=λ=0, 反之不然
23
定理7.14((有)(2))
证明: (有)(2)1≤2δ-n+2≤κ≤λ=δ≤n-2
令 r= (n-κ)/2 , s= (n-κ-1)/2 , 则r+s=n-κ-1.
令 G’=Kκ+(Kr∪Ks). 给G’增加顶点v, 使得 v与Kκ中所有顶点相邻, 与Ks中δ-κ个顶点 相邻, 就得到G.(并图 (G1∪G2)的定义见P117,联图(G1+G2)的定义
点连通度: 为了破坏连通性,至少需要删除多少个 顶点？
边连通度: 为了破坏连通性,至少需要删除多少条 边?
说明: “破坏连通性”指 p(G-V’)>p(G), 或 p(G-E’)>p(G),即“变得更加不连通”
3
割集(cutset)
点割集(vertex cut) 边割集(edge cut) 割点(cut vertex) 割边(cut edge)，桥(bridge)
见P118)
Kr
Kκ
Ks Kδ-κ
v
24
定理7.14((有)(2)(续))
证明: (有)(2) (分析) δ(G)=δ:
Kκ: d(u)=κ-1+r+s+1=n-1≥δ,
Kr: d(u)=r-1+κ≥δ, Ks: d(u)=s-1+κ≥δ, Kr v: d(v)=δ.
κ(G)=κ: 删除Kκ. λ(G)=λ=δ: 删除IG(v). 显然, κ≤λ=δ ≤n-2,
(δ ≥ n/2 时 ) (3) 0 ≤ κ ≤ λ ≤ δ < n/2 # 证明: (有):构造出满足上述关系的图;
(仅有):任意简单连通图G可以归入以上3类.
《集合论与图论》16讲
22
定理7.14((有)(1))
证明: (有): (1) κ = λ = δ = n-1. 令 G = Kn即可.