物理波的能量

π
=2
π2 )
y= 0.03 cos 2π×2.5 t
= 0.03 cos 5πt
π
2
π 2πx 520πx0.24
6
= 0.03 cos 5π(t
10 x 6
)
π
2
例11 一平面波在介质中以速度u =20m/s沿x 轴负方向
传播，已知 a 点的振动表式为： (1)以a为坐标原点写出波动方程；
ya
Байду номын сангаас
wk
wp
2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
平均能量密度（对时间平均)
w 1 T A2 2 sin 2[(t x)]dt
T0
u
w
=
1 2
ρAω2
2
三、波的强度
能流P :单位时间内垂直通过某一截面的 P = w S u 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
yy解为ba此求==：:00波时沿..y11的xcca轴=oo=表正ss20式022向c00ππ。vm传att处播=00的的..dd24质ππ波yt 点++动a<方b ==程的000为振.0动：5y状=A态c为os：002.π.v42πybπnb=t===dd5π2π2ty.π03xcb(m>+1(2)0)
(t+
d u
)
π
2
]
y
=
A cos[ω
(
t
+
d u
x u
)
π
2
]
例6、波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。
{ 写出波动方程。
t= 0 (o点)
得：
y 0
=
2
=
A
2
v0
＞0 0=
π
3
2
o
y(m)
4 5
p
u
x (m)
{ t =0
(p点)
2π
=
y 0
=
0
v0＜ 0
p
0
d
λ
得：
3
p
=
π
2
=
2π p
d
0
2π×
=π
2
(
5
π3
3
)
=4
(m)
ω = 2πν
y0 = 4 cos
=2π
u
( 200π t
= 2π
π
3
)
4400= 200π ( S
y 4cos[200
1
(t
)
x) ]
u3
例7 一平面简谐波沿x 轴正向传播，振幅 A =0.lm，频
率n =l0Hz，当t =1.0s时x =0.1m处的质点a的振动状态
A、A点处质元的弹性势能在减小 Y
B、 B点处质元的振动动能在增大
C、波沿 x 轴正方向传播
BC
D、C点处质元的弹性势能在增大
A
X
例2、已知 t=0.5S 的波形 A、y 10COS[ (t x )]（cm）
图如图，波速大小
10
C=10M/S，若此时p 点处 质元的振动动能在逐渐增大，
B、y
10COS[
(t
x) 10
]（cm）
则波动方程为（ B ）
y
10
C、y 10COS[ (t x )]（cm）
10
20 D、y 10COS[ (t x ) ]（cm）
0
10
x(cm )
10
p
二、能量密度
能量密度＝单位体积内的总机械能
W
Wk
Wp
V 2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
w
=
dW dV
w
④同一时刻，各体元的能量随 x 作余弦变化，说明该体 积元内与相邻部分不断有能量交换，即波动在传播过 程中，每一体积元不断地从波源方向接受能量，又不 断向前放出能量。（传递能量）
⑤波动的能量与振动能量是有区别的。孤立振动系统的质 元动能最大时,势能最小,总机械能守恒,不向外传播能量.
Ek
1 2
mv2
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S w u 波的强度 I（能流密度）:
通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。称为平
均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。 u
I P uw 1 A2 2u
S
S
2
声学中声强就是上述定义之一例
u
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
I
1
A2 2u
o
x/m
例10 一平面简谐纵波沿线圈弹簧传播，设波沿着x 轴正
向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为
2.5Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当 t =0
时，在x =0处质元的位移为零并向x 轴正向运动。
试写出：该波的波动表式。
解：
t =0
x =0 y=0
y0= 0.03 cos(2π×2.5 t
cos
2π t
10π 3
×0.3+
π 2
= 0.2cos 2πt
π 2
3、
yO= 0.2cos
2πt
+
π 2
例9 一横波沿绳子传播时的波动表式为
y = 0.05cos(10πt 4πx )
x, y 的单位为 m, t 的单位为s。
(1)求此波的振幅、波速、频率和波长。
(2)求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。
波的干涉之 模拟演示图
传播到 P 点引起的振动为：
y1( p,t) A1 cos(t
y2( p,t) A2 cos(t
下面讨论干涉现象中的强度分布
10 20
2 2
r1 ) r2 )
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
在
P
点的合成振动为： y
y 1
y 2
Acos(t
)
其中：
(20
t +Δt 时刻 的波面
uΔt
t 时刻 的波面
.
