最优控制的特点、实例..
《控制工程基础》题集
《控制工程基础》题集一、选择题（每题5分，共50分）1.在控制系统中，被控对象是指：A. 控制器B. 被控制的设备或过程C. 执行器D. 传感器2.下列哪一项不是开环控制系统的特点？A. 结构简单B. 成本低C. 精度低D. 抗干扰能力强3.PID控制器中的“I”代表：A. 比例B. 积分C. 微分D. 增益4.下列哪种控制系统属于线性定常系统？A. 系统参数随时间变化的系统B. 系统输出与输入成正比的系统C. 系统输出与输入的平方成正比的系统D. 系统参数随温度变化的系统5.在阶跃响应中，上升时间是指：A. 输出从0上升到稳态值的时间B. 输出从10%上升到90%稳态值所需的时间C. 输出从5%上升到95%稳态值所需的时间D. 输出达到稳态值的时间6.下列哪种方法常用于控制系统的稳定性分析？A. 时域分析法B. 频域分析法C. 代数法D. A和B都是7.在频率响应中，相位裕度是指：A. 系统增益裕度对应的相位角B. 系统相位角为-180°时的增益裕度C. 系统开环频率响应相角曲线穿越-180°线时的增益与实际增益之差D. 系统闭环频率响应相角曲线穿越-180°线时的增益8.下列哪种控制策略常用于高精度位置控制？A. PID控制B. 前馈控制C. 反馈控制D. 最优控制9.在控制系统的设计中，鲁棒性是指：A. 系统对参数变化的敏感性B. 系统对外部干扰的抵抗能力C. 系统的稳定性D. 系统的快速性10.下列哪项不是现代控制理论的特点？A. 基于状态空间描述B. 主要研究单变量系统C. 适用于非线性系统D. 适用于时变系统二、填空题（每题5分，共50分）1.控制系统的基本组成包括控制器、和。
2.在PID控制中，比例作用主要用于提高系统的______，积分作用主要用于消除系统的______，微分作用主要用于改善系统的______。
3.线性系统的传递函数一般形式为G(s) = ______ / ______。
最优控制特点
切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解
现代控制理论 最优控制
[∗ + ]
=
=
由变分引理
[∗
+ ]ቕ
=
= ∗
=
得证
《现代控制理论》MOOC课程
6.2.2 无约束条件的变分问题(1)
6.2.2 无约束条件的变分问题
引理：如果函数() 在区间 ∈ [ , ]上是连Βιβλιοθήκη 的，而且对于只满足某些一般条件的任意
[ + ]
=
+ ]ቕ
=
∆ +
= lim
ቤ
∆→
∆
=
+ −
= lim
→
′
1
1 2
= lim { ඐ +
+}
2
→
2
− ∗
<
则称泛函 在∗ 处是连续的。
其中， , ∗ 表示在函数空间中 与∗ 之间的距离:
泛函的变分
, ∗ = max − ∗
≤≤
泛函 增量∆ 的线性主部称为泛函的一阶变分，简称泛函的变分，记作
选定的函数()有)()(
= , 则在区间 ∈ [ , ]上有： () ≡
一 欧拉方程
讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无约束条件变分问题。
问题: 考虑泛函为
ሶ
= න [ , (),
]
ሶ
式中 在 ∈ [ , ]上连续， [ , (),
复杂系统控制中的非线性最优控制技术研究
复杂系统控制中的非线性最优控制技术研究随着科技的发展，越来越多的实际问题需要用到复杂系统控制技术。
而复杂系统往往具有多变、非线性等特点，如何实现复杂系统的最优控制是一个难点。
本文将从非线性最优控制技术的角度探讨该问题。
一、复杂系统控制中的非线性最优控制在复杂系统控制中，最优控制是一种常用的方法，其目的是在控制系统中选取最佳的控制变量，使系统响应更快、更稳定、误差更小，控制系统的性能更优。
而非线性最优控制则是通过对非线性系统的数学建模与分析，运用最优控制原理，研究非线性系统的最优控制方法。
非线性最优控制方法有多种，其中最常用的是基于泛函分析的方法、基于逆动力学的方法、基于模糊理论的方法、基于神经网络的方法等。
这些方法的本质都是将最优控制问题转化为极值问题，通过求解极值问题得到最优控制方式。
二、基于变结构控制的非线性最优控制研究变结构控制是一种最优控制的分支，它主要是针对复杂系统中的非线性问题所提出的一种方法。
该方法的核心思想是利用系统控制变量的“切换”行为，对复杂系统进行有效地控制。
基于变结构控制的非线性最优控制研究主要分为两大类：一类是利用变结构控制对不确定性系统进行控制，这类系统的特点是系统模型难以精确定量化；另一类是利用变结构控制对跳跃系统进行控制，这类系统的特点是系统状态难以连续变化。
三、基于随机过程的非线性最优控制研究随机过程是一种具有随机性质的过程，它的发展促进了控制系统理论的进步。
