江西省师大附中2020-2021学年高三上学期联考试卷理科试题Word版含答案

江西省师大附中2020-2021学年高三上学期联考
理科试题
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集U是实数集R，函数
24
y
x
=
-
的定义域为
2
,{|log(1)1}
M N x x
=-<，
则()
U
N C M
⋂=（ D ）
A．{}
|21
x x
-≤<B．{}
|22
x x
-≤≤C．{}
|2
x x<D．{}
|12
x x
<≤
2.《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、
第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（ C ） A．150 B．160 C ．170 D ．180
3．已知向量,a b的夹角为0
60，且2
a b
==，则向量a b
+在向量a方向上的投影为（ A ）A．3B3C．3
-D．3
-
4．设曲线
1cos
sin
x
y
x
+
=在点(,1)
2
π
处的切线与直线10
x ay
-+=平行，则实数a等于（ A ）
A．1
-B．
1
2
C．2
-D．2
5．函数2
ln||x
y x
x
=+的图象大致为( C )
6.关于x的不等式2210
ax x
-+<的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（ B ）
A．1
a<B．1
a≤C．01
a
<<D．0
a<
7.已知实数x y
、满足不等式组2
1
10
x
x y m
x y
≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+-≥
⎩
，若目标函数2
z x y
=-+的最大值不超过4,则实数m的取
值范围是（ D ）
A．(3,3)B．3] C.[3,0]
-D．[3,3]
8．已知β
α,均为锐角，
5
3
)
3
sin(
,
13
5
)
cos(=
+
-
=
+
π
β
β
α，则)
6
cos(
π
α+=（ A ）
A.
65
33
B.
65
63
C.
65
33
- D.
65
63
-
9.已知数列{}n a是等比数列，若2588
a a a=-，则
151959
149
a a a a a a
++（ D ）
A ．有最大值12
B ．有最小值12
C ．有最大值52
D ．有最小值52 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ C ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11.已知1
22)(+-=x x a x f 为奇函数，)ln()(2b x x g -=，若对)()(,,2121x g x f R x x ≤∈∀恒成立，则b 的取值范围为（ B ）
A ．]0,(-∞
B ．],(e --∞
C ．]0,[e -
D ．),[+∞-e
12.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边是a b c ，，，0GA GB GC ++=且0GA GB ⋅=，若
tan tan tan tan tan A B m A B C
+=，则实数m 的值是（ A ） A.12 B.13 C.14 D.15
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．在正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若AC AM BN λμ=+，
则λμ+= 85
14．设函数()2sin(2)6f x x π
ω=+(),0x R ω∈>,若将)(x f y =的图像向左平移6
π个单位后，所得图像关于y 轴对称.则ω的最小值为 1 ；
15．若,,x y z 均为正实数,则 222
xy zy x y z +++的最大值为 2 16. 已知函数()()()
⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=012012x x x x e x x f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则a 的取值范围是
11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩
⎭ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 满足：211,(21)n n a a n a =--=211(21)(2).n n a n a n n N --++-≥∈且
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求3223111111
n n a a a a a a ++++++---的值. 解（1）2211(21)(21)n n n n a n a a n a ----=+-111()()(21)()n n n n n n a a a a n a a -+-⇒-+=-+
10
21(2)n n n a a a n n -∴>∴-=-≥
又112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+ =2(21)(23)31n n n -+-+
++= （2）2112222111111(2)1111(1)(1)11
n n n n n a a n a a a n n n n n +-+==+=+=+=+-≥-----+-+ 1111111=(11)(1)(1)(1)3243511
n n ∴+-++-++-+++-++原式 1111111111=(n-1)+(1)324351121
n n n n n -+-+-++-=+--+++ 18.（本小题满分12分）
如图，在多面体111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11AA BB ∥， 111
,2
B C BC ∥ 12.AB AC AA BC ===
（1）求证：1AB //平面11AC C ； （2）求二面角11
C AC A --的余弦值．
解：（1）取BC 的中点D ，连结1,,AD DC 由条件知11CD B C ，11BD B C ，
∴四边形11B DCC 和11BDC B 为平行四边形，
∴11B D CC ，11C D BB ，∴11C D AA ，
∴四边形11AAC D 为平行四边形，∴11,AD A C
∴平面1AB D 平面11AC C ，则1AB 平面11AC C 。

（2）由（Ⅰ）知1,,AA AB AC 两两垂直，如图建系，
设2BC =，则(0,0,0)A ，12)A ，
122(0,2,0),(2)C C -， 11122(,,0),(0,2,2).22
AC AC =--=- 设平面11AC C 的法向量为(,,)m x y z =，则由11100m A C m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22022220x y z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩
，取1x =，则1, 1.y z =-=故(1,1,1)m =-， 而平面1A AC 的法向量为(1,0,0)n =，则cos ,.3
m n
m n m n ⋅<>==
所以二面角11C AC A --为钝二面角，故二面角11
C AC A --的余弦值为3- 19.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，若12cos 2cos
22=-+C B A . (1)求角C 的大小，并求函数()sin()sin cos cos()44
f A A A A A ππ=+++-的最大值； (2)若ABC ∆三边长成等差数列,且1a =，求ABC ∆的面积.
