吉林省名校调研卷系列(市命题七十七)2019年人教版九年级上期中考试卷数学试题 含解析

2019-2020学年九年级上期中考试卷数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．cos45°的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，则∠A的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，∠BAC＝30°，则BC长为（ ）
A．30cm B．20cm C．10cm D．5cm
6．如图，点D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC．若EC＝3EA，△AED的周长为3，则△ABC的周长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的
值为（ ）
A．B．C．2D．
8．小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是（ ）
A．3.1米B．3.2米C．3.3米D．3.4米
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．点P（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是 ．
10．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的中点，DE＝4，则BC＝ ．
11．计算：（×）×＝ ．
12．关于x的方程（x﹣1）2＝a有实数根，则a的取值范围是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于 ．
14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是斜坡AB两点之间的高度差BC 与水平距离AC之比），坝高BC＝2m，则坡面AB的长度是 m．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：3tan30°+sin45°﹣2sin60°．
16．用配方法解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
17．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tan B的值．
18．如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6.2m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝45°，∠ACD＝28°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，tan A＝，点D，E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE＝3，DB＝10．求DC的长．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长均为1）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以点O为位似中心，在第三象限内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．
21．2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A正西方向50海里处的舰艇B接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B迅速赶往在他北偏东60°方向的指挥中心处，舰艇B的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B到达指挥中心O的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：
（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，＝1.73）
22．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏
总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC＝ 米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
23．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D 时线段AB上一动点，连接BE．
填空：
①的值为 ；②∠DBE的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm，在△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．EF在BC上，保持△ABC不动，并将△DEF以1cm/s的速度向点C运动，移动开始前点F与点B重合，当点E与点C重合时，△DEF停止移动．边DE与AB 相交于点G，连接FG，设移动时间为t（s）
（1）△DEF从移动开始到停止，所用时间为 s；
（2）当DE平分AB时，求t的值；
（3）当△GEF为等腰三角形时，求t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．cos45°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：cos45°＝．
故选：D．
2．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0，则它的一次项系数为﹣2，
故选：D．
3．与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式．
【解答】解：A、与的被开方数不同，不属于同类二次根式，故本选项错误．
B、＝2，与的被开方数都是3，属于同类二次根式，故本选项正确．
C、＝3，与的被开方数不同，不属于同类二次根式，故本选项错误．
D、与的被开方数不同，不属于同类二次根式，故本选项错误．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，则∠A的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，根据等腰三角形的性质即可求出顶角A的度数，继而即可求出∠A的正弦值．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝75°，
∴∠A＝30°，
∴sin∠A＝．
故选：A．
5．如图是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，∠BAC＝30°，则BC长为（ ）
A．30cm B．20cm C．10cm D．5cm
【分析】因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC的长度．
【解答】解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：
tan∠BAC＝，
又∵AC＝30cm，tan∠BAC＝tan30°＝，
则BC＝AC tan∠BAC＝30×＝10（cm）．
故选：C．
