函数奇偶性教学案例9月份

《函数的奇偶性》教学案例

运城中学 李春苗

一、 教学目的：

1、 理解函数奇偶性的定义，能利用定义判断或验证给定函数的奇偶性，

2、体会具有奇偶性的函数图象的对称性，感受数学的对称美，渗透数形结合的数学思想 二、教学重点、难点：

重点：奇偶性的定义，奇偶性函数的图象特征，奇偶性的判定 难点：奇偶性定义判断 三、教学过程：

（一）新课引入

我们知道，函数的单调性反应在图象上就是图形的上升与下降趋势；函数的最大值最小值在图象上看也就是它的最高点与最低点。那么函数的奇偶性又是什么呢？我们一起来观察函数

2)(x x f =，x

x f 1

)(=

的图象。 （二）新课——函数的奇偶性

1、对于2)(x x f =的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于y 轴对称，是轴对称图形。对于x

x f 1

)(=

的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于原点对称，是中心对称图形。 2、那么如何利用函数值描述这种对称性呢？求下表中的函数值并比较

对于2

)(x x f =，由于图形关于y 轴对称图形，故有)()(x f x f =-；对于x

x f 1

)(=

，由于图形关于原点对称，故有)()(x f x f -=-。

3、事实上，我们取点))(,(x f x P ，))(,(x f x Q --，如图所示，

如果它们关于y 轴对称，则有)()(x f x f =-， 如果它们关于原点对称，则有)()(x f x f -=-， 4、定义：一般地，对于函数)(x f 的定义域内的任一个x ，

如果都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f 是偶函数；所以偶函数的图象关于y 轴对称。 如果都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f 是奇函数。奇函数的图象关于原点对称。 5、适时巩固

判断函数x x x f +=3)(的奇偶性并补全图象 已知函数的奇偶性补全图象 （三）例题——判断函数的奇偶性 1、判断下列函数的奇偶性

（1）4

)(x x f = （2）5

)(x x f = （3）x x x f 1)(+

= （4）21)(x

x f = 设计说明：巩固函数奇偶性的概念，培养学生的自学能力

分析：①先求定义域，再求?)(=-x f ，?)(=x f ，比较二者是否相等或相反，结论，②由学生阅读 解：（格式）（1） 函数的定义域为),(+∞-∞，

又44)()(x x x f =-=-，4)(x x f = ， )()(x f x f =-∴ 4

)(x x f =∴ 是偶函数 2、（补充）判断下列函数的奇偶性 （1）3311)(x x x f -+-=

（2）1

1

)(+-=

x x x f （3）32)(+=x x f （4）2

|2|1)(2

-+-=x x x f

（5）2211)(x x x f -+-=

设计说明：适当提高，让学生感受函数奇偶性的各种不同情形及巩固判断方法

分析：对于（1）（2），由于定义域关于原点不对称，)(x f -存在无意义的情形，对于（3）可举特例

5)1(,1)1(==-f f ，得到非奇非偶的类型；对于（4）

（5），先求定义域，适当化简解析式后，比较)(),(x f x f -得出奇偶性，对于既是奇又是偶的函数，其解析式为0)(=x f ，而由定义域不同可得不

同函数

3、（补充）已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且定义域为]2,1[a a -，求b a ,的值。 设计说明：让学生明确函数的奇偶性是对于整个定义域而言的，明确二次函数为偶函数的条件 分析：奇偶性的前提是定义域要关于原点对称，理解)()(x f x f =-对定义域内的任一个x 恒成立，另外也可注意二次函数图象即抛物线的对称轴为y 轴。 （四）提高——奇偶性应用

（思考）已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f +-=2)(，求当0

值)(x f 的相等与相反

分析与提示：（1）先求?)1(=f ，?)2(=f ，?)3(=f （2）再求?)1(=-f ，?)2(=-f ，?)3(=-f ，发现什么？

（3）当0-x ， ?)(=-x f ，据奇函数?)()(=--=x f x f 解：当0-x ，x x x x x f x f +=-+---=--=22)]()([)()( （作图验证一下）

（五）小结——构建知识网络

（1）奇偶性的定义是什么？其图象有什么性质？ （2）判断奇偶性的前提与步骤是什么？ （3）奇偶性的运用，求值，作图，求解析式 （六）作业——巩固与反馈

1、课本，习题1.3.2A 组，第1-5题

2、已知函数)(x f 对一切y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+，①求证：)(x f 是奇函数，②若

a f =-)3(，试用a 表示)24(f 的值。

五、教学说明

“函数奇偶性”是一个重要的数学概念，其研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，整节课可让学生通过自主探究活动来体验数学概念的形成，学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

教学中努力体现出学生的思维过程：（1）由学生观察图象的对称性，从直觉上认识奇函数与偶函数的概念。（2）通过表格中数据（函数值）的相等相反关系，得出对称性的本质是坐标的关系。（3）再以精确的数学语言来定义函数的奇偶性

教学要求是：让学生掌握利用定义进行判断奇偶性的基本方法，理解定义域的要求，理解图象的对称性，了解奇偶性的四种类型，并初步运用奇偶性。

教学方法上，本节致力于展示概念是如何生成的，在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教，而不是教教材。初步学会如何由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，并渗透数形结合法思想。本节努力实现新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。