在非线性最优控制研究中，基于随机过程的方法是一种常用的数学建模方式。
该方法是将非线性系统建模为一个随机过程，通过对随机过程的分析求解最优控制问题。
基于随机过程的非线性最优控制研究主要包括两个方面：一是随机过程的数学性质的分析，二是通过分析随机过程的特性来获取最优控制策略。
四、基于鲁棒控制的非线性最优控制研究鲁棒控制是一种针对带有不确定性的系统提出的控制方法，该方法的核心思想是通过系统建模与鲁棒分析得到鲁棒控制器，对系统进行控制。
最优控制的计算方法
可得
3、将 代入协态方程，且由边界条件 从t=1倒向积分可得 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指标函数随迭代变化很小为止。 由 ，得
图b 最优状态的求解
图a 用梯度法寻找最优控制 右图表示了控制和状态的初始值和第一次迭代值，可以看到第一次迭代 就几乎收敛到最优值， 与最优值还有差异，而且一般说来愈接近最优值收敛愈慢。
K=1时时，控制量为
所以，这个例子只要两步迭代即可得到最优解。一般说来，共轭梯度法比梯度法收敛快，但接近最优解后收敛性仍是较慢的。一个补救办法是重新启动，即找出几个共轭梯度方向 后，令 ，再重新迭代，寻找共轭梯度方向。
可以证明 ，即为最优控制。这只要证明
2、共轭梯度法
*
用共轭梯度法寻找最优控制时是沿着所谓共轭梯度向量的方向进行的。为了说明共轭梯度的意义，我们先从求函数极值问题的共轭梯度法开始，再推广到求泛函极值问题。
(1) 求函数极值的共轭梯度法
其中，
C为常数， Q为正定阵。
要求寻找X使F(X)取极值。
设F(X)是定义在Rn空间中的二次指标函数
直接法的特点是，在每一步迭代中，U(t)不一定要满足H 取极小的必要条件，而是逐步改善它，在迭代终了使它满足这个必要条件，而且，积分状态方程是从t0到tf ，积分协态方程是从tf到t0，这样就避免了去寻找缺少的协态初值(t0)的困难。常用的直接法有梯度法，二阶梯度法，共轭梯度法。
间接法的特点是，在每一步迭代中都要满足H取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协态方程，两种方程的积分都从从t0到tf或从tf到t0 。常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。
高等教育《最优控制理论》课件 第一章
& xL xL & x M xM
x = xL − xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
& & v = xL − xM
F (t ) m(t ) F (t ) & m=− c & x=v
& v = a (t ) +
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。 初始条件为： x (t 0 ) = x 0
1-2 最优控制问题的实例
例1．1月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为：
5：最优控制的提法 已知受控系统的状态方程及给定的初态
& X (t ) = f ( X (t ), u (t ), t )
X (t 0 ) = X (0)
规定的目标集为M，求一容许控制u(t)∈U,t∈ [t0,tf],使系统从给定的初态出发， 在tf >t0时刻转移到目标集M，并使性能指标
J = θ（x (t f ), t f ） ∫ F（x(t ), u (t ), t ) dt +
3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 ≤ u (t ) ≤ u max
或 ui ≤ α
i = 1,2L p
双积分系统最优控制的三次hermite配点法
双积分系统最优控制的三次hermite配点法双积分系统最优控制的三次Hermite配点法随着科学技术的不断发展，控制理论在现代工程技术中的应用越来越广泛。
在控制理论中，最优控制理论是一种常用的控制方法，其能够使系统在输出满足一定约束条件的前提下，实现最小化某个指标的目标。
在最优控制中，配点法是一种常用的数值解法，该方法可以将最优控制转化为较为容易求解的数值计算问题。
其中，三次Hermite配点法是一种比较常用的配点法。
本文将介绍双积分系统最优控制的三次Hermite配点法及其应用。
首先，将引入双积分系统和最优控制的概念。
其次，将介绍三次Hermite配点法的基本原理和计算方法。
最后，将给出三次Hermite配点法在双积分系统最优控制中的应用实例及其优缺点。
