比较代数式大小的技巧

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代数式技巧及练习题附解析

代数式技巧及练习题附解析一、选择题1．计算的值等于（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】原式＝＝＝.故选C．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．2．计算3x2﹣x2的结果是（）A．2 B．2x2 C．2x D．4x2【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得．【详解】3x2﹣x2=（3-1）x2=2x2，故选B．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.3．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、、299、2100，若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a【答案】C【解析】由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2，那么250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【详解】解：∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+ (249)=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2•2=2a2，∴原式=2a2-a．故选：C．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．4．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值．【详解】解：根据勾股定理可得a2+b2=9，四个直角三角形的面积是：12ab×4=9﹣1=8，故选A．考点：勾股定理．5．下列运算正确的是（）A．3a3+a3＝4a6B．（a+b）2＝a2+b2C．5a﹣3a＝2a D．（﹣a）2•a3＝﹣a6【答案】C【解析】【分析】依次运用合并同类型、完全平方公式、幂的乘法运算即可．【详解】A.3a3+a3＝4a3，故A错误；B．（a+b）2＝a2+b2+2ab，故B错误；C.5a﹣3a＝2a，故C正确；D．（﹣a）2•a3＝a5，故D错误；故选C．【点睛】本题考查了幂的运算与完全平方公式，熟练掌握幂运算法则与完全平方公式是解题的关键．6．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（）A．7500 B．10000 C．12500 D．2500【答案】A【解析】【分析】用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可.【详解】解：101+103+10 5+107+…+195+197+199＝22 119919922++⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1002﹣502，＝10000﹣2500，＝7500，故选A．【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．7．下列运算错误的是（）A ．()326m m =B ．109a a a ÷=C ．358⋅=x x xD ．437a a a +=【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．【详解】A 、（m 2）3=m 6，正确；B 、a 10÷a 9=a ，正确；C 、x 3•x 5=x 8，正确；D 、a 4+a 3=a 4+a 3，错误；故选：D ．【点睛】此题考查合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．8．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（）A ．（11，3）B ．（3，11）C ．（11，9）D ．（9，11）【答案】A【解析】试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数．故选A ．考点：坐标确定位置．9．若2m ＝5，4n ＝3，则43n ﹣m 的值是( )A ．910B ．2725C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解．【详解】∵2m＝5，4n＝3，∴43n﹣m=344nm=32(4)(2)nm=3235=2725故选B.【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键.10．下列命题正确的个数有（）①若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；④黄金分割比的值为≈0.618.A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】C【解析】【分析】根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；【详解】①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；④正确．黄金分割比的值为≈0.618；故选C．【点睛】本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．11．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2D ．a （a ﹣b ）＝a 2﹣ab【答案】A【解析】【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【详解】图1阴影部分面积：a 2﹣b 2，图2阴影部分面积：（a +b ）（a ﹣b ），由此验证了等式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，故选：A ．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．12．如图1所示，有一张长方形纸片，将其沿线剪开，正好可以剪成完全相同的8个长为a ，宽为b 的小长方形，用这8个小长方形不重叠地拼成图2所示的大正方形，则大正方形中间的阴影部分面积可以表示为（）A ．2()a b -B ．29bC ．29aD ．22a b -【答案】B【解析】【分析】根据图1可得出35a b =，即53a b =，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +，阴影部分的面积即为正方形的面积与长方形面积的差．【详解】解：由图可知，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +∴阴影部分的面积为：22(2)8(2)a b ab a b +-=-∵35a b =，即53a b = ∴阴影部分的面积为：222(2)()39b b a b -=-= 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式，根据图1得出a ，b 的关系是解此题的关键．13．若（x +1）（x +n ）＝x 2+mx ﹣2，则m 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【答案】A【解析】【分析】先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式，再将它与x 2+mx-2作比较，即可分别求得m ，n 的值．【详解】解：∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n ，∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2， ∴12n m n +=⎧⎨=-⎩， ∴m=-1，n=-2．故选A ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用．14．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（）A ．110B ．158C ．168D ．178【答案】B【解析】根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，∴m =12×14−10=158.故选C.15．图为“L ”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（）A ．2ab c -B ．() ac b c c +-C ．() bc a c c +-D ．2ac bc c +-【答案】A【解析】【分析】根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决．【详解】解：由图可得，“L”型钢材的截面的面积为：ac+（b-c ）c=ac+bc-c 2，故选项B 、D 正确，或“L”型钢材的截面的面积为：bc+（a-c ）c=bc+ac-c 2，故选项C 正确，选项A 错误，故选：A ．【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结合的思想解答．16．一家健身俱乐部收费标准为180元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次收费（元） A 类1500 100 B 类3000 60 C 类 4000 40例如，购买A 类会员年卡，一年内健身20次，消费1500100203500+⨯=元，若一年内在该健身俱乐部健身的次数介于50-60次之间，则最省钱的方式为（）A ．购买A 类会员年卡B ．购买B 类会员年卡C ．购买C 类会员年卡D ．不购买会员年卡【答案】C【解析】【分析】设一年内在该健身俱乐部健身x 次，分别用含x 的代数式表示出购买各类卡所需消费，然后将x=50和x=60分别代入各个代数式中比较大小即可得出结论．【详解】解：设一年内在该健身俱乐部健身x 次，由题意可知：50≤x≤60则购买A 类会员年卡，需要消费（1500＋100x ）元；购买B 类会员年卡，需要消费（3000＋60x ）元；购买C 类会员年卡，需要消费（4000＋40x ）元；不购买会员卡年卡，需要消费180x 元；当x=50时，购买A 类会员年卡，需要消费1500＋100×50=6500元；购买B 类会员年卡，需要消费3000＋60×50=6000元；购买C 类会员年卡，需要消费4000＋40×50=6000；不购买会员卡年卡，需要消费180×50=9000元；6000＜6500＜9000当x=60时，购买A 类会员年卡，需要消费1500＋100×60=7500元；购买B 类会员年卡，需要消费3000＋60×60=6600元；购买C 类会员年卡，需要消费4000＋40×60=6400；不购买会员卡年卡，需要消费180×60=10800元；6400＜6600＜7500＜10800综上所述：最省钱的方式为购买C 类会员年卡故选C ．【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键．17．如图，从边长为(4a +)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．18．下列计算正确的是（）A ．4482a a a +=B ．236a a a •=C ．4312()a a =D ．623a a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式逐项判断，即可求解.【详解】A 、4442a a a +=，故错误；B 、235a a a •=，故错误；C 、4312()a a =，正确；D 、624a a a ÷=，故错误；故答案为：C.【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式.19．下列运算中，正确的是（）A ．236x x x ⋅=B ．333()ab a b =C ．33(2)6a a =D ．239-=-【答案】B【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．【详解】x 2•x 3=x 5，故选项A 不合题意；（ab ）3=a 3b 3，故选项B 符合题意；（2a ）3=8a 6，故选项C 不合题意； 3−2＝19，故选项D 不合题意．故选：B ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂的计算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．20．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为2412a ab -+（），你觉得这一项应是（）A ．23bB ．26bC ．29bD ．236b 【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得出缺失平方项．【详解】根据完全平方的形式可得，缺失的平方项为9b2故选C．【点睛】本题考查了整式的加减及完全平方式的知识，掌握完全平方公式是解决本题的关键．。

