晶格振动与声子

2.4 晶格振动与声子

绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系状态n ，原子实系统经受的有效势场

()

()

()

N LL n V V E =+

R R R

，

原子实间的库伦相互作用()

LL V

R + 依赖于核构型的电子能()

n E

R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为：

()()()()()

22

12I n LL S I I

X E V X E X M ⎡⎤-∇++=⎣⎦∑ R R R R R

（2.4-1）

2.4.1 简谐近似和正则振动模

上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，

第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+

， n R 和R α

分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。

原子相对平衡位置的瞬时位移的直角分量为()n i s t α （1,2,3i =）。

将有效势场()

N

V

R 在平衡核构型{}

0n R α=

R 处作泰勒展开：

()

()

201

......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα'''''''''

∂=++∂∂∑

R R

（2.4-2）

取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的

简谐近似。可以证明，由这样的简谐势场联系在一起的N υ个粒子构

成的体系的运动，可通过适当的坐标变换，变为3N υ

个独立的正

则坐标的一维简谐运动。每个正则坐标的简谐运动描述的是体系所有粒

子的集体运动，正则运动模式各粒子的运动彼此间有确定的关系对周期排布的原子体系(晶体)，固体物理中给出，这种正则运动模式为如下形式的格波：

{}

()()

1

(,)()exp()

j j

n i i n j

s q t e q i q R q t

αα

ω

⎡⎤

=⋅-

⎣⎦

，（2.4-3）其中

()()

j

i

e q

α

满足正交归一关系：

*()()

()()

j j

i i jj

i

e q e q

αα

α

δ

'

'

=

∑ 。（2.4-4）

这相当于正则运动模式的标准化条件：

12()*12()

[(,)][(,)]

j j

n i n i jj

n i

M s q t M s q t

αααα

α

δ

'

'

=

∑ 。（2.4-5）

它描述的是晶格原子振动的一种基本模式，是以波矢为q

和频率为()

j

q

ω 的波的形式传播的格波。

格波的频率与波矢有一定的关系()

j

q

ω （后面常简记为jq

ω ），称为色散关系。每个格波可由,j q 标记。这种由,j q

确定的格波分为3υ支（由j标记），每支都有N个不同波矢q 的格波，共有3Nυ种格波。这3Nυ种格波就是晶体中原子振动的正则运动模式。

一般的晶格振动可以表示为这些正则运动模式（或格波）的线性叠加

这些正则模还可以分为不同类型。按照长波极限的振动特征，

3υ支格波分成 3支声学波（acoustic ）和

33υ-支光学波（optical ）。

前者是晶格振动中整个原胞的所有核或原子实同位相一起振动，后者是原胞内原子实的相对振动。按照振动方向是与波矢方向平行还是垂直，格波又分为横波

（transverse ）和纵波（longitudinal ）。上述不同类型的正则模（格

波），常用TA,TO,LA,LO 来标记，其中的字母是相关英文单词的第一个字母。

局域振动模

当杂质原子替代了基质原子，上述理想晶体的振动模式受到了扰动而有所变化。不过可以想到，杂质浓度很低时，对大多数振动模式的扰动是很小的。不过这时会出现个别的局域模，在这样的模式中，离杂质原子的距离越大，那里的原子振动越弱。这种模式的振动频率也不在原先的连续谱带内。由于这种模式的局域特性，它往往与杂质的局域电子态有较强的相互作用。

2.4.2 晶格振动的量子化

原子振动（3N υ个位移()n i s t α）的一般情形，可

以用（ 2.4-3）式那样的基本格波的线性叠加表示

：

(

)

(()()),()()exp([()])()s j j i q t i q t j j j n n q j

q e q e t Q Q e q i q R ααωω-+-=

+⋅

（()j Q q ±

为复振幅）

考虑归一化和实数化

()1()(,)()exp()

j n i j i n jq

s t Q q t e q iq R αα=

⋅∑

（2.4-6）

因为位移坐标()n i s t α是实数，它要求()*()()()j j i i e q e q αα-= 和*(,)(,)j j Q q t Q q t -= 。

→

(

))()

()

()()(,)j j i q t i q t j j j q Q e e t Q Q q q ωω--+*++-=