.. . . . ..
.
.. . . . ..
子波波源
二、用惠更斯原理解释衍射现象
波动在传播的路程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边 缘前进，这种现象叫波的衍射或波的绕射。留在光学讲。
障碍后 的波面
障碍物后的 阴影部分
障碍后 的波线
. . . . . . . . .
y/cm
=
4 3
×0.45 =0.6cm
0.2
n =1Hz T = 4×0.25=1s o
.
P
2u、=y==0n0.2=.2c0co.os6sc22πmπ/tts1200ππ3.x6x
+
+
π 2
0.45 t =0 x =0
u t1=0 t2=0.25s
x/cm
y =0 v<0
=π2
1、y P
=
0.2
(2k
1)
2
,
I Imin I1 I2 2 I1I2
k 0,1,2,3,... 相消干涉
例3、两列波在B点相遇，下列说法正确的是（E ）
A、在某时刻t t0 , B点的振幅正好等于两列波振幅之和， 则这两列波是相干波。 A错：两列非相干波合成后，某点某时刻的振幅可以等于 两分振幅之和，如拍现象中的加强现象
=
3
cos
4πt
(2)以距a点5m处的b点为坐标原 点写出波动方程。
b.
u .a 5m
x
解：(1)以a点为原点在x轴上任取一点P，坐标为x
ya = 3 cos 4πt y =3 cos 4πt +
x
20
(2)以b点为坐标原点
同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。
相干条件：相干波源产生的相干波的叠加
S2
r2
两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。
p
设有两个频率相同的波源 S1和 S2
其振动表达式为：
S1
r1
y10(S1,t) A10 cos(t 10)
y20(S2,t) A20 cos(t 20)
波的干涉之 模拟演示图
由式(1) 、 (2)可得：
y = 0.1cos 20πt
=0.24m
2πx
0.24
+
=
4π
3
4π 3
m
例8 一列沿x 正向传播的简谐波，已知 t1= 0时和
t2= 0.25s时的波形如图所示。试求： (1)P点的振动表式;
(2)此波的波动表式;
(3)画出 o 点的振动曲线。
解： A =0.2cm
10 )
2
(r2
r1)
A2 A12 A22 2A1A2 cos
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
I I1 I2 2 I1I2 cos
对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
干涉相长的条件：
2k ,
(20
10)
2
(r2
r1)
k 0,1,2,3,...
A Amax A1 A2
I Imax I1 I2 2 I1I2
波程差
r2
r1
(2k)
2
,
k 0,1,2,3,...
相长干涉
干涉相消的条件：
(20
10 )
2
(r2
r1)
(2k
1)
,
k 0,1,2,3,...
A Amin | A1 A2 |
r2
r1
(3)求x = 0.2m处的质点在t =1s时的相位，它是原点处
质点在哪一时刻的相位?
(4)分别画出t = 1s,1.25s,1.50s各时刻的波形。
解： 与
y
=yA=c0o.s0(52πcnost(120ππxt
)
4πx )
比较得
(1) A =0.05m n =5Hz =0.5m
u = n =0.5×5=2.5m/s
（例如 P点）两波引起的两简谐振动的位相差是：
A0 B C 2 D3 2
解：位相差
r2 r1 2
2
1
P
SS
1
2
4 2 2
故选（Ｂ）。
例5、以P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写
出波动方程。
y
解：
p=
π
2
o
uP
x
d
yp = A cos (ω t
π
2
)
yo=
A cos[ω
1 2
mA2 2
sin
2 (t
)
Ep
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (t
)
EP
Ek
Y
能量
极小
t
X
极大
⑥能W量随时W间k 周期W性p 变化V,其周2 A期2 s为in波2[动(周t 期ux的)] 一半.