如何比较两个代数式的大小

比较代数式的大小问题常以选择题、填空题的形式出现.此类问题的难度一般不大，侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.在解题时，需灵活运用简单基本函数的图象、性质来进行分析.本文主要探讨以下两种比较代数式大小的技巧.一、通过放缩进行比较有时两个要比较的代数式之间没有任何关联，此时可以通过放缩代数式，来确定要比较的两个代数式的大小或者范围，进而比较出两个代数式的大小．利用放缩法比较代数式的大小，可以从基本不等式、泰勒公式、柯西不等式、绝对值不等式、曲线的切线、重要不等式等入手，对要比较的代数式进行合理的放缩.例1.（2022年高考全国甲卷文科，第12题）已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）.A.a＞0＞bB.a＞b＞0C.b＞a＞0D.b＞0＞a解法1：由9m=10，得m=log910=lg10lg9，则m-lg11=1lg9-lg11=1-lg9lg11lg9lg10＞1-æèçöø÷lg9+lg1122lg9lg10＞1-æèçöø÷lg10022lg9lg10=0，所以a=10m-11=10m-10lg11＞0．则m-log89=lg10lg9-lg9lg8=lg10lg8-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg10+lg822-(lg9)2lg9lg8<æèçöø÷lg8122-(lg9)2lg9lg8=0，所以b=8m-9=8m-8log89＜0．所以a＞0＞b，故选A．解法2：由9m=10，得m=log910=lg10lg9＞1．由糖水不等式，得lg10lg9＞lg10+lg109lg9+lg109=lg1009lg10＞lg999lg10=lg11lg10，所以m=log109＞lg11，从而可得a=10m-11＞10lg11-11=0．同理可得lg9lg8＞lg9+lg98lg8+lg98=lg818lg9＞lg808lg9=lg10lg9，所以log98＞log109=m，则b=8m-9＜8log89-9=0，故a＞0＞b．解法1是利用指数与对数运算性质以及基本不等式进行放缩；解法2是利用“糖水不等式”进行放缩，从而确定了a、b的临界值，比较出三个代数式的大小．例2.（2022年全国新高考1卷，第7题）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（）.A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b解法1：由泰勒展开式，得e x=1+x+x22!+x33!+⋯+x nn!+⋯，则ln(1+x)=x-x22+x33-x44+⋯+(-1)n-1x n n+⋯，所以xe x=x+x2+x32!+x43!+⋯+x n+1n!+⋯,-ln(1-x)=x+x22+x33+x44+⋯+x n n+⋯．令x=0.1，得a=0.1+0.12+0.132!+⋯，b=0.1+0.12+0.13+⋯，c=-ln0.9=0.1+0.122+0.133+⋯，故c＜a＜b．故选C．解法2：由重要不等式e x≥x+1（当x=0时取等号），可知e-110＞1-110=910，即e110＜109，所以110e110＜19，所以a＜b．令x=0.1，由e x≥x+1可得e0.1＞1.1，所以0.1e0.1＞0.11；由ln x≤12æèöøx-1x（x≥1），得ln109＜12æèöø109-910=19180=0.105·＜0.11，所以c＜a.综上可知，c＜a＜b．根据三个代数式的结构特征很容易联想到泰勒公式，解法1是从泰勒公式入手，通过赋值、放缩，比较出三个代数式的大小.解法2是从重要不等式e x≥x+1入手，对其进行合理的赋值、放缩，从而比较出三个代数式的大小．例3.（2022年全国甲卷理科，第12题）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（）.B.b＞a＞c解题宝典36解题宝典C.a ＞b ＞cD.a ＞c ＞b解：由泰勒展开式，得sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，所以当x ＞0时，cos x ＞1-x 22，sin x x =1-x 23!+x 45!-⋯＞cos x ，令x =14，得cos 14＞1-12×42=3132，则4sin 14＞cos 14，故c ＞b ＞a ．解答本题，需联想到泰勒展开式的变形式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯，将两个式子进行放缩，以确定cos x 、sin xx的取值范围.然后将x 用14替换，通过赋值，判断出三个代数式之间的大小关系.二、利用函数的性质进行比较在比较代数式的大小时，我们常需要用到简单基本函数的单调性.一般地，若自变量x 1＞x 2，且函数单调递增，则f ()x 1＞f ()x 2；若自变量x 1＞x 2，且函数单调递减，则f ()x 1<f ()x 2.在解题时，需仔细观察要比较的代数式的结构特征，合理构建函数模型，以便利用函数的单调性进行比较．以例1为例.解：由9m =10，得m =log 910=lg 10lg 9＞1．设函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，则f ′(x )=mx m -1-1.由{x ＞1，m ＞1，得x m -1＞x 0=1，所以mx m -1＞1，即f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，+∞)上单调递增，所以f (10)＞f (9)＞f (8)，即10m -11＞9m -10＞8m -9，故a ＞0＞b ．我们仔细观察9m =10、a =10m -11、b =8m -9三式，可发现其结构形如f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，于是构造出函数f (x )=x m -(x +1)(x ＞1)，并对其求导，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性比较出三式的大小.以例2为例解：因为a =0.1e 0.1，b =0.11-0.1，c =-ln(1-0.1)，则a b =0.1e 0.10.11-0.1=(1-0.1)e 0.1，设f (x )=(1-x )e x ，x ∈[0,0.1]，则f ′(x )=-xe x≤0，所以f (x )在[0,0.1]上单调递减，所以f (0.1)＜f (0)=1，即(1-0.1)e 0.1＜1，所以a ＜b .设g (x )=xe x+ln(1-x )，x ∈éëöø0，19，则g ′(x )=(x +1)∙e x (x 2-1)+1x -1．设h (x )=e x (x 2-1)+1，h ′(x )=e x (x 2+2x -1)＜0，则函数h (x )在区间éëöø0，19上单调递减，因为h (0)=0，所以h (x )＜0，因为x +1＞0，x -1＜0，所以g ′(x )＞0，则函数g (x )在区间éëöø0，19上单调递增．因为g (0)=0，所以g (x )=xe x+ln(1-x )＞0，所以xe x＞-ln(1-x )．当x =0.1时，0.1e 0.1＞-ln 0.9，即a ＞c ．所以c ＜a ＜b ．本题中的a 、b 、c 三式分别为指数、分式、对数式，很难比较它们的大小，于是将ab、a -c .然后构造出函数f (x )=(1-x )e x 、g (x )=xe x +ln(1-x )，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性比较出三个代数式的大小.以例3为例解：设f (x )=x -sin x ,x ∈éëöø0,π2，则f ′(x )=1-cos x ≥0，所以f (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以f (x )≥f (0)=0，即x ≥sin x ．设g (x )=cos x +12x 2-1，x ∈éëöø0,π2，则g ′(x )=-sin x +x ≥0，所以g (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以g æèöø14=cos 14+12×æèöø142-1＞g (0)=0，即cos 14＞3132，即b ＞a ．设h (x )=sin x -x cos x ，0≤x ＜π2，则h ′(x )=x sin x ≥0，所以h (x )在éëöø0,π2上单调递增，所以h æèöø14＞h (0)，即sin 14＞14cos 14，得c ＞b ．故c ＞b ＞a ．故选A ．要比较的三个代数式分别为分数、正弦函数式、余弦函数式，需先分别将a 与b ，c 与b 作差；再构造函数f (x )=x -sin x 、h (x )=sin x -x cos x ；然后讨论其单调性，根据其单调性判断代数式之间的大小关系.可见，比较代数式的大小，可以从不等式的结构特征、函数的性质入手，灵活运用不等式的性质进行放缩，还可以构造合适的函数，利用函数的单调性进行比较．但需注意，在解题时，还需灵活运用各种运算技巧、性质，以及数形结合思想来辅助解题.（作者单位：甘肃省天水市第三中学）37。