6．如图，点D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC．若EC＝3EA，△AED的周长为3，则△ABC的周长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】由已知得出＝，＝，由平行线得出△AED∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝，即可得出△ABC的周长．
【解答】证明：∵EC＝3EA，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴＝＝，
∴△ABC的周长＝2△AED的周长＝2×3＝6；
故选：B．
7．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理分别求出AC、AB，根据三角形的面积公式求出CD，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，
由图形可知BC＝2，
由勾股定理得，AC＝＝，AB＝＝3，
由三角形的面积公式可得，×2×3＝×3×DE，
解得，DE＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：D．
8．小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是（ ）
A．3.1米B．3.2米C．3.3米D．3.4米
【分析】先判断出△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵DE⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE∽△ACB，
∵树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，她站立于树影的中点，DE＝1.65米，
∴＝，
∴BC＝2DE＝2×1.65＝3.3（米）．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．点P（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是　（1，3）　．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：P（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是（1，3），
故答案为：（1，3）．
10．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的中点，DE＝4，则BC＝　8　．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分别是AB和AC上的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．
11．计算：（×）×＝　2　．
【分析】根据二次根式的乘法法则求出即可．
【解答】解：（×）×
＝
＝2，
故答案为：2．
12．关于x的方程（x﹣1）2＝a有实数根，则a的取值范围是　a≥0　．【分析】根据非负数的性质，即可得出a≥0，从而求解．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝a有实数根，
∴a≥0．
故答案为：a≥0．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于 ．
【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝2，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝3，
∴DE＝2，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故答案为：
14．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是斜坡AB两点之间的高度差BC 与水平距离AC之比），坝高BC＝2m，则坡面AB的长度是　4　m．
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵坡AB的坡比是1：，坝高BC＝2m，
∴AC＝2，
由勾股定理得，AB＝＝4（m），
故答案为：4．
三．解答题（共10小题）
15．计算：3tan30°+sin45°﹣2sin60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算解答即可．
【解答】解：原式＝＝＝．
16．用配方法解方程：x2﹣6x﹣1＝0．
【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，
移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
开方得：x﹣3＝±，
则x1＝3+，x2＝3﹣．
17．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tan B的值．
【分析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH 的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tan B＝＝＝．
18．如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B和C处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC为6.2m，在感应线B、C两处测得电子警察A的仰角分别为∠ABD＝45°，∠ACD＝28°．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53】
【分析】首先求出DA＝DB，然后在Rt△ADC中，根据正切值的定义列出等量关系，求出AD的值即可．
【解答】解：根据题意可知，∠ADC＝90°，
∵∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD，
∴DA＝DB，
在Rt△ADC中，∠ACD＝28°，BC＝6.2m，
∴tan28°＝，
∴AD＝0.53（AD+6.2），
∴AD＝6.99≈7.0m，
答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD的长为7.0m．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，tan A＝，点D，E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE＝3，DB＝10．求DC的长．
【分析】先在Rt△ADE中利用正切定义得到AE＝4，则利用勾股定理可计算出AD＝5，所以AB＝15，再在Rt△ABC中利用正切得到tan A＝＝，设BC＝3x，则
AC＝4x，AB＝5x，所以5x＝15，解出x得到AC＝12，然后求出CE的长后利用勾股定理计算CD的长．
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△ADE中，tan A＝＝，
而DE＝3，
∴AE＝4，
∴AD＝＝5，
∴AB＝BD+AD＝10+5＝15，
在Rt△ABC中，tan A＝＝，
设BC＝3x，则AC＝4x，
∴AB＝5x，
即5x＝15，解得x＝3，
∴AC＝4x＝12，
∴CE＝AC﹣AE＝12﹣4＝8，
在Rt△CDE中，CD＝＝．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长均为1）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以点O为位似中心，在第三象限内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