例1：一平面简谐波在 t 时刻的波形曲线如图，若此时 A 点处质元的振动动能在增大，则 （ D ）
(2)um = Aω =0.05×10π=0.5πm/s am = Aω2 = 0.05×(10π)2 =0.5π2 m/s2
(3) x =0.2m t =1s
Φ =4π 4π×0.2 =9.2π
在原点处 x =0 10πt = 9.2π t =0.92s
(4) 0.05 y/m t =1.5s t =1s t =1.25s
D、在B点，两列波中，能流密度大者，振幅必定也大。
D错：能流密度正比于振幅平方和频平方，两列波可以频率不同， 能流密度大可以是频率大造成的。若此问改为两列相干波 中能流密度大，振幅必定也大则为正确。
E、以上说法均不正确。
例S42、的位两相相超干前波源S21，和在S2两相波距源的4连线，S上1 ，的S1位外相侧比
平面波波面
障碍物
平面波
三、用惠更斯原理解释折射定律
sin i
sin
u1 u2
n21
i
n1 A
i
u2Δ t
r
D
n2
C
u
Δt
12
r
u1Δ t B
CB
sin i sin r
=
AB AD
AB
=
u1Δ t u2Δ t
=
u1 u2
=
n2 n1
= n2 1
波的叠加原理
一、波的叠加原理
两水波的叠加
S1
S2
波的叠加原理: 有几列波同时在媒质中传播时，它们的传 播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在 而发生影响。
show3
振动方向相同
能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性 在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。
二、波的干涉
稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的点振幅始终 最大,另一些位置振幅始终最小,而其它位置,振动的强弱介 乎二者之间,保持不变, 称这种稳定的叠加图样为干涉现象
相干波源：若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相
2
10-4、惠更斯原理(Huygens, principle)
一、惠更斯原理
惠更斯原理：波动所到达的媒质 中各点都可以看作为发射子波的 波源，而后一时刻，这些子波的 包迹便是新的波阵面。
用惠更斯原理确定 下一时刻平面波的波前 t +Δt 时刻的波面
... ......
子波波源
t 时刻的波面
uΔt
用惠更斯原理确定 下一时刻球面波的波前
B、 两 列 波 是 相 干 波 ， 如果 在 某 时 刻 看 到B点 的 质 元 在 平 衡 位 置 上， 则B点 一 定 不 是 干 涉 加 强 点。
C、两列波是相干波，如果在某时刻看到B点的质元距平衡位置为 y， 且Amin y Amax , 那麽B点一定既不是加强点，也不是减弱点。
C错：y Amin 只能说明B点不是减弱点，但由 y Amax 不能说明B点不是加强点。
总机械能为：W
讨
Wk
Wp
V 2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
论： ① 对某一个质元， 任一时刻动能与势能都相等，
即动能与势能同时达到最大或极小.即同相的随
时间变化.这不同于孤立振动系统。
② 动能与势能都是时间的周期函数；总能量也是时间 的周期函数。总能量是不守恒的。
③ 同一位置，各体元的能量随 t 作余弦变化，说明对于 某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入 过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程， 周而复始。媒质中并不积累能量。因而它是一个能量 传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动 的能量沿波速方向传播。
10-3、波的能量 波的强度
一、波的能量
dm
有一行波： y = A cosω (t
x u
)
取体积元dV， 体元内质量为 dm =ρdV
dV
质元的速度
v
=
y t
dWk
=
1 2
dmv
2
=
=
Aω sinω (t
x u
)
1 ρdVAω2 2sinω2
2
(t
x u
)
可以证明： dWk = dW p 海军2-01横波（三个质点图）