专题03 等式与不等式的性质 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题03等式与不等式的性质比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<b a ba ，2.不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性ac c b a bc ac c b a ⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（）A ．a c b c+<+B ．11a b<C ．ac bc >D ．b a c->例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（）A ．22αβC ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（）A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b>D ．1ab b>+（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a 0B ．c （b -a ）<0C ．22cb ab <D ．ab ac>（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（）A ．2ab b <B ．ac bc <C ．11a c<D ．1c ac b-<-【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．m p n<，11a b<，求证：0ab >．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小．例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（）A ．(,0)2π-B ．(,22ππ-C ．(,0)4π-D ．(,44ππ-例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______．例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________.例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425ab bc ca a b b c c a +++，那么111a b c++的大值为__________．【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（）①1122b a --<②11b aa b -<-③e e b a b a -<-④5ln5a b +<+A ．1B ．2C ．3D ．4例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（）A ．a bD ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（）A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+D ．1121111n n n n n n n n +++++<++（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（）A ．19ab ≤B ．219ab+≥C D ≤（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（）A ．124a b->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（）A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【过关测试】一、单选题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（）A ．2a bv +=B ．v =C 2a b v +<<D ．b v <<2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（）A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（）A ．330a b ->B ．22a b <C ．()ln 0a b ->D ．a b<4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a bC ．22lg lg a b >D ．33a b >5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+C ．22ac bc >D ．332a b -+>6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是()A ．若1m =，则1a b +B ．若1m =，则331a b +C ．若2m =，则2a b +>D ．若2m =，则332a b + 7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（）①a b <②11a b ab+<+③2a b ab+<④b aa ab b +<+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（）A ．1ab a b +>+B ．()2log 1a b +>C ．11a b ab+<+D ．11a b a b+>+10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（）A ．2ab b >B ．ac bc<C ．11a c>D ．1a cb c->-11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（）A ．()()c c a c b c -<-B ．log (1)log (1)a b c c +<+C ．log log 2a c c a +≥D ．22224a cbc c >>12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A ．10b a -<<<B ．10a b -<<<C ．33a b b a ⋅<⋅D ．22b aa b ⋅<⋅三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b <；②a 3>b 3>2ac 2>2bc 2；⑤ab>1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________．16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----．（1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小.19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求a －b 与ab的取值范围.21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知,,,a b c d R∈(1)证明：()()22222()a b c d ac bd --- ；(2)已知,x y R ∈，2241x y -=，求2|y +的最小值，以及取得最小值时的x ，y 的值．22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数2()2()f x ax bx c c b a =++>>，其图像过点(1,0)，且与直线y a =-有交点.（1）求证：01ba≤<；（2）若直线y a =-与函数|()|y f x =的图像从左到右依次交于A ，B ，C ，D 四点，若线段,,AB BC CD 能构成钝角三角形，求ba的取值范围.。

四川省中等职业学校对口升学考试数学总复习《第二章不等式》课件

(2)零点分段讨论法:通常用于解含有两个或两个以上的绝对值符号的不等式.
(3)利用不等式的性质:|x|<a(a>0)⇔-a<x<a;|x|>a(a>0)⇔x<-a或x>a.
(4)两边平方法:|f(x)|<a⇔f2(x)<a2;|f(x)|>a⇔f2(x)>a2.
一
典例解析
例1 一元一次不等式3x+9>0的解集是(
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x| x<x<x2}
⌀
⌀
一
知识清单
3.解一元二次不等式的步骤
(1)看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数.
(2)写出相应的方程ax2+bx+c=0(a>0),计算判别式Δ.
①当Δ>0时,求出两根x1,x2,且x1<x2(注意灵活运用因式分解和配方法).
一
真题在线
1.（2017年·四川对口升学）不等式|x－2|≤5的整数解有（
A.11个
B.10个
C.9个
D.7个
）.
2.（2018年·四川对口升学）一元二次不等式x2－1＜0的解集为（
A.（-∞，-1）∪（1，+∞）
B.（-∞，-1）∪（1，+∞）
C.（-1，1）
D.（-1,1）
3.(2019年·四川对口升学)绝对值不等式|x－3|＜4的解集为（
解集为(-∞,-3)∪(5,+∞).
(3)由|x|+3<0得|x|<-3,与绝对值为非负矛盾,所以原不等式解集为⌀.
【技巧点拨】首先判断是否为标准形式的绝对值不等式,再将绝对值不等式进行等价转