双积分系统和最优控制的概念双积分系统是指含有两个二阶积分项的系统，其一般形式如下：$$ \begin{aligned} y(t) &=\int_{0}^{t}\int_{0}^{s} f(\tau, x(\tau)) d \tau d s \\&=\int_{0}^{t}\left[\int_{0}^{s} f(\tau, x(\tau)) d \tau\right] d s \end{aligned} $$其中，$f(\tau, x(\tau))$为系统的输入，$x(\tau)$为系统的状态。
最优控制是指，在一定约束条件下，通过调整系统的输入，使得系统的某个性能指标达到最小值。
控制系统满足最优性的条件是其状态方程必须满足哈密顿-雅可比-贝尔曼(HJB)方程。
对于双积分系统来说，其HJB方程可以表示为：$$ \frac{\partial V}{\partial t}(t, y(t))+\min _{u(t)}\left\{\frac{\partial V}{\partial y}(t,y(t)) f(t, y(t), u(t))+g(t, y(t), u(t))\right\}=0 $$其中，$V(t,y(t))$为值函数，$u(t)$为控制输入，$f(t,y(t),u(t))$为系统的状态方程，$g(t,y(t),u(t))$为系统的性能指标。
线性系统
线性系统理论论文论文题目：线性系统理论综述—连续系统线性二次最优控制学院：年级：专业：姓名：学号：指导教师：目录摘要 (3)前言 (3)第一章线性系统理论概述 (3)1.1线性系统理论的研究对象 (4)1.2 线性系统理论的主要任务 (4)1.3 线性系统的主要学派 (5)1.4 现代线性系统的主要特点 (5)1.5 线性系统的发展 (6)第二章连续系统线性二次最优控制 (6)2.1最优控制问题 (6)2.2最优控制的性能指标 (7)2.3 最优控制问题的求解方法 (8)2.4 线性二次型最优控制 (9)2.5 连续系统线性二次型最优控制实例 (10)2.6 小结 (13)总结 (13)参考文献 (13)摘要线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也是最成熟的一个分支，是生产过程控制、信息处理、通信系统、网络系统等多方面的基础理论。
本文对线性系统的历史背景、研究现状和发展趋势作了简单的综述。
线性二次最优控制理论内容丰富、应用广泛，引起广泛地关注并取得了丰硕成果。
最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。
本文基于连续系统线性二次最优控制，提出新的控制算法并结合实例进行了仿真验证。
关键字：线性系统；线性二次最优控制；控制系统；连续系统前言线性系统理主要阐述线性系统时域理论，给出了线性系统状态空间的概念、组成方法和基本性质，进而导出系统的状态空间描述。
以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论[1]。
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。
与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。
随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。
最优控制问题的直接方法比较
最优控制问题的直接方法比较最优控制是数学控制理论的核心内容之一，目的是寻找能使系统性能达到最佳的控制策略。
在最优控制理论中，有两种常用的解决方法，分别是直接方法和间接方法。
本文将对这两种方法进行比较分析。
一、直接方法直接方法也称为函数极值问题的法，它将最优控制问题转化为求解函数极值的问题。
这一方法的核心是构建一个综合性能函数，通过对这个函数进行优化求极值，得到最佳控制策略。
直接方法的基本步骤如下：1. 状态方程和控制方程建模：根据最优控制问题的具体要求，建立系统的状态方程和控制方程，并确定相应的边界条件和约束条件。
2. 构造综合性能函数：根据系统的特点和控制目标，构造一个综合性能函数，该函数将系统的状态量和控制量作为输入，用来评价系统的性能质量。
3. 优化求极值：对构造的综合性能函数进行优化，求解使函数取得最值的状态量和控制量，得到最佳控制策略。
直接方法的优点是能够直接求解系统的最优控制策略，得到的结果更加准确。
同时，直接方法能够处理一些非线性的系统和控制问题，具有较好的适用性。
二、间接方法间接方法也称为极大值原理的法，其基本思想是通过极大值原理和动态变分法将最优控制问题转化为一个两点边值问题来求解。
