高二数学选修2-2导数的计算(可编辑修改word版)

1 导数的计算

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用一、用定义计算导数

问题1：如何求函数y =f (x) =c 的导数？

2.求函数y =f (x) =x 的导数

3.函数y =f (x) =x2的导数

4.函数 y =

5.函数 y = f (x) =的导数

x

的导数

二

1.基本初等函数的导数公式表

函数导数

y =c y'= 0

y =f (x) =x n(n ∈Q*) y' =nx n-1

y = sin x y'= cos x

y = cos x y'=-sin x

y =f (x) =a x y'=a x⋅ ln a (a > 0)

y =f (x) =e x y'=e x

f (x) = log

a x f '(x) =

1

(a > 0且a ≠ 1)

x l n a

f (x) = ln x f ' (x) =1 x

分几类1、幂函数 2.三角函数 3 指数函数 4.对数函数

补充 f (x) =1

x

f ' (x) =-

1

x2

x

x

2 x

x

⎣ ⎦ = f (x )

(g (x ) ≠ 0) 2

]

g (x ) [ f ' (x )g (x ) - f (x )g ' (x ) = ⎦ ⎥ g (x ) ⎣ ⎢ ⎡ f (x ) ⎤'

3、 1、

[ f (x ) ± g (x )]'

= f ' (x ) ± g ' (x )

2、[ f (x ) ⋅ g (x )]' = f ' (x )g (x ) ± f (x )g '

(x )

导数运算法则

f ( x ) = 1

f ' (x ) =

1

2 公式的应用 典型题一、求导数

例1、求下列函数的导数

A (1) y = x 5

(2) y = 5

(3) y = 1

(4) y = ln x

(5) y = log 2 x (6) y = cos x

思考 求 f '(x ) 的方法有哪些？

3. 导数的四则运算法则：

问题

x ⋅ l n x 如何求？

推论： [cf (x )]'

= cf ' (x )

提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号,

商法则中间是减号.。

常见错误： [ f (x ) ⋅ g (x )]'

= f ' (x )g ' (x )

⎡ f (x ) ⎤'

⎢ g (x ) ⎥

' (g (x ) ≠ 0) g ' (x )

典型题二、导数的四则运算法则

例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

x

（1） y = x 3 - 2x + 3

（2） y = x ⋅sin x ；

（3） y = (2x 2 - 5x +1) ⋅ e x ；

（4） y =

- cos x lnx

A 变式练习 1 y = x + 1

x

y = sin x (cos x - e x )

y =

cos x

+lnx x

y = x 2 sin x

y =

sin x cos x

A 变式 2.求下列函数的导数

（1）y=2 x 3 +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3)

(3) y= x sin x

(4)

y=

ln x +1 x 2

A 变式 3．已知 f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则 f′（x ）=（ ）

解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ， ∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ，

已知函数 f （x ）= x 2 lnx ，则 f′（x ）等于（

）

﹣ x 函数 y=e x sinx 的导数等于（ ） A ．e x cosx B ．e x sinx

C ．

D ．e x （sinx+cosx ）

e cosx

分析：利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，

sin ′x=cosx ． 解答：解：∵y=e x sinx ，

∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）•（sinx ）′ =e x sinx+e x cosx =e x

（sinx+cosx ）．故选 D ．

4. 函数

的导数值为 0 时，x 等于（ ）

解：∵

=

，∴

令 y ′=0，即 ，解得 x=±a ．

A 变式练习 4

若函数 y=f （x ）的导数 f ′（x ）=6x 2+5，则 f （x ）可以是（

）

A ．3x 2+5x

B ．2x 3+5x+6

C ．2x 3+5

D ．6x 2+5x+6

解答：解：∵f'（x ）=6x 2+5

∴f （x ）=2x 3+5x+c （c 为常数） 故选 B ．

函数 f （x ）=xsinx+cosx 的导数是（ ）

解：∵f （x ）=xsinx+cosx

∴f ′（x ）=（xsinx+cosx ）′=（xsinx ）′+（cosx ）′ =x ′sinx+x （sinx ）′﹣sinx

=sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx

ln x 1 x 2

若 f ′（x ）=2e x +xe x （其中 e 为自然对数的底数），则 f （x ）可以是（ ） A. xe x +x B ．（x+1）e x +1 C ．xe x D ．（x+1）e x +x

分析：利用导数的运算法则即可得出． 解答：解：利用导数的运算法则可得：A ．（xe x +x ）′=e x +xe x +1，

B ．[（x+1）e x +1]=e x +（x+1）e x =（x+2）e x ，

C ．（xe x ）′=e x +xe x ，