初一下代数式知识点总结归纳

初一下代数式知识点总结归纳在初中数学学习的过程中，代数是一个重要的部分。

初一下学期主要学习了代数式的基本概念和应用。

本文将对初一下代数式的相关知识进行总结归纳。

一、代数式的基本概念代数式是由数、字母和运算符号组成的符号集合，代表数与数之间的关系。

其中，数是已知的，字母是未知的。

代数式可由一个或多个代数单项式或代数多项式通过加、减、乘、除等运算符号构成。

代数式的组成部分包括系数、字母和指数。

系数表示字母的倍数，字母表示未知数，指数表示字母的幂次。

二、代数式的运算法则1. 代数式的加法法则：同类项相加，系数相加，字母部分保持不变。

2. 代数式的减法法则：减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上它的相反数。

3. 代数式的乘法法则：每个项相乘，底数相乘，指数相加。

4. 代数式的除法法则：相同底数的幂相除，指数相减。

三、代数式的应用代数式在数学中有广泛的应用，以下是初一下学期代数式的一些常见应用：1. 代数式的简化：将代数式根据运算法则化简为最简形式，使得计算更加便捷。

2. 代数式的展开：利用乘法法则将代数式展开为多项式。

3. 代数式的因式分解：将多项式拆分为不可再分的因式的乘积形式。

4. 代数式的求值：给定字母的值，计算代数式的具体数值。

5. 方程的解：将代数式与零相等，找出字母的值，即为方程的解。

四、常见的代数式类型初一下学期学习的代数式类型较为简单，主要包括：1. 单项式：只有一个项的代数式，形如ax^n（a≠0，n为非负整数）。

2. 多项式：由多个单项式相加或相减构成的代数式，形如f(x)=ax^n+bx^m+...+c（a、b、c为常数，x为字母）。

3. 等式：由两个代数式相等构成的表达式，形如f(x)=g(x)。

4. 不等式：由两个代数式大小关系构成的表达式，形如f(x)≥g(x)或f(x)＜g(x)。

5. 分式：由多项式作为分子和分母的比构成的代数式，形如f(x)=p(x)/q(x)（p(x)和q(x)为多项式）。

小学六年级数学重点知识归纳认识和应用代数式的求解方法和技巧

小学六年级数学重点知识归纳认识和应用代数式的求解方法和技巧一、引言数学是一门重要的学科，对于小学生来说，数学的学习尤为关键。

在小学六年级数学的学习中，代数式的求解方法和技巧是重点内容之一。

本文将对小学六年级数学的代数式的求解方法和技巧进行归纳和讲解。

二、认识代数式代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。

在代数式中，字母代表着未知数，数字和运算符号则表示着具体的数值和运算方式。

小学六年级学生需要通过理解和掌握代数式的基本概念，才能够进行正确的求解。

三、代数式的求解方法1. 同类项合并法：同类项是指具有相同的字母并且指数相等的项。

在求解代数式时，我们需要将相同的项合并在一起，从而简化计算的过程。

例如，对于代数式3x+2x+5，可以合并同类项得到5x+5。

2. 方程法：方程是由等号连接的两个代数式组成，其中包含一个未知数。

在求解方程时，我们需要通过逆运算的方式，将未知数解出。

例如，对于方程2x+3=9，可以通过逆运算得到未知数x的值为3。

3. 因式分解法：因式分解是将一个代数式拆解成多个因式的乘积。

通过因式分解，可以帮助我们找到方程的解。

例如，对于代数式x^2-4，可以因式分解为(x+2)(x-2)，从而得到方程的解为x=2和x=-2。

四、代数式的求解技巧1. 观察代数式的结构：在求解代数式时，我们需要仔细观察代数式的结构，找出其中的规律和特点。

通过观察，可以帮助我们选择合适的求解方法。

例如，在代数式3x+y+2x-5y中，我们可以观察到同类项的出现，因此可以选择同类项合并法进行求解。

2. 运用逆运算：逆运算是指将某个运算的结果进行相反操作的运算。

在求解方程时，我们需要通过逆运算将未知数解出。

例如，对于方程2x-5=7，我们可以通过逆运算将-5移动到等号的另一边，得到2x=12，再进行除法运算得到未知数的值。

3. 灵活应用因式分解：因式分解是求解代数式的常用技巧，但在实际应用中，我们需要根据具体的情况灵活运用。

提优专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧(原卷版)

专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版）专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。

恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。

通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

第一部分典例剖析+变式训练类型一通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，则m 2−n 2mn 的值等于（） A ．2√3B ．√3C ．√6D ．3 变式训练1．（达州中考）已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为．2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝．3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：因为a +b ＝8，ab ＝15，所以：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√8，且x ＜0，求x +1x的值．类型二通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于．变式训练1．（2022•蓝山县校级开学）若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是．2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x 2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x +1，可设x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ；则x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ＝x 2+ax +x +b ＝x 2+（a +1）x +a +b ．∵对于任意上述等式成立，∴{a +1=−1a +b =3解得：{a =−2b =5． ∴x 2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x ﹣2+5x+1．这样，分式x 2−x+3x+1就拆分成一个整式x ﹣2与一个分式5x+1的和的形式．（1）将分式x 2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x 2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．类型三通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021•杭州三模）已知2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0（1）用含x 的代数式分别表示a ，b ；（2）当a ≤4＜b 时，求x 的取值范围．变式训练4．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k yk x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。

比较代数式大小的技巧

比较代数式大小的技巧比较代数式的大小，不仅要明确用字母表示数的意义，而且还必须掌握一些比较大小的方法，下面举例说明．一、分析比较法例1 a是有理数，比较a和－a的大小．分析：有的同学会立即得出结论a＞－a，其实这是错误的．因为字母a可以表示正数、负数及零，要正确地得出结论必须对字母a分正、负、零各种情况进行讨论解：当a＞0时，因为－a＜0，故a＞－a；当a＜0时，因－a＞0，故a＜－a；当a=0时，因－a=0，故a=－a．例2 比较a＋b与a的大小．分析：在代数式a＋b和a中，都有同一字母a，所以，不论a为何值，都不会影响a＋b与a的大小关系，因此，只要分情况讨论b就可以了．解：当b＞0时，a＋b＞a；当b=0时，a＋b=a；当b＜0时，a＋b＜a．例3 比较a＋b与a－b的大小．分析：在a＋b和a－b中，完全相同的部分是a，b与－b是不同的，所以只要讨论b与－b的大小关系就可以了．解：当b＞0时，b＞－b，∴a＋b＞a－b；当b=0时，b=－b，∴a＋b=a－b；当b＜0时，b＜－b，∴a＋b＜a－b.二、求差比较法例4 比较x2－2x－15和x2－2x－8的大小．解：∵(x2－2x－15)－(x2－2x－8)=x2－2x－15－x2＋2x＋8=－7＜0.∴x2－2x－15＜x2－2x－8.例5 已知x≠0，比较x4＋2x2＋1和x4＋x2＋1的大小．解：∵(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1) =x4＋2x2＋1－x4－x2－1=x2＞0(x≠0)∴x4＋2x2＋1＞x4＋x2＋1．注：例3亦可用求差比较法：解：∵(a＋b)－(a－b)=2b，∴当b＞0时，a＋b＞a－b；当b=0时，a＋b=a－b；当b＜0时，a＋b＜a－b.。

高考数学中的代数式的变形技巧与方法

高考数学中的代数式的变形技巧与方法代数式作为高考数学中的一项重要考点，需要考生在备战高考的过程中，熟练掌握各种代数式的变形方法与技巧。

在这篇文章中，我们将针对高考数学中的代数式的变形技巧与方法进行探讨，帮助考生更好地应对高考数学中的各类代数式题目。

一、代数式的化简在高考数学中，代数式的化简是考试中最常出现的代数式应用之一。

为了方便计算，我们常常需要通过代数式的化简，将其简化为更易于计算的形式。

1、合并同类项合并同类项是指将代数式中同一变量指数相同的项合并为一项。

例如，将2x+3x，合并为5x。

在高考数学中，合并同类项是代数式化简中最基本的一种方法，考生需熟练掌握。

2、提取公因数提取公因数是指将代数式中的公因数提取出来，化简成一个乘积形式。

例如，在式子4x + 6y中，4和6都是2的倍数，因此可以提取出公因数2，化简为2(2x + 3y)。

3、分配律分配律是指将括号中的项，分别与外面的项相乘，然后再将结果相加。

例如，在式子3(2x + 4y)中，根据分配律，可以将3与2x 和4y相乘，得到6x和12y，再将结果相加，得到6x + 12y。

二、代数式的变形代数式的变形是指将代数式中的一部分变形，使其更容易进行计算。

在高考数学中，代数式的变形是比较难的一个知识点，需要考生扎实的代数基础和丰富的解题经验。

1、平方公式平方公式是代数式变形中非常重要的一种方法。

平方公式分为二次平方公式和三次平方公式两种。

二次平方公式：(x + y)² = x² + 2xy + y²(x - y)² = x² - 2xy + y²三次平方公式：(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³对于这种类型的问题，考生需要对平方公式进行反复推导和计算，才能完全掌握平方公式的变形方法和技巧。

