晶格的周期性

a1
a2
a12、晶格基矢 即原来自的边矢量；一般用 a1, a2 , a3
来表示。
例：二维晶格的原胞与基矢
a2
a1
a2
a1
a2 a1
a2
a1
a2
a1
显然，以基矢 a1, a2 为两个棱边组成的平行四边形即为原胞。
※原胞及基矢的选取——不唯一※
例：三维晶格的原胞与基矢
一般用 a1, a2 , a3来表示三维晶格的基矢。通常， 以基矢 a1, a2 , a3 为三个棱边组成的平行六面体为原 胞。（典型晶格有习惯原胞选取方式）
晶体微观结构的周期性的描述
“布拉伐格子”
“点阵”或“晶格”
简单晶格
复式晶格
基本结构单元——原胞
固体物理学原胞 结晶学原胞
维格纳—赛兹原胞
“基矢”
（一）原胞与基矢 (primitive cell and basis vector)
1、一个晶格中最小的周期性单元称原胞。
a1
a2 a1
a2
a2
a1
a2
a2 =a/2( i j k )
a3=a/2( i j k )
3、维格纳—赛兹原胞
定义：以某一格点为中心，作它与最近邻、次近邻等
格点的垂直平分面，由这些面所围成的封闭多面体称维 格纳—赛兹原胞，也满足原胞的要求，而且每个维格 纳—赛兹原胞只含有一个格点并位于原胞的中心，故其
外形的对称性高于平行六面体原胞。
每个原胞平均不只含
一用个a格, b点, c，来其表基示矢；常
简立方结构的原胞、晶胞和维格纳-赛兹原胞
a 简立方原胞 简立方晶胞
简立方维格纳-赛兹原胞
体心立方的原胞、晶胞和维格纳-赛兹原胞
体心立方晶胞
体心立方原胞
体心立方维格纳赛兹原胞
（三）简单晶格与复式晶格——1、晶格分类
面心立方(fcc) (Cu,Ag,Au,Pb,Ni,γ-Fe,Al等)
格点，其基矢常
用
a1
,
a2
,
a3来表
示；
微观周期结构和晶体 画中心到最近邻格点的
对称性，通常选取体 连线的垂直平分面，围
积较大的原胞，常称 成的多面体称维格纳-
为“晶胞”，其格点 不只在顶角上，还可 分布在体心和面心处，
赛兹原胞。它也是体积 最小的原胞，其格点只 在中心，每个原胞平均 只含一个格点；
复式晶格与简单晶格结构有何联系？ 复式晶格的原胞如何构造？
六角密排结构(hcp) (Be,Mg,Zn,Ti,Cd,Zr等)
S原子 Zn原子
2、简单晶格与复式晶格的联系
复式晶格
(1)每种等价原子形成一个简单 晶格;
(2)不同的等价原子形成的简单 晶格是相同的;
(3)复式晶格由多个相同的简单
晶格互相套构而成。
简立方结构原胞 面心立方原胞 体心立方原胞
k 2、立方晶格的原胞及原胞基矢
j
i
a3
a2
简立方结a1构原胞
a1 =ai
a2
=aj
a3=ak
a3 a2
面心立a方1 原胞
a1 =a/2(i j )
a2
=a/2(
j
k
)
a3
=a/2(k
i
)
k a2 a1 j a3
i 体心立方原胞
a1=a/2( i j k )
2、原胞与晶胞的区别与联系
原胞
晶胞
晶格中体积最小的周期单元 体积较大的周期单元
每个原胞中实际上只包含一个格 点。
每个原胞有8个顶角， 每个顶角为相邻8个原胞所共有， 所以， 每个原胞所含格点数为8×1/8=1
原胞的体积可表示为：
v a1 (a2 a3 )
面心立方晶格的原胞体积=a3/4
每个晶胞中所含格点数因结构 而异。 例：面心立方晶格
每个原胞中只含一个原 子，且所有原子等价
简单晶格
NaCl结构
每个原胞中含两个或多 个原子，且原子不等价
复式晶格
简单晶格
复式晶格
举例 简立方晶格， 体心立方晶格， 面心立方晶格等
举例 金刚石， 六方密排， 闪锌矿结构等
特征：每个原胞中只含一 个原子，且所有原子等价
特征：每个原胞中含两个 或多个原子，且原子不等 价
晶胞结构——立方体， 面心格点：两个相邻晶胞共有，只 有1/2属于一个晶胞； 顶角格点：只有1/8属于一个晶胞； 总格点数=8×1/8+6×1/2=4
晶胞体积是原胞体积的n倍（n
是该结构每个晶胞所含格点数）
面心立方结构晶胞体积=a3
3、立方格子的特征（Filled)
项
目
晶胞体积
每个晶胞所含格点数
原胞体积 最近邻数 最近邻距离 次近邻数 次近邻距离
例如：NaCl，CsCl，金刚石，
六角密排等结构。
NaCl结构 两个面心的套构
复式晶格举例
金刚石结构
CsCl结构
六角密排结构
两个面心立方的套构 两个简立方的套构 两个简六方的套构
金刚石结构
2
3
1
4
复式晶格的原胞(六角密排晶格为例)
复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞，原胞
中包含每种等价原子各一个。
（二）晶胞（晶格学单胞 crystal unit cell)
1、定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研
究晶格结构，以反映晶格的对称性，称为晶胞。
例如：面心立方晶格
为反映整个格子的立方对称
性，选图中的立方体为其晶 胞。
a2
a3
a1
关于晶胞选取 晶胞有时是原胞，有时不是原胞； 各种不同结构格子的原胞与晶胞的选取有统一的规定。
(2) 原胞、基矢量、布拉伐格子
主要内容
（一）原胞与基矢(primitive cell and unit vitor) （二）晶胞(crystal unit cell) （三）简单晶格与复杂晶格(crystal lattice) （四）布拉伐格子(Bravais lattice) （五）倒格子（ Reciprocal lattice ）
k
a1
定义：
j
i
原胞基矢为：
a1 a1k a2 a2 j
a3
a2
3 1 a3 2 a3i 2 a3 j
（四）布拉伐格子(Bravais lattice)
1、晶格周期性的数学描述
设某一格点处的原子位置坐标用R来表示 对于简单晶格而言， R l1a1 l2 a2 l3a3 ;（l1,l2,l3为整数） 对于复式格子而言， R r l1a1 l2 a2 l3a3；
简立方 体心立方
面心立方
a3
a3
a3
1
2
4
(1+8×1/8) (8 × 1/8+6 × 1/2)
a3
a3/2
a3/4
6
8
12
a
3a
2a
2
2
12
6
6
2a
a
a
小结:三种原胞特点
固体物理学原胞 结晶学原胞 维格纳-赛兹原胞
是体积最小的 为同时反映晶体的
是以一格点为中心，
原胞，格点只在
顶角上，每个原
胞平均只含一个