构造全等三角形的策略

例谈构造全等三角形的策略

济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽

（适用于初二版9月刊）

全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础. 是 证明线段相等、角相等、直线平行等结论的重要手段和方法. 我们已经学过判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL ，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件和求证的结论构造全等三角形. 那么，如何正确地发现、构造全等三角形呢？

发现全等三角形的观察点：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.

构造全等三角形的思路：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形.

下面举例谈谈几种常见的构造全等三角形的策略：

一、遇到角平分线可利用角的对称性或角平分线的性质构造全等三角形.

例1、如图1，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，

AC ＝AB +BD .试说明∠B 与2∠C 相等的理论依据.

【解析】由于AC ＝AB +BD ，故可以在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠EAD ＝∠BAD ，而AD 公用，所以△AED ≌△ABD （SAS ），所以∠AED ＝∠ABD ，DE ＝DB ，因为AC ＝AB +BD ，则ED ＝EC ，所以∠C ＝∠EDC ，又∠AED ＝∠EDC

+∠C ＝2∠C ，所以∠B ＝2∠C .

【反思】在几何解题中若遇到角平分线时，通常利用角的对称性，在角的两边截取相等的两部分，或过角平分线上的某一点作角两边的垂线构造全等三角形求解.

二、遇到中线可倍长中线构造全等三角形.

例2、如图2，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD.

【证明】：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接CE.

∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.

又∵∠1＝∠2，AD ＝DE ，

∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝CE.

图1 B A C D E D 图3 F E A B C M

∵在△ACE 中，CE ＋AC ＞AE ，

∴AB ＋AC ＞2AD.

【反思】题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

三、利用平行线构造全等三角形.

例3、如图3，△ABC 中，AB ＝AC 。E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长AC 到D ，使CD ＝BE ，连接DE 交BC 于F 。求证：EF ＝FD.

【证明】：过E 作EM ∥AC 交BC 于M ，如图6。

则∠EMB ＝∠ACB ，∠MEF ＝∠CDF 。

∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB 。

∴∠B ＝∠EMB 。故EM ＝BE 。

∵BE ＝CD ，∴EM ＝CD 。

又∵∠EFM ＝∠DFC ，∠MEF ＝∠CDF ，

∴△EFM ≌△DFC （AAS ）。EF ＝FD 。

【反思】作平行线可以得到角相等，创造全等三角形的条件.

四、作垂线构造全等三角形

例4. 如图4，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC 。M 是AC 边的中点. AD ⊥BM 交BC 于D ，交BM 于E 。求证：∠AMB ＝∠DMC.

【证明】：作CF ⊥AC 交AD 的延长线于F. 如图5

∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BM ，

∴∠FAC ＝∠ABM ＝90°－∠BAE.

∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠ACF ＝90°，

∴△ABM ≌△CAF （ASA ）.

∴∠F ＝∠AMB ，AM ＝CF.

∵AM ＝CM ，∴CF ＝CM.

∵∠MCD ＝∠FCD ＝45°，CD ＝CD ，

∴△MCD ≌△FCD （SAS ）。所以∠F ＝∠DMC.

∴∠AMB ＝∠F ＝∠DMC.

【反思】作垂线，利用直角相等或直角三角形的特殊判定方法是证明三角形全等常用方法.

五、遇到特殊图形可通过旋转、翻折、平移等变换构造全等三角形

例5、如图6，设点P 为等边三角形ABC 内任一点，试比较线段P A 与PB +PC 的大小.

【解析】：由于△ABC 是等边三角形，所以可以将△ABP 绕点A 旋转60°到△ACP ′的位置，连结PP ′，则△ACP ′≌△ABP （SAS ），所以AP ′＝AP ，CP ′＝BP ，△APP ′是等边三角形，图 4 图5 图6 P ′ P B A C

即PP′＝P A，在△CPP′中，因为PP′＜PC+P′C，所以P A＜PB+PC.

【反思】由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题.