2019新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式知识点和题型总结

第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题.教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.教学难点：用作差法比较代数式的大小.【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a=b,那么a+c=b+c.(2妆口果a=b,那么ac = be或学=#(CH0).(3妆口果a=b, b=c,那么a=c.知识点二作差比较法(1)理论依据：因d_/2>OOa>b：^a-b = 0<^a = b; ^g-b<0<^a<b.⑵方法步骤：①叵I作差；②西整理；③西判断符号；④因下结论.知识点三两个实数大小的比较(1)“> 如凹"-b>0:(2)"=bO"-b 図=0：(3)固αvZ?Ua —b<0.知识点四不等式的性质⑴如果a>b,那么b<a；如果b<cb那么回“>/?,即国台Z?V".(2妆口果a>b,且b>c,那么歴輕，即a>b, b>c=叵I ">c.(3)如果a>b,那么d+o画R+c.(4)如果a>b, c>0,那么ac >bc；如果a>b, c<O,那么UC <bc.(5)如果a>b, OcL那么α+c 画 >/?+〃.(6)如果a>b>O, c>d>O,那么ac回如果α>b>O, c<(l<0,那么ac 回G"∙⑺如果a>b>O,那么0 凹R"(n∈N, π≥2).(8)如果回^/>∕x>0,那么,∖[cι>,yfb(n^N, 2).【新知拓展】1.关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如">/?, c>d不能推出“一c>/?—d.2.常用的结论(1 )a>b,(2)bvO<"W>*;(3)a>b>O,o√>0=>^>p... r,I a a+m a a~m b b+m b b~m(4)右Qb>0,加>0,则沪书p丹百卩一心0)； £片；茗二需(方_心0).3.比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”，也可二者并用.4.利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小:(1)已知S 〃为正数，且a≠b,比较/+，与局+“2；⑵已知XV1,比较X3-I与2X2-2X:(3)已知X, y均为正数，设加=出，“=古，比较加与〃的大小.［解］(1 )(Λ3 ÷b3)—(a2b ÷ ab2)=a3+b3-a1b-ab2=a2{a-b)-b2(a—b)= (a-b)(a2-b2)= {a~b)2(a+b).Vt∕>O, b>0 且a≠b, Λ(a-b)2>Q9 a+b>O9/. (a y÷ /?3) — (a2b ÷ ab2)>O,即cr+b^>a2b+ab2.(2)X3- 1 — (2x2-2x)=x3-2X2÷2X- 1=(√-X2)-(X2-2X÷1)=X2(Λ:- I)-(X-1)2= (X-I)(X2-χ+1) = (X- 1 {(^-∣)2+∣•Txvl, Λχ- l<0.X^x-^2÷j>0,•••(XT)-(x^⅛+fl <0, ΛX3~1<2Λ2~2X.4 x+y 4 (x+y)2_4Xy (χ∙~y)'χ+y Xy x+y Q(X+y) xy(x÷y)* 乂“ y均为正数，Λ.r>0, y>0, xy>0, x÷y>0, (X-y)2≥0.Λ∕n-∕2≥0,即〃总舁(当x=y时，等号成立)・金版点睛作差比较法的四个步骤［结论〕—(根据差的符号，判断两数(式)的大小「题型二不等式的性质及应用例2下列命题正确的是 ___________②α>b 且 c>d=>ac>bch解析］①戸’ n 知当XO, b>0时，满足已知条件，但推不出a>b, IoO (・•・①错误.②当a = 3, b=∖, C= —2, Cl=—3时，命题显然不成立∙ ∙°∙②错误•④显然c 2>0t Λ两边同乘以$得a>b.④正确.［答案］③④金版点睛解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定・题型三利用不等式的性质证明不等式例 3 (1)已知e>f 9 c>0,求证：f-ac<e~bc;(2)已知CVdV0,求证：土缶；-∖a>h>09‰>o一成立・・：③正确・ ③a>b>O 且 c>√>0=>=>^>p*0=>(3)已知bc-ad20, bd>O.求证：一T —W 〃・［证明］(I)Tα>∕?, c>O, .*.ac>hc./. -ac<-hc.'∙f<e,:・f— ac<e—be.(2) T CVdVO, /. —c>—d>0.乂a>b>O, C. ci—c>b—d>0.(3) •： be—adMO, :∙QdWbc,乂T bcl>O,金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件.(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.题型四利用不等式的性质求取值范围例4 (1)已知2vαW5,3WbVl0,求a~b,彳的取值范围；(2)已知一∣≤cc<^≤^,求笞迫，生亍©的取值范圉.［解］(I)V3≤∕^<10,・•・一10v-bW-3.乂2<t∕≤5τ •：—8<f∕-Z>≤2.⑵T —彳WaV厂W号,・•・-共鈴γ<⅛两式相加得一两式相加得一又*0,・・・三篡0, Λ［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求a+b,“b的取值范围.解由2<t∕≤5,3≤^<10 得2 +3 V/+b<5 ÷ 10,2 ×3<ab<5 ×10,即5<a÷b< 15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的"范围”间的联系.如已知20<x+yV30,15Vχ-y<18,要求2x+3y的范围，不能分别求出X, y的范围，再求"+3y的范围，应把已知的"x+y” “x—y” 视为整体，即2x+3y=I(X+>-)—∣(Λ—y),所以需分别求出∣(x+y), —∣(χ-y)的范围，两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.2.2基本不等式课程标准：1•掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4 •熟练掌握基本不等式及变形的应用∙5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.教学难点：基本不等式条件的创设.【知识导学】知识点一基本不等式如果。

代数式题型及解题口诀

合并同类项一．同类项的判断方法口诀：一看（看两个单项式是不是含有相同的字母，如果含有不同的字母一定不是同类项。

）二比较（比较两个单项式中每个相同字母头上的次数是否相同，如果有相同字母头上的次数不同，就不是同类项。

）三结论（如果两个单项式所含的字母都一样，每个相同字母头上的次数也一样，这两个单项式就是同类项。

）注意：找同类项时一定要连同它前面的符号一起。

例题1：下列是同类项的是：-2a2b+2b2a① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦解：一看（①与③含有同一字母a ；②与④，⑥与⑦含相同字母a，b）二比较（①与③中相同的字母a的次数都是2，所以①与③是同类项；②与④中a的次数都是1次，b的次数也是1次，所以②与④也是同类项；⑥中的a是2次，而⑦中的a是1次，所以⑥与⑦不是同类项）三结论同类项为：；（1）找下列是同类项的朋友a² mn xy 2 -3pq³ a³ -8pq³ -nm 3q³p -4（2）写出2个2xyz 的同类项，2个非同类项（3）写出6x2y+2xy-3x2y2-7x-5yx-4y2x2-6x2y中的同类项二．去括号与添括号方法口诀1：去括号：一看符号（看括号前面是“+”，还是“—”号）二去括号及括号前的符号（去掉括号以及括号前面的运算符号）三注意（1. 括号前面是“+”，直接去掉括号及前面的“+”，原来括号内的项不变号；2. 括号前面是“—”，去掉括号和这个“—”，原来括号内的每一项改变原来的符号，原来是“+”的变成“—”，原来是“—”的变成“+”。