解：(1)01cos cos 20cos 2cos 12cos 2
cos 222=-+⇒=+⇒=-+C C C C C B A 3
1cos 21cos π=⇒-==∴C C C （舍）或
()sin()sin cos cos()cos )sin cos 44f A A A A A A A A A ππ=+++-=++又令
1sin cos ,12A A t ⎤+=∈⎥⎝⎦，因此21sin cos 2t A A -=
令2111()(,1)2222g t t t ⎛⎤=-∈- ⎥ ⎝⎦ max 5()2
f A ∴= (2))(2为等差中项只可能三边成等差数列c b a c +=⇒ ，
3)3
2sin(
sin 3sin sin sin sin sin 2=-+⇒=+⇒+=∴A A B A B A C π 3
1)6sin(1cos 21sin 23ππ=⇒=+⇒=+∴A A A A 因此△ABC 为边长为1的等边三角形，
4
ABC S ∆∴= 20.已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 过点)0,2(-P ，直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点（异于点P ）.当直线l 经过原点时，直线PB PA ,斜率之积为43-
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线PB PA ,斜率之积为4
1-，求AB 的最小值. 解：设1122()()A x y B x y ⋅直线:l x my n =+
（1）当l 经过原点时，2121,x x y y =-=-
此时2211112211112244
PA PB y y y y K K x x x x --⋅=⋅==+-+-- 又A 在椭圆上，2222
1112211444
x y y b b x ∴+=⇒=-- 223344b b ∴-=-⇒=∴椭圆方程为22
143
x y += （2）由22222
(34)63120143x my n m y mny n x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 122634mn y y m -∴+=+ 21231234
n y y m -⋅=+ 由1212121211422(2)(24
PA PB y y y y K K x x x x ⋅=-⇒⋅==-++++） 12124(2)(2)0y y my n my n ⇒+++++=
2212124)(2)()(2)0m y y m n y y n ⇒++++++=（
22
22231264)(2)(2)03434n mn m mn m n m m --∴+⋅++++=++（ 12()n n ⇒==-或舍
:1l x my ∴=+
l ∴恒过定点（1，0）
12213|||4(1)43344AB y y m ∴=-==-≥⨯=+ 当0m =时，||AB 的最小值为3
当直线的斜率为零时，不合题意
综上，min ||3AB =
21.（本小题满分12分）
已知函数222()=22(),()=2ln ln 2(0)x x f x e ae a x R g x a x x x -+∈-+>，a R ∈，
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）求证：对0,x a R ∀>∈，都有()()f x g x >.
解.①2()222()x x x x f x e ae e e a =-=-
0,'()0a f x ≤>当 则()f x 在
0,)+∞↑（， 当0a >时，令()0ln ,()0ln f x x a f x x a >⇒><⇒<
此时()f x 在(,ln )(ln )a a -∞↓+∞↑在
（2）222()()222ln ln 2x x f x g x e ae a a x x >⇒-+>-+22()(ln )2x e a x a ⇔-+->
由不等式222()22
x y x y ++≥可得 22
22
(ln )(ln )()(ln )22
x x x e a a x e x e a x a -+---+-≥= ∴只需证ln 2x e x -> 证1：由11ln 21ln x x e x e x x x x
⎧≥-⇒≥+≥+⎨-≥⎩（等号不同取） 得ln 2x x e ->
证2：令()ln (0)x h x e x x =->
1(),()x h x e h x x
''=-显能为增函数 '(1)10h e =->又
，1'()202
h < ∴在(0,)+∞存在唯一实数0x ，使0()0h x = 即0010x e x -=且01(,1)2x ∈001
00001ln ln x x e x x x x ⇒=⇒=⇒=- ln()x ∴在0(0,)x ↓在0(,)x +∞↑
0min 0000
1()()ln 2x h x h x e x x x ∴==-=+> 0()()2h x h x ∴≥>
因此得证
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方
程为2(1x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；
（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交点分别为M N 、,点(1,0)P ，求11PM PN
+的值. 解：①:10l x y +-= 曲线22:40C x y x +-=
②法1：直线l 过点(1,0)P 且参数方程可表示为
12
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
代入曲线C
，得2123,||t t t -∴-=
1212||11||||||t t PM PN t t -∴+==法2：设圆心与x 轴交于O 、A ，则
||||||||133PM PN OP PA =⋅=⨯=
而||||||PM PN MN +=
=11||||||||||||PM PN PM PN PM PN +∴+==23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知()()f x x a a R =+∈；
（1）若()23f x x ≥+的解集为[]3,1--，求a 的值；
（2）若x R ∀∈,若不等式()2
2f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()23f x x ≥+即23x a x +≥+，平方整理得：()22
312290x a x a +-+-≤， 所以-3，-1是方程 ()22
312290x a x a +-+-= 的两根，
212243933
a a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩ 解得0a = （2）因为()||()()2f x x a x a x a a +-≥+--=
所以要不等式2()||2f x x a a a +-≥-恒成立只需222a a a ≥-
当0a ≥时，222a a a ≥-解得04a ≤≤
当0a <时，222a a a -≥-此时满足条件的a 不存在
综上可得实数a 的范围是04a ≤≤。