点B1的坐标为：（2，﹣3）
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求：
点C2的坐标为：（﹣3，﹣4）．
21．2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A正西方向50海里处的舰艇B接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B迅速赶往在他北偏东60°方向的指挥中心处，舰艇B的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B到达指挥中心O的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：
（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，＝1.73）
【分析】作OC⊥AB交BA的延长线于C，设OC＝x海里，根据正切的定义用x表示出BC、OB、AC，根据题意列出方程，解方程求出x，计算即可．
【解答】解：作OC⊥AB交BA的延长线于C，
由题意得，∠OBC＝30°，∠AOC＝22°，
设OC＝x海里，
在Rt△OBC中，∠OBC＝30°
则OB＝2OC＝2x，BC＝＝x，
在Rt△OAC中，∠AOC＝22°，
则AC＝OC•tan∠AOC≈0.4x，
由题意得，x﹣0.4x＝50，
解得，x＝37.59，
OB＝2x＝75.18（海里），
则舰艇B到达指挥中心O的时间为：75.18÷80≈1（小时）
答：舰艇B到达指挥中心O的时间约为1小时．
22．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．
（1）饲养场另一边BC＝　（48﹣3x）　米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．
【分析】（1）用（总长+2个2米的门的宽度）﹣3x即为所求；
（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，
【解答】解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．
故答案是：（48﹣3x）；
（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180
解得x1＝6，x2＝10
23．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D 时线段AB上一动点，连接BE．
填空：
①的值为　1　；②∠DBE的度数为　90°　．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通过证明△ACD∽△BCE，可得的值；
（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；
（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证
CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°
∴∠ABC＝∠CAB＝45°
∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，
∴△ACD∽△BCE
∴
故答案为：1，90°
（2），∠DBE＝90°
理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°
∴tan∠ABC＝tan30°＝＝
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴Rt△ACB∽Rt△DCE
∴
∴，且∠ACD＝∠BCE
∴△ACD∽△BCE
∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°
（3）若点D在线段AB上，如图，
由（2）知：＝，∠ABE＝90°
∴BE＝AD
∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°
∴AB＝4，BC＝2
∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，
∴CM＝BM＝DE，
且△CBM是直角三角形
∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，
∴BM＝CM＝
∴DE＝2
∵DB2+BE2＝DE2，
∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24
∴AD＝+1
∴BE＝AD＝3+
若点D在线段BA延长线上，如图
同理可得：DE＝2，BE＝AD
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（4+AD）2+（AD）2＝24，
∴AD＝﹣1
∴BE＝AD＝3﹣
综上所述：BE的长为3+或3﹣
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm，在△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．EF在BC上，保持△ABC不动，并将△DEF以1cm/s的速度向点C运
动，移动开始前点F与点B重合，当点E与点C重合时，△DEF停止移动．边DE与AB
相交于点G，连接FG，设移动时间为t（s）
（1）△DEF从移动开始到停止，所用时间为　6　s；
（2）当DE平分AB时，求t的值；
（3）当△GEF为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）根据△DEF以1cm/s的速度，路程为6cm，计算可得时间为6s；
（2）先根据勾股定理计算AB＝15，证明△ACB∽△EFD，则∠D＝∠B，所以∠EGB＝90°，根据三角函数列式可得t的值；
（3）当△GEF为等腰三角形时，有三种情况：
①当EG＝FG时，如图2，②当EG＝EF时，如图3，③当FG＝EF时，如图4，分别根据
等腰三角形的性质列方程可得结论．
【解答】解：（1）∵BC＝12，EF＝6，
∴当点E与点C重合时，BF＝12﹣6＝6，
即△DEF从移动开始到停止，所用时间为6÷1＝6s；
故答案为：6；
（2）如图1，DE平分AB，则AG＝BG，
Rt△ACB中，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝15，
∴BG＝，
∵＝＝，＝，
∴，
∵∠EFD＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△EFD，
∴∠D＝∠B，
∵∠BHF＝∠DHG，
∴∠DGH＝∠BFH＝90°，
∴∠EGB＝90°，
∵BE＝EF+BF＝6+t，
cos∠B＝，
∴，t＝；
（3）当△GEF为等腰三角形时，存在以下三种情况：①当EG＝FG时，如图2，则∠GEF＝∠EFG，
∵∠GEF+∠D＝∠EFG+∠DFG＝90°，
∴∠D＝∠DFG，
∴DG＝FG，
∴EG＝DG＝5，
∴sin∠B＝，即，
t＝；
②当EG＝EF时，如图3，
∵EF＝6，
∴EG＝6，
∴sin∠B＝，即＝，
t＝4；
③当FG＝EF时，如图4，则∠FEG＝∠FGE，
∵∠FEG+∠B＝∠FGE+∠BGF＝90°，
∴∠B＝∠BGF，
∴BF＝FG＝EF＝6，
∴t＝6，此时E与C重合，
综上，当△GEF为等腰三角形时，t的值是秒或4秒或6秒．。