）例题1：去括号250+（a+b-c-100）解：一看符号（括号前是“+”）二去括号及括号前的符号（去掉“+（）”）三注意（去掉“+（）”后，原来括号里剩下“a+b-c-100”，a前面省略了“+”所以把“+”号写出即可）250+（a+b-c-100）=250+a+b-c-100练习：去括号（a-b）+（c-d）=_________ -a+（b-c）=____________ a+(5a-3b)+ (a-2b)；例题2：去括号58-（-5+a-b+c）解：一看符号（括号前是“—”）二去括号及括号前的符号（去掉“（）”和前面的“—”，括号里面是“-5+a-b+c”）三注意（括号前面是“—”，所以，原来括号内的每一项改变符号，-5+a-b+c变成+5-a+b-c）58-（-5+a-b+c）=58+5-a+b-c练习：去括号（a+b）-（c+d）=（a+b）-（-c+d）= (8a-7b)-(4a-5b) 例题3：8x＋2y-2（5x－2y）解：一此题括号外除了符号外还含有系数，所以先把系数乘入括号内，得：8x+2y-（10x-4y）二同例题28x＋2y-2（5x－2y）= 8x+2y-（10x-4y）= 8x+2y-10x+4y练习：2xy- 3(2xy-y)方法口诀2：添括号一看符号（如果添括号处是“加号”，直接在其后面添上括号；如果添括号处是减号，在减号后面添上括号后原来各个数都改变符号）二添上符号后，再去括号看和原来是否一样。

代数式取值范围

代数式取值范围1.引言1.1 概述代数式是数学中常见的一种表达式形式，由运算符、变量和常数组成。

在实际问题中，经常需要对代数式的取值范围进行分析和计算。

代数式的取值范围可以帮助我们了解代数式可能的取值范围，对于解决实际问题和推理数学性质都具有重要意义。

代数式的取值范围计算方法是通过对代数式中的变量赋予不同的取值进行分析。

在计算过程中，我们需要考虑代数式中的运算法则、约束条件以及变量的定义域等因素。

通过合理的推导和计算，我们可以得到代数式的取值范围，从而更好地理解和应用代数式。

本文将首先介绍代数式的定义和基本概念，包括代数式的结构、运算符的优先级和结合律等。

随后，我们将详细探讨代数式的取值范围计算方法，包括如何根据代数式的特点和约束条件进行分析和推导。

通过具体的例子和实际问题，我们将展示不同类型的代数式取值范围计算方法和技巧。

在结论部分，我们将总结代数式取值范围的重要性，包括其在解决实际问题中的应用和对代数性质的理解。

同时，我们也将对代数式取值范围计算方法的局限性和未来的研究方向进行展望。

通过本文的阅读，读者将对代数式的取值范围有更深入的理解，并能够运用相关的计算方法分析和解决实际问题。

同时，本文也将为进一步研究代数式的取值范围和相关领域提供一定的参考和启示。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构文章的结构分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要介绍本篇文章的背景和目的，概述代数式取值范围的重要性，并概括了文章的整体结构。

通过引言部分，读者可以对本文的核心内容有一个初步的了解。

正文部分包括了代数式的定义和基本概念以及代数式的取值范围计算方法。

首先，我们会详细介绍代数式的定义和基本概念，包括代数式的含义、常见的代数运算符号等。

然后，我们会详细讲解代数式的取值范围计算方法，包括常见的一元一次方程、一元二次方程的解法，以及不等式的求解方法等。

通过正文部分的阐述，读者可以对代数式取值范围的计算方法有一个清晰的了解。

选择题中压轴题的解题方法与技巧

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知识篇方法技巧助提高
高考数学 2023 年 7-8 月
的 2 倍,直线 QA 交椭圆于点 B ,若直线 BP
恰好是以 PQ 为直径的圆的切线,则椭圆 C
)
。
的离心率为(
1
个特殊方法,经常通过中间值的巧妙介入加
压轴题有非常大的帮助。
以合理估算。在实际解决问题时,经常用估
一、估算法
算法来判断两个容易比较大小的问题,再综
估算法是契合 “能根据要求对数据进行
合其他的判定方法加以解决。
到目的,
为进一步解决问题提供条件。在实
际解题时,
经常利用特值法来解决一些求范
围问题、
比较大小问题、含字母求值问题、恒
成立问题、
任意性问题等。
四、构造法
构造法是借助条件或结论合理构造相应
等清晰展现,
进而借助所构造的数学对象 (函
数、
图形等数学模型 )更加直接、方便快捷地
寻找相关点的坐标,
利用三个
不同圆的圆心的确定,
结合等面积法来化归与
转化,
进而确定对应圆的半径,
结合三角形的性
质来分析与处理,
确定对应的面积问题。
2
2
解:
如图 1 所示,
由双曲线 C:
x -y =4
可得 a =b =2,

解答不等式问题的几个技巧

解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。

中考数学专题02 代数式【考点精讲】(解析版)

