第二章_内积空间(1)

(4) 定性： ( x, x )=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意 两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 ( , ) R ，满足下面四个条件。称定义了内积的线 性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
如何求欧氏空间的标准正交基呢？ 从规范正交基的定义看，有三个要件：
（1）是向量个数与维数相等的线性无关的向量组； （2）是两两正交的向量组，即正交向量组； （3）是每个向量都是单位向量的单位向量组。
首先，如何确定向量组是否线性无关性呢？
定理3 欧氏空间 V 的向量组 1 , 2 ,
, s 线性无


.
定理8
（柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上 的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β Î V ，有
( , )
2
( , ) ( , ).
证明：
对任意 R ，显然
0 ( , )
( , ) 2 ( , ) 2 ( , )
i1 j1 i1 n n j1
yT G x
定义11 欧氏空间 V 的一个向量组 1 , 2 , 度量矩阵或Gram 矩阵指的是矩阵
,s 的
( 1 , s ) ( 2 , s ) ( s , s )
G ( 1 , 2 ,
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( , ) ( , ) 2 1 2 2 , s ) ( s , 1 ) ( s , 2 )
T
拓扑空间
线性空间
U
Hausdorff空间
U
拓扑线性空间
U
距离空间 (度量空间)
É
U
距离线性空间
É É É
完备距离 线性空间
U
赋范空间
U
Banach空间
U
内积空间
U
Hilbert空间
欧氏空间
各类空间的层次关系
R
U
n和
C
n
§2、标准正交基
正交性的重要性无论怎么强调都不过分， 尤其在数值线性代数和微分方程数值解 中，许多重要的算法都与正交性有密切 联系。而这两门学科是在工程科学中有 着最广泛应用的数学学科之一。
x Ax ，我们可得到下面的双线性型。
T
例 3
在向量空间 R n 中，对任意 x、y Rn 和 实对称矩阵 A ，定义实双线性型（Bilinear Form ）
[ x, y] ( Ax, y) y Ax,
T
A R
nn
[ x , y] 是 R n 的一个内积。 T 特别地，x y 时 [ x, x] x Ax
可以证明Gram矩阵 G 是对称正定矩阵。
例 12
欧氏空间 P[t ]2 的内积为：
( f , g)