间接方法的主要步骤如下：1. 构造哈密尔顿函数：根据系统的状态方程、约束条件和目标函数，构造哈密尔顿函数。
2. 构造极大值原理方程：通过变分法，得到系统状态和控制的极大值原理方程，该方程与哈密尔顿函数相关。
3. 解两点边值问题：根据极大值原理方程，将最优控制问题转化为求解一个两点边值问题，通过数值方法或解析方法求解得到最优控制策略。
间接方法的优点是理论基础较为严密，适用于线性系统和受控制条件较为严格的问题。
同时，间接方法能够提供最优控制问题的解析解，便于数值计算和理论分析。
三、比较与结论直接方法和间接方法都是解决最优控制问题的有效手段，但在具体应用中存在一定的差异。
直接方法适用于非线性系统和控制问题，求解结果较为准确，但对于复杂问题计算复杂度较高。
lqr控制算法
lqr控制算法摘要：本文介绍了LQR控制算法，它是一种基于状态变量的最优控制算法，可以被应用于工业控制、航空航天、生物制造，以及其他领域。
文章简要介绍了LQR算法的基本原理，特点和应用，并详细介绍了其主要步骤、控制策略和模型估计方法，以及性能评估。
最后，文章结合实例提出了一种新的LQR控制算法，以期更好地实现模型跟踪，并考虑了误差传递和参数估计等问题。
IntroductionLQR控制算法（Linear-Quadratic Regulator，LQR）是一种基于状态变量的最优控制算法，可用于实现复杂系统的精确控制。
LQR 控制算法早在20世纪60年代就已被提出。
近几年，随着计算机性能的不断提高，LQR控制算法受到越来越多的关注。
由于LQR控制算法的优势，它被广泛应用于工业控制、航空航天、生物制造，以及其他领域。
LQR算法的原理和特点LQR控制算法是一种基于状态变量的最优控制算法，它通过最小化系统的总平方“损失”来求解控制方程。
其基本理念是，通过有效地分析系统的内部状态变量，从而有效地控制系统。
与其他控制算法相比，它具有以下特点：-有精确的时间性能，可以达到较高的控制精度；-够有效降低系统不稳定性，从而改善系统性能；-以更好地抑制系统干扰，从而提高系统的响应速度；-有较强的自适应性，可以根据系统的变化改变控制参数；-制复杂的、非线性的系统。
LQR算法的应用LQR控制算法可以应用于控制、机器人技术、航空航天、制造、动力机械、电力控制等多个领域。
例如，可以用LQR控制算法控制通信系统，可以使用LQR控制算法控制机器人移动，可以使用LQR控制算法控制航空航天系统的自动驾驶，可以使用LQR控制算法控制机械工程的动作和动力，可以用LQR控制算法控制电力系统的电流和电压，以及其他领域的控制问题。
LQR算法的实现步骤LQR控制算法的实现步骤主要包括以下几点：（1）根据系统特性，建立系统动力学模型及系统优化目标函数；（2）求解状态变量的状态转移方程；（3）根据回归模型，估计系统的参数；（4）根据状态转移方程，构建控制策略，并确定控制量；（5）使用系统可交互调整控制量以实现系统模型跟踪；（6）分析系统性能，确定系统稳定性，并对系统作出改进。
先进控制技术方案及应用实例
先进控制技术方案及应用实例摘要：文章叙述了先进控制(先进控制)技术应用的意义，介绍鲁棒多变量预估控制（RMPCT）的应用技术。
重点介绍了多变量预估控制技术在公司的应用和取得的实际效果，对提高装置运行平稳率、促进效益提升的突出作用，对今后先进控制的应用提出了相关的建议。
为石化企业提供了借鉴案例。
关键词：先进控制先进控制多变量预估控制RMPCT1 先进控制的意义先进过程控制先进控制是对那些不同于常规单回路控制，并具有比常规PID控制更好的控制效果的控制策略的统称，先进控制的任务是用来处理那些采用常规控制效果不好，甚至无法控制的复杂工业过程控制的问题。
先进控制采用的建模理论、辨识技术、优化控制、最优控制、高级过程控制等方面技术从实际工业过程特点出发，寻求对过程和环境的不确定性有一定适应能力的控制策略和方法，如自适应控制系统、预测控制系统、鲁棒控制系统、智能控制系统等先进控制系统。
在石化工业中，采用新的加工工艺路线或扩大设备加工量、增大产量外，对已建成的工厂在不改动设备及工艺的条件下，依靠引入高新信息化技术，采用先进控制和在线优化系统，挖潜增效，已成为提高经济效益最有效手段。
一个先进控制项目的年经济效益在百万元以上，其投资回收期一般在一年以内。
通过实施先进控制，可以改善过程动态控制的性能，减少过程变量的波动幅度，使之能更接近其优化目标值，从而将生产装置推至更接近其约束边界条件下运行，最终达到增强装置运行的稳定性和安全性、保证产品质量的均匀性、提高目标产品收率、增加装置处理量、降低运行成本等目的。
发达国家经验表明：花了70％的钱购置DCS，换来的是15％的经济效益；再增加30％的投资实现先进控制和过程优化将可以提高产品档次和质量，降低能源和原材料消耗，从而增加85%的经济效益。