考点1：代数式的概念与求值1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。

求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。

【例1】（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（）A ．8nm （元） B ．8nm（元） C ．8mn（元） D ．8mn（元）【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；【详解】∵m 千克的售价为n 元， ∴1千克商品售价为n m， ∴8千克商品的售价为8nm（元）；故选A ．【例2】（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（）A ．7B ．4C ．3D ．3-【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=+-+=．故选：C【例3】（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．专题02 代数式【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +；故答案为：12n n +．有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A ．先打九五折，再打九五折B ．先提价50%，再打六折C ．先提价30%，再降价30%D ．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x 元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【详解】设原件为x 元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x ×0.95=0.9025x 元， ∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x ×0.6=0.90x 元， ∵先提价30%，再降价30%， ∴调价后的价格为1.3x ×0.7=0.91x 元， ∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x ×0.75=0.9375x 元， ∵0.90x ＜0.9025x ＜0.91x ＜0.9375x 故选B2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．【详解】解：∵x =3＜4∴把x =3代入1(4)y x x =-≤，解得：312y =-=， ∴y 值为2，故答案为：2．3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ．考点2：整式相关概念1．单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.2．多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.3．整式：单项式与多项式统称整式.4．同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.【例4】（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______．【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：∵单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项， ∴2m =4，n +2=-2m +7，解得：m =2，n =1，则m +n =2+1=3．故答案是：3．【例5】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（） A ．21n n a + B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决．【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...， ∴第n 个单项式为21n n a +，故选：A ．【例6】已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝．【答案】17【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【详解】解：∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式， ∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0，解得：m ＝﹣3，∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17．故答案为：17．1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数1．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23ab 的同类项是（） A ．32a b B ．232a bC ．2a bD ．3ab【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致， ∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B2．关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（） A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【答案】B【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；故选：B ．3．若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为．【答案】0【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可．【解答】解：根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9，解得：m ＝﹣1，n ＝1，则m +n ＝﹣1+1＝0．故答案为：0．考点3：整式的运算 1．幂的运算性质：（1）同底数幂相乘底数不变，指数相加. 即：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是整数). （2）幂的乘方底数不变，指数相乘. 即：(a m )n ＝a mn (m ，n 都是整数).（3）积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：(ab )n ＝a n b n (n 为整数).（4）同底数幂相除底数不变，指数相减. 即：a m ÷a n ＝a m -n (a ≠0，m,n 都为整数). （5）a 0=1(a ≠0), a -n =a1(a ≠0). 2．整式的运算：（1）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项.（2）整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m (a +b +c )=ma +mb +mc ；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m +n )(a +b )=ma +mb +na +nb .（3）整式的除法：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加. 3．乘法公式：（1）平方差公式:(a ＋b )(a -b )＝a 2-b 2. （2）完全平方公式:(a ±b )2＝a 2±2ab +b 2.（3）常用恒等变换:a 2＋b 2＝(a ＋b )2-2ab=(a -b )2＋2ab ；(a -b )2＝(a ＋b )2-4ab.【例7】（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ⋅=D ．22(1)1a a -=-【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意； B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意； C 、23a a a ⋅=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意；故选：C ．【例8】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（）A ．22a a -=B ．()2211a a -=- C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a =【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误； B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误； C ：63633a a a a -÷==，故C 错误； D ：()()2232332622·44a a a a ⨯===．故选：D【例9】（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（）A ．325a b ab +=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-=【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意； C ，合并同类项后2787a a a a +=≠，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：()24a a -⋅的结果是（） A ．8a B ．6aC ．8a -D ．6a -【答案】B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式24246a a a a +=⋅==．故选B ．2．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（） A ．23a a a += B ．()32622a a =C ．623a a a ÷=D ．325a a a ⋅=【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：()32628aa =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -÷==，故选项C 错误；选项D ：33522a a a a +⋅==，故选项D 正确；故选：D ．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、，正确，故该选项符合题意；B 、,错误，故该选项不合题意；C 、，错误，故该选项不合题意；D 、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．考点4：整式化简求值【例10】（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．【详解】解：原式，，将代入得：原式．1．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．4=±()2234636m n m n =24833a a a ⋅=33xy x y -=4=±()2234639m n m n =24633a a a ⋅=3xy 3x ()()212(2)x x x +++-1x =1x =22214x x x =+++-25x =+1x =2157=⨯+=2(21)(21)(23)x x x +---1x =-【详解】解：原式= = =，当x =-1时，原式==-22．2．（2020•凉山州）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x =2．【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x 的值代入计算可得答案．【详解】原式＝4x 2﹣9﹣（x 2+4x +4）+4x +12 ＝4x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣4+4x +12 ＝3x 2﹣1，当x =2时，原式＝3×（2）2﹣1 ＝3×2﹣1 ＝6﹣1 ＝5．考点5：因式分解因式分解的步骤：(概括为“一提，二套，三检查”) （1）先运用提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ).（2）再套公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )，a 2±2ab +b 2=(a ±b )2(乘法公式的逆运算).（3）最后检查：分解因式是否彻底，要求必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.【例11】（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（）A ．()221x x - B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【例12】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+2241(4129)x x x ---+22414129x x x --+-1210x -()12110⨯--C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【例13】（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为．【答案】49【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．【详解】∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49，故答案为：49．本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。

代数式范围求解技巧

代数式范围求解技巧代数式范围求解是数学中的一个重要概念。

在代数中，范围是指一个变量可能取值的集合。

范围的求解可以帮助我们了解一个变量的取值范围，并且在解决问题时有很重要的作用。

下面我们来讨论一些代数式范围求解的技巧。

1. 利用不等式不等式是解决范围求解问题最常用的工具之一。

通过对代数式进行不等式变换，我们可以得到不等式表达式，并通过求解不等式来确定变量的范围。

常见的不等式关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

例如，对于代数式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将它转化为因式分解形式(x-1)(x-3)>0，然后利用数线图或符号法来求解不等式。

解得1 < x < 3，即x的取值范围为(1, 3)。

2. 利用绝对值绝对值是求解范围问题中另一个常用的工具。

当变量的范围由绝对值限定时，我们可以将代数式进行绝对值转化，并通过求解绝对值不等式来确定范围。

例如，对于代数式|2x - 5| < 7，我们可以将其转化为两个不等式2x - 5 < 7和2x - 5 > -7，然后求解不等式得到解集-1 < x < 6。

3. 利用根式当代数式中含有根式时，我们可以通过对等式两边进行平方或者开方来确定变量的范围。

例如，对于代数式√(x+2) - 1 < 3，将等式两边平方得到x + 2 - 2√(x+2) + 1 < 9，整理得2√(x+2) > -8，进一步得到√(x+2) > -4，然后对等式两边进行开方得到x + 2 > 16，进一步得到x > 14，即x的范围为(14, +∞)。

4. 利用函数图像对于一些较为简单的代数式，我们可以利用函数的图像来确定范围。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、单调性和零点等信息，从而确定变量的范围。

例如，对于代数式y = x^2 - 4x + 3，通过绘制函数图像，我们可以看到函数开口向上，且顶点在直线x = 2上。

两数大小比较有方法

两数大小比较有方法
□
一、法则比较法
根据法则“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小”来比较.适用于比较容易看出或估算出两数绝对值大小的两个数.
例1 比较下列两个数的大小：（1
）与2
π
；（2
）与-2.
解析：（1
）因为＜0，2
π
＞0，根据“正数大于一切负数”得
2
π
＞.
（2）因为5＞4
＞2.根据“两个负数，绝对值大的反而小”
得＜-2.
二、平方比较法
适用于符号相同的两个数.根据“当a，b都是正数时，若a2＞b2，则a＞b；若a2＜b2，则a＜b；若a2=b2，则a=b.当a，b都是负数时，若a2＞b2，则a＜b；若a2＜b2，则a＞b；若a2=b2，则a=b”来比较.
例2 比较5
2
.
解析：因为（5
2
）2＝
25
4
，
2＝5，而
25
4
＞5，所以
5
2
三、作差比较法
根据“若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b”来比较大小.
例3
和0.25的大小.
解析
因为10＞9
＞0
0.
-0.25＞0
＞0.25.
四、中间值比较法
根据“若a＜b，b＜c，则a＜c”来比较两实数的大小，其中b为中间值.
例4
.
解析：可取一个中间值，借助这两个数与中间值的大小关系来比较这两个数的大小.
=3
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2.2 基本不等式

2．要制作一个体积为9 m3，高为1 m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，问：该容器的长为多少时，容器的总造价最低？总造价最低为多少元？解：设该长方体容器的长为 x m，则宽为9x m，设该容器的总造价为 y 元，
则 y＝9×10＋2x＋9x×1×5＋100＝190＋10x＋9x，因为 x＋9x≥2 x·9x＝ 6，当且仅当 x＝9x，即 x＝3 时取“＝”，所以 ymin＝250. 故该容器的长为 3 米时，容器的总造价最低，总造价最低为 250 元．
提醒：注意使实际问题有意义的变量的取值范围．
【对点练清】 1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的
总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－ 25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是 ________万元．解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18 －2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元．答案：5 8
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质．
[典例 2] (1)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值；
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-解析版 2023-2024学年九年级数学考