1
1
f ( t ) g ( t )dt ,
f 、g P[t ]2
（1）求自然基 1, t , t 2 的度量矩阵
G 。
（2）用矩阵计算下列函数的内积：
f (t ) 1 t t ,
2
1
g22 ( 2 , 2 ) ( t , t ) t t dt 2 , 3 1 g23 ( 2 , 3 ) ( t , t ) t t dt 0,
2 2 1 1 1
1
2. g33 ( 3 , 3 ) ( t , t ) t t dt 5 1
(1) || α + β || 2 + || α - β || 2 = 2( || α||
2
+ || β || 2 ) ;
1 (2) ( , ) ( || || 2 || || 2) ; 4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
|| α + β || 2 = || α||
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。
、 0
特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂
直，记为 。
另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。
定理9 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β Î V ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
( x, y) x1 y1
xn yn x y y x, x, y R
T T
n
并在此基础上定义了 R n 中的向量长度、夹角等概念。 我们当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但注 意到这种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算 这样做。所以我们先要确定线性空间中内积的定义。
第二章
内积空间
线性空间中向量的运算仅是线性运算。一 般而言，我们知道，现实世界是3维欧氏空间。 n 对于 维线性空间，定义了内积以后，向量不 仅有了长度（模），还有了两向量之间的夹角 等几何性质。特别是有了正交概念后，我们可 以得到标准正交基、勾股定理、正交投影等许 多优美的结果。
当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间 就被推广到了酉空间。许多欧氏空间中的定义 和性质几乎可以“平滑地”推广到酉空间。欧 氏空间和酉空间统称为内积空间。
关的充要条件是矩阵 G(1 , 2 ,
在欧氏空间内引入标准正交基后，欧氏 空间内向量的内积运算就转化成了我们 熟悉的向量空间内向量的内积运算。
一、标准正交基(Orthonormal Basis)
在 R 中，选取自然基 i, j , k，则度量矩阵
3
轾 轾 ( i, i ) ( i, j ) ( i, k ) 1 0 0 犏 犏 G= 犏 ( j, i ) ( j, j ) ( j, k ) = 犏 0 1 0 = I 犏 犏 ( k , i ) ( k , j ) ( k , k ) 0 0 1 臌 臌 说明此时内积是标准内积，因此用坐标计算内积的公
例2 定义了标准内积的 R 是欧氏空间。这里， 对任意两个向量 (a1 , a2 , , an )T Rn 及 (b1 , b2 , , bn )T Rn ， 标准内积为
n
( , )
T T
a1b1 a2b2
anbn .
联想到二次型
Baidu Nhomakorabea(1)
|| || 0
，当且仅当 时，等号成立。
(2) || || | | || || ; ( R)
（3） || || || || || || 。
范数还具有下列平行四边形法则、极化恒等式和勾股 定理。 定理10 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β Î V ，有：
式有最简单的形式。
我们当然希望在欧氏空间中通过适当选取基，使得
欧氏空间的度量矩阵也是单位矩阵。
定义1
欧氏空间 V 的一组基称为 V 的一个正交基， 如果它们两两正交。如果此正交基的每个基向量又都 是单位向量，则称此基为 的一个 V 标准正交基。
例 2
欧氏空间C[0, 2 ] 的一个标准正交基是
1 1 1 1 1 , cos x, sin x, , cos nx, sin x, 2
§1、欧氏空间的基本概念
向量空间中向量的长度与夹角是用内积 定义的，因此要在线性空间中引入相关 概念，自然要对内积的概念进行推广。
由于向量的内积与向量的线性运算无关， 所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间， 即定义了内积的线性空间。
一、内积空间(Inner Product Space)的概念
在线性代数中，我们将 R 3 中的内积推广到 R n ：
2
+ || β ||
2
.
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1 , 2 ,
, n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1 , x2 ,
则内积
n
, xn )T , y ( y1 , y2 ,
n
, yn )T .
( , ) ( xi i , y j j ) xi y j ( i , j ) (由内积的双线性性)
(1) ( , ) ( , ) ;
、、 V
(2) ( , ) ( , ) ; ( R) (3) ( , ) ( , ) ( , ) ; (4) ( , ) 0 ，当且仅当 时，等号成立。
二、欧氏空间的度量
注意到3维空间中，
x
定义7
x x x x, x ,
2 1 2 2 2 3
x [ x1 , x2 , x3 ]
T
欧氏空间 V 中的向量
的范数（norm)为
, .
特别地，称 1 的向量 称为单位向量。
任意非零向量 ，经过规范化或单位化后可得到单位 向量
例 5
线性空间 C[a, b] 按下列内积构成欧氏空间：
( f , g)
证明： 当

b
a
f ( x ) g ( x )dx ,
f 、g C[a, b]
时，若有
(f, f)

b
a
f 2 ( x )dx 0
f (c ) 0, c (a, b). 则由函数的连续性，存在邻 域 N ( c , ) ，使其内任意点的函数值满足 f 2 ( x ) 0 ， 从而
这个一元二次不等式对任意 恒成立，因此
4 ( , ) 4( , ) ( , ) 0
2
当 0 时，取 即两向量线性相关 时等式 成立。
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
, arccos , [0, ],
(f, f)

b
a
f ( x )dx
2

c
c
f ( x )dx 0
2
矛盾。其他性质显然可证。
例6 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1 , a2 ,
T
, an , ) },
T
T
a
i 1
2
g(t ) 1 4t 5t .
2
解： g11 (1 , 1 ) (1,1) 1 1dt 2,
g12 (1 , 2 ) (1, t ) 1 t dt 0,
1 1 1
1
g13 (1 , 3 ) (1, t ) 1 t 2 dt 2 , 3 1

2 i

( , )
a1b1 a2b2 anbn
根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。
(5) ( x，y+z ) ( x, y) ( x, z );
(6) ( x, ky) k( x, y) , k R;
(7) ( , ) ( , ) .
注意到 R n 中的内积显然具有如下性质：
(1) 对称性： ( x, y) ( y, x ) ;
(2) 双线性性： ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z ); ( x，y+z ) ( x, y) ( x, z ); ( kx , y) k ( x , y) , k R; ( x , ky) k ( x, y) , k R; (3) 正性： ( x, x ) 0;
2 2 2 2
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
（2）f ( t ) 和
g ( t ) 在自然基下的坐标分别是
T T
2 0 G 0 2 3 2 0 3
0 . 2 5
2 3
(1, 1,1) , (1, 4, 5) .
所以所求为
( f , g ) G 0.
则 次型 ；当
就是二
A I
时就是前面的标准内积。
例 4
定义
在矩阵空间 R m n 中，对任意 A、B Rmn
( A, B) tr ( B A) tr ( A B) ai j bi j
T T i 1 j 1
m
n
则 R m n 是定义了内积 ( A, B) 的内积空间。