目前世界上先进的石化企业多数生产装置都采用了先进控制技术，其中美国和欧美发达国家的普及率已达90%以上，美国石化厂90%的催化裂化、常减压蒸馏、焦化等主要装置已经实施了先进控制技术。
最优控制理论
*T g ( x* , u* ) 0
（二）拉格朗日函数H极值的解法
H 存在极值的必要条件是： H H H （） 1 0，（2） 0，（3） 0 x u 将必要条件展开得： g T H f x x ( x ) 0 g T H f ( ) 0 u u u H g ( x, u ) 0
变分 分部积分
x
tf t0
J (
F F x x)dt t0 x x tf tf F d F F J [( ) x]dt x t0 t0 x dt x x
tf
0
J
tf
t0
F d F ( ) xdt 0 x dt x
*
(二) 多元函数的极值
设n元函数f f (u )，u [u1 , u2 un ]T 为 n 维列向量。 f 它取得极值的必要条件是 0 u 或函数的梯度为零向量： f f f T f u [ , , ] ＝0 u1 u2 un
f 2 f 函数取极小值的充要条件是： ＝0， 2 0 u u 即下列海森矩阵为正定阵
最 优 控 制 理 论与 应 用
Optimal Control Theory
and Application
主讲：xxx
主要内容
1 最优控制问题 2 求解最优控制的变分方法 3 最大值原理与应用 4 线性二次型性能指标的最优控制
5 动态规划
6 对策论与最大最小控制
前言
最优控制理论 20世纪50年代 现代控制理论的重要组成部分； 发展形成系统的理论； （动态规划、最大值原理）
最优控制问题
第一章最优控制问题最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一. 所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展. 对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好. 通常称这种控制问题为最优控制问题. 最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性和唯一性和最优控制应满足的必要条件等.最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金<L.C.Pontryagin）等人提出的“最大值原理”. 最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用.本章我们通过几个具体实例介绍最优控制的基本问题和基本概念及其最优控制问题的数学描述.第一节最优控制实例下面列举几个简单但具有实际应用的例子，他们虽然来自完全不同的领域，但却反映了一个共同的问题-最优控制问题b5E2RGbCAP例1快速到达问题考虑一个机构<如车皮）W，其质量为m，沿着水平的轨道运动，不考虑空气的阻力和地面对车皮的摩擦力，把车皮看成一个沿着直线运动的质点，x(t>表示车皮在t时刻的位置，u(t>是施加在车皮上的外部控制力，假定车皮的初始位置和速度分别为,我们希望选择一个控制函数u(t>使车皮在最短时间内到达并静止在坐标原点，即到达坐标原点时速度为零.根据牛顿第二定律，(1.1>令，则<1.1）化为(1.2>其中分别表示车皮在t时刻的位置和速度，写成向量形式(1.3>其中.由于技术上的原因，外部推力不可能要多大有多大，它在数量上是有界的，即，<1.4）其中是正常数.<1.5）问题是寻找一个满足条件<1.4）的控制函数，把W由初态转移到终态，且使性能指标<1.5）达到最小.任何能达到上述要求的控制函数，都称为最优控制.电梯的快速升降、轧钢机的快速控制和机械振动的快速消振问题都可以用上述问题阐述.p1EanqFDPw例2 国民收入的增长问题国民经济收入主要用于两个方面：扩大再生产的积累资金和满足人民生活需要的消费基金. 我们的问题是如何安排积累和消费资金的比例使国民收入得到最快的增长.DXDiTa9E3d 我们用x(t>表示t时刻的国民收入，y(t>表示用于积累基金的部分，称为积累率. 我们的目的是寻求最优积累率u(t>，使国民收入x(t>增长最快. 国民收入的增长率取决于当时的收入总值x(t>和积累率u(t>,即有RTCrpUDGiT.<1.6）根据u(t>的实际含义，应满足.考虑一段时间T<5年或10年），使x(t>从初值达到尽可能大的x(T>, 即，<1.7）.<1.8）问题归结为在<1.6）、<1.7）下求u(t>满足<1.8）。
最优控制的特点、实例..