考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。

2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。

（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。

（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。

3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba ，x1x2=ca．考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9 根与系数的关系求变形式子考点1 利用配方法比较大小【详解】（1）224622x x x -+=-+（），所以当2x =时，代数式246x x -+有最小值，这个最值为2，故答案为：2-；2；2；小；2；（2）2123x x ---（）222x x =-+2110x =-+（）＞则2123x x --＞．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例如，求263x x ++的最小值问题．解：∵()2226369636x x x x x ++=++-=+-，又∵()230x +≥，∴()2366x +-≥-，∴263x x ++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：()2245____________x x x -+=+；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)2-，1(2)2-(3)21>23x x --【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）先配方，再求最值．（3）作差后配方比较大小即可．【详解】（1）解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．（2）222242(211)2(1)2x x x x x +=++-=+-，故答案为：2,2-（2）解：221612611x x x x --+=-+2692x x =-++()232x =-+()30,x -³Q()23220,x \-+³>21612.x x \->-（3）解：()222323x x x x -++=--+()22113x x =--+-+()214x =--+ ()210,x --£Q ()2144,x \--+£ ∴223x x -++的最大值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“配方法的步骤与非负数的性质”是解本题的关键．考点2利用配方法求最值【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：()2224644222x x x x x +=-++=-+-故当20x -=，即2x =时，代数式246x x -+最小值为2；（2）∵224250x x y y -+++=，则2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，即20x -=，10y +=，∴2x =，1y =-，∴211x y +=-=；（3）()()2221232211x x x x x ---=-+=-+，∵()210x -≥，∴()2110x -+>，∴2123x x ->-．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ²43a a ++．解：原式：²441(2)²1(21)(21)(3)(1)a a a a a a a =++-=+-=+++-=++②2246M a a =-+，利用配方法求M 的最小值．解：2²462(²21)622(1)²4M a a a a a =-+=-++-=-+222(1)02(1)44a a -≥∴-+≥，，∴当1a =时，M 有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解²412x x --；(2)若 2441M x x =+-，求M 的最小值．【答案】(1)(6)(2)x x -+考点3 利用配方法未知系数的取值∴2a =，1b =，∴1a b -=，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关键．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=，然后求出n 的值即可．【详解】∵2610x x --=，∴261x x -=，∴26919x x -+=+，即2(3)10x -=， 10n ∴=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n -的值为（）A ．6-B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】由2630x x ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n -，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =，∴3m n -=-，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值．考点4 用配方法构造“非负数之和”解决问题∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8＜c＜13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．14．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知2248200++-+=，那么y x=（）x y x yA．－16B．16C．－8D．8【答案】B【分析】利用配方法把已知条件变形为（x+2）2+（y-4）2=0，再根据非负数的性质得x+2=0，y-4=0，即可求出x与y的值，进一步代入求得答案即可．【详解】∵x2+4x+y2-8y+20=0，∴x2+4x+4+y2-8y+16=0，∴（x+2）2+（y-4）2=0，∴x+2=0，y-4=0，∴x=-2，y=4，∴x y=16．故选B.【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．15．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（）A．总不小于4B．总不小于9C．可为任何实数D．可能为负数【答案】A【分析】要把代数式x2+y2+2x-4y+9进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围即可．【详解】x2+y2+2x-4y+9=（x2+2x+1）+（y2-4y+4）+4=（x+1）2+（y-2）2+4，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2+4≥4，考点5 利用根的判别式判断根的情况根．20．（2023·全国·九年级假期作业）若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+= ，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．考点6 利用根的判别式求字母的值或取值范围故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当0∆＜时，方程无实数根．24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．考点7 利用根的判别式与三角形结合【详解】（1）证明：2(2)42k k∆=+-⨯2448k k k=++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∴另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∴21(2)20k k -++=，∴1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c 2＋a 2）x ＋2（b 2-c 2）x ＋c 2-b 2=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是三角形ABC 的三边，证明此三角形是等腰三角形．【答案】见解析【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b 、c 的关系即可．【详解】解:Δ=[2（b 2-c 2）]2-4（c 2+a 2）（c 2-b 2）=4（b 2-c 2）（b 2-c 2+a 2+c 2）=4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）．∵方程有两个相等实根．∴Δ= 0，即4（b+c ）（b-c ）（b 2+a 2）=0．∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴b+c≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解得b=c ．出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程22a x bx c x-+++=有两个相等的实数(1)2(1)0根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．【答案】【详解】考点：根的判别式；勾股定理的逆定理．分析：先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c 为三边的三角形是直角三角形．解答：证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根．∴△=0，即△=△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2．∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考点8 利用根的判别式与一次函数结合【分析】根据一元二次方程2210mx x --=无实数根得0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，即可得1m <-，又∵20b =>，可得一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，即可得．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根，∴0m ≠且2(2)4(1)0m ∆=--⨯-<，440m +<，44m <-，1m <-，又∵20b =>，∴一次函数2y mx =+的图象经过一、二、四象限，∴一次函数2y mx =+的图象不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程2210x x kb ++=-没有实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先根据一元二次方程没有实数根确定k ，b 的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x kb ++=-没有实数根，∴()4410kb ∆=-+<，解得：0kb >，即k b 、同号，当00k b >>，时，一次函数y kx b =+的图象过一，二，三象限，当00k b <<，时，一次函数y kx b =+的图象过二，三，四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k ，b 的取值范围，难度不大．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =-的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m 的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2210mx x --=无实数根∴224(2)4(1)0b ac m ∆=-=--⨯⨯-<，解得1m <-，由一次函数y mx m =-可得0k m =<，0b m =->，∴一次函数y mx m =-过一、二、四象限，不过第三象限，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．考点9 利用根与系数的关系求变形式子。

初一数学代数式的基本运算规律与技巧总结

初一数学代数式的基本运算规律与技巧总结在初一数学学习中，代数式作为重要的内容之一，是建立起数学基础的关键。

掌握代数式的基本运算规律与技巧，不仅可以帮助我们解决各种数学问题，还可以培养我们的逻辑思维和推理能力。

本文将对初一数学代数式的基本运算规律与技巧进行总结，以帮助广大初一学生更好地掌握这些知识。

一、基本概念在学习代数式之前，我们首先需要了解一些基本概念。

代数式由数字、字母和运算符号组成，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算。

例如，2x^2 + 3xy - 4表示了一个代数式，其中2x^2、3xy和-4就是代数式的各个项。

二、合并同类项的规律在进行代数式的运算时，我们常常需要合并同类项。

所谓同类项，是指具有相同的字母和字母指数的代数式。

例如，2x^2和3x^2就是同类项，可以进行合并。

合并同类项的规律如下：1. 同类项的系数相加。

例如，2x^2 + 3x^2 = 5x^2。

2. 保留同类项的字母和字母指数。

例如，2x^2 + 3x^2 = 5x^2。

3. 没有同类项的项保持不变。

例如，2x^2 + 3xy - 4不可以合并，保持不变。

通过合并同类项，我们可以简化代数式，使其更加简洁和易于计算。

三、代数式的加法与减法规律在初一数学中，我们要掌握代数式的加法与减法规律。

具体规律如下：1. 加法的规律：两个代数式相加时，只需将各个项按照字母和字母指数进行对应相加即可。

例如，(2x^2 + 3xy) + (4x^2 - 2xy) = 6x^2 + xy。

2. 减法的规律：两个代数式相减时，先将被减数取相反数，再按照加法规律进行运算。

例如，(2x^2 + 3xy) - (4x^2 - 2xy) = 2x^2 + 3xy - 4x^2 + 2xy = -2x^2 + 5xy。

通过掌握代数式的加法与减法规律，我们可以对各种代数式进行有效的计算与变形。

四、代数式的乘法规律代数式的乘法是初一数学学习中的重点内容之一。