——与其他控制方法的区别
最优控制
Optimal Control
最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与 航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。
我国的探月计划：
绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号” ；
落月工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器；
回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。
出发，于某一时刻tf实现软着陆，即
h(t f ) 0, v(t f ) 0
控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax，即
0 f (t) fmax
满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止一 种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，易见，问题可 归结为求
J m(t f )
月球
设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。 月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃 料分别为M和F。
自某t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为
其中k为一常数。
h• v
• v
f m
g
m• kf
要求控制飞船从初始状态
h(0) h0, v(0) v0, m(0) M F
这两种要求，取性能指标为
J
tf t0
C1
f (t) dt
(a)
问题归结为选择f(t)、u(t)和tf ，除实现拦截外还要使规定的
性能指标为最小，此即在性能指标(a)意义下的最优拦截问
题。
上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为：
x f (x(t),u(t),t)
最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律 才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。
最优控制 第6章 最优控制的计算方法
δJ = φ[ X (t f ) + δX (t f ), t f ] − φ[ X (t f ), t f ] + ∫ {H [ X + δX , U + δU , X , t ]
t0
tf
− H [ X , U , λ , t ] − λ [ f ( X + δX , U + δU , t ) − f ( X , U , t )]}dt
δJ = J [U + δU ] − J [U ] = φ[ X (t f ) + δX (t f ), t f ] − φ[ X (t f ), t f ]
+ ∫ F [ X + δX , U + δU , t ] − F [ X , U , t ]dt
t0 tf
(6-7)
哈密顿函数为：
H [ X , λ , U , t ] = F [ X , U , t ] + λT f [ X , U , t ]
§6.1 直接法
一、梯度法
给定系统的状态方程：
& = f [ X (t ), U (t ), t ] X
初始条件：
(6-1) (6-2)
X (t 0 ) = t0
以及性能泛函： J [U (t )] = φ[ X (t f ), t f ] + 终端时刻 t f 给定， X (t f ) 自由。
∫
tf
t f ∂H ∂φ T t ] δX (t f ) − [λT (t )δX ]t0f + ∫ [ ] δUdt t0 ∂U ∂X (t f ) T
(6-11)
考虑边界条件 则(6-11)变为
最优控制理论
用数学语言来比较详细地表达最优控制问题 的内容：
（1）建立被控系统的状态方程
X f X (t ),U (t ), t
（1-17）
其中， (t ) 为 n 维状态向量， (t ) 为 m 维控制向量， X U f X (t ),U (t ), t 为 n 维向量函数，它可以是非线性 时变向量函数，也可以是线性定常的向量函数。 状态方程必须精确的知道。
（2）确定状态方程的边界条件。一个动态过程 对应于 n 维状态空间中从一个状态到另一个状态 的转移，也就是状态空间中的一条轨线。在最优 控制中初态通常是知道的，即
X (t0 ) X 0
（1-18）
而到达终端的时刻 t f 和状态 X (t f ) 则因问题而异。
例如，在流水线生产过程中，t f 是固定的；在飞机 快速爬高时，只规定爬高的高度 X (t f ) X f ，而 t f 是自由的，要求 t f t0 越小越好。终端状态 X (t f ) 一 般属于一个目标集 S ，即
二、最优控制发展过程
上世纪五十年代初期布绍（Bushaw）研究 了伺服系统的时间最优控制问题。 以后，拉塞尔（LaSalle）发展了时间最优 控制的理论，即所谓Bang—Bang控制理论。 1953至1957年间美国学者贝尔曼（Bellman） 创立了“动态规划”理论，发展了变分学中的哈密 顿—雅可比（Hamilton—Jacobi）理论。
t [0, t f ]
（1-11） （1-12）
x(0) x0
x0 是初始时刻的商品存货量，且 x0 0。从 x(t ) 的实
际意义来看，显然必须选取生产率使得
x(t ) 0
t [0, t f ]
（1-13）
最优控制理论简明教程教学设计
最优控制理论简明教程教学设计1. 前言最优控制理论是现代控制学领域的一种重要理论，广泛应用于电力、交通、工业等领域。
随着自主科学研究能力的提升，越来越多的大学生正在接触和学习这一领域的知识。
本篇文章旨在通过简明的教程介绍最优控制理论的基本概念和方法，并提供相关教学设计供教师参考。
2. 最优控制理论基本概念最优控制是指在一定约束条件下，使系统的某一性能指标达到最优的控制过程。
最优控制理论是一种以最小化某种指标（如能量消耗、时间等）为目标的控制系统设计方案。
最优控制问题的一般形式是：已知系统的状态方程和控制方程，以及某种指标函数，求最优控制律，使指标函数取最小值。
最优控制理论主要包括动态规划、变分法等内容。
动态规划是指通过列举所有可能的控制状态（即可能的控制量和被控制量的取值），从中选取最优控制状态。
变分法则是利用守恒原理对系统进行分析，通过求解欧拉-拉格朗日方程确定最优控制状态。
3. 最优控制理论基本方法最优控制分为离散时间和连续时间两种形式。
离散时间最优控制是指以离散时间点上的状态和控制量为变量，求解使目标函数最小化的最优控制量序列。
连续时间最优控制是指利用微积分理论描述系统状态和控制量的变化，从而求解最优控制策略。
最优控制方法的基本步骤如下：1.构造系统动态方程和控制方程。
2.定义目标函数，选择性能指标。
3.制定控制策略，求解最优控制量。
4.根据控制量和动态方程计算系统状态。
在最优控制中，控制量的选取和控制策略的设计是最关键的部分。
设计控制量需要考虑系统模型、控制目标和控制器类型等因素。
4. 最优控制理论教学设计最优控制理论在数字信号处理、电力控制、自动化控制等领域有广泛的应用，是控制工程学科中必须掌握的核心知识之一。
以下是一些教学设计供教师参考：4.1 课堂讲解最优控制理论的教学可以从实际案例入手，介绍最优控制理论的基本概念和方法，以及离散时间和连续时间最优控制方法。
可以使用PPT或黑板演示进行讲解，搭配简单的实例演示，让学生更好地理解。
现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型
![现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型](https://img.taocdn.com/s3/m/d65dd491fc4ffe473368abc0.png)
min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微 难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；
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实际应用背景
例1：飞船的月球软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力 方向相反的推力f，赖以控制飞船实现 软着陆(落到月球表面上时速度为零)。 要求选择一最好发动机推力程序f(t)， 使燃料消耗最少。
v
h
g
月球
设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。 月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃 料分别为M和F。
“自适应”(Adaptive)最初来源于生物系统，指生物变更自 己的习性以适应新的环境的一种特征。人体的体温、血压等 系统都是典型的自适应系统； 前苏联学者Tsypkin在《学习系统的理论基础》一书中引 用了马克.吐温的一段话来说明自适应：“一只猫在烧热的灶 上烫了一次，这只猫再也不敢在灶上坐了，即使这只灶是冷 的。”说明了自适应过程的机械性； “自适应控制”这个名词出现在20世纪50年代。 “大百科” 中定义：能在系统和环境的信息不完备的情况下改变自身特 性来保持良好工作品质的控制系统，称为自适应控制系统。
自某t=0时刻开始飞船进入着陆过程。其运动方程为
h v f v g m m kf
其中k为一常数。 要求控制飞船从初始状态
h(0) h0 , v(0) v0 , m(0) M F
出发，于某一时刻tf实现软着陆，即
h(t f ) 0, v(t f ) 0
J ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
t0
tf
针对不同的具体问题，J一般可以取为不同的具体形式，如： ①最短时间问题 t
J dt t f t0
f
t0
②线性二次最优控制问题 ③线性伺服器问题 如果要求给定的系统状态x跟踪或者尽可能地接近目标轨 迹xd，则J可以取为
上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为：
f ( x(t ), u (t ), t ) x
如果是线性时不变系统，则可以表示为
Ax(t ) Bu (t ) x
性能指标：尽管我们不能为各种各样的最优控制问题规定 一个性能指标的统一格式，但是通常情况下如下形式的性能指 标可以概括一般：
（2）初始与终端条件（时间和状态）；
（3）性能指标； （4）容许控制。 而最优控制问题的实质就是要找出容许的控制作用或控 制规律，使动态系统（受控对象）从初始状态转移到某 种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到 最小值或者是最大值。
自适应控制
Adaptive Control
什么是自适应控制？
最优控制
——与其他控制方法的区别
最优控制
Optimal Control
最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与 航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。 我国的探月计划： 绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号” ； 落月工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器； 回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。 最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律 才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。
max
至于单位向量u，它可以表示为
u uT u 1
2 2 u3 其中|u|表示向量u的长度，有 u u12 u2 也就是说，u的幅值为1，其方向不受限制。
2
要求控制拦截器从相对于目标的初始状态出发，于某末态 时刻tf与目标相遇（实现拦截），即
且应满足
x(t f ) 0 m(t f ) me
航天武器。 设x(t)、v(t)分别表示拦截器L与目标M的相对位置和 相对速度向量。a(t)是包括空气动力与地心引力所引起的 加速度在内的相对加速度向量，它是x、v的函数，既然位 置和速度向量是由运动微分方程所确定的时间函数，因此 相对加速度也可以看成时间的函数。设m(t)是拦截器的质 量，f(t)是其推力的大小。用u表示拦截器推力方向的单位 向量。C是有效喷气速度，可视为常数。
例如： 飞机控制 近地点和高空的空气密度不同，飞机控制特性随高度、 飞行速度的不同而有很大的变化 导弹控制 导弹的质量和重心随燃料的消耗迅速变化 过程控制 连续生产化工设备参数随着环境温度和输入输出流量而改 变；锅炉机组过热蒸气温度的动态参数随着负荷变化而变 化 电力拖动 造纸：卷纸筒惯性变化，为保持纸张力不变，马达的转矩 需改变 船舶的航线控制 传递函数的动态参数随着船载、速度、吃水深度和环境 （即波浪、风速、海潮等）的变化而变化
于是，拦截器与目标的相对运动方程可写为
初始条件为
x v f (t ) v a ( t ) u m(t ) f (t ) m C
x(t0 ) x0 , v(t0 ) v0 , m(t0 ) m0
为实现拦截，既要控制拦截器的推力大小，又要改变推力方 向。拦截火箭的最大推力是一有限值fmax，瞬时推力f(t)应满 足 t)不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax，即
0 f (t ) f max
满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止一 种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，易见，问题可 归结为求
J m( t f )
为最大的数学问题。
例2：防天拦截问题
所谓防天拦截是指发射火箭拦击对方洲际导弹或其它
1 tf J ( x xd )T ( x xd )dt 2 t0
1 tf T J ( x Qx u T Ru )dt 2 t0
除了特殊情况外，最优控制问题的解析解是比较复杂的， 以至必须求其数值解。当指标为二次性能指标时，可以给出 整齐的解析解。
最优控制问题有四个关键点： （1）受控对象为动态系统；
这里， me是燃料耗尽后拦截火箭的质量。 一般说来，达到上述控制目标的f(t)、u(t)和tf并非唯一。 为了实现快速拦截，并尽可能地节省燃料，可综合考虑 这两种要求，取性能指标为
J C1 f (t )dt
tf t0
(a)
问题归结为选择f(t)、u(t)和tf ，除实现拦截外还要使规定的 性能指标为最小，此即在性能指标(a)意义下的最优拦截问 题。