高中数学例谈导数法求解中点弦问题
浅谈圆锥曲线中点弦问题
浅谈圆锥曲线中点弦问题作者：郑美华来源：《教育教学论坛》 2014年第52期郑美华（福建省福安市高级中学，福建福安355000）摘要：本文试就中学圆锥曲线中最常见的“中点弦”问题给出几种系统的解法，主要有待定系数法、点差法、“公式法”、求导法等。
方法各有千秋，没有绝对的好方法，应用因题而异，因人而异。
关键词：圆锥曲线；中点弦；待定系数法；点差法；公式法；求导法中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0193-02有解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。
这类问题通常包括以下三个类型：（1 ）求弦中点所在直线的方程问题。
（2）求弦中点的坐标问题。
（3）求弦中点的轨迹方程问题。
“中点弦”问题是解析几何中圆锥曲线部分很典型、很重要的一类问题，也是历年高考数学最常考的问题之一，在高考题中经常以填空题、选择题（大多以解答题）的形式出现，属于中档难题型，也因为计算量较大，学生在这类题目中花费的时间相对较多，但得分率却不高，而做好这题对后面题目的发挥也起着至关重要的心理作用，而往往这道题的解答完整与否是优秀与及格的一个“分水岭”，解决这类问题的方法很多，但往往不是计算量大就是列式烦琐，但又没有千篇一律的最佳解题方法，应该因题而异，因人而异，本文试就其解法给出系统性的结论，归纳起来主要有以下几种：①待定系数法。
②点差法。
③“公式法”（实际上是“点差法”的变形和延伸）。
④求导法。
下面我们通过具体例子来说明。
点评：解法1是解决“中点弦”问题中最常规的方法之一，它的一般步骤是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，这种方法易忽略对判别式的考察，以及对中点位置的判断，当中点在圆锥曲线内部时则被之平分的弦一般存在，但若此点在圆锥曲线外，则被之平分的弦可能就不存在。
这种解法的优点是进入容易，解题顺理成章，缺点是计算量相对较大，此种方法要特别注意的是要事先考虑斜率不存在的情形。
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。
导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用
导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用作者：谈玉楼来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第08期对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面，要求学生能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将实际问题转化成数学问题，以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题。
而三角函数的应用题考查也是高考命题的热点之一。
由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法，在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。
以下通过几个例子来谈一谈。
例1. (2008江苏盐城三模)如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为 ( ).（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于函数；（Ⅱ）求当多大时，水槽的最大流量最大.解析：（1）由题意其中。
（2）令又因为，而在上递减，当 =60时水槽的流量最大。
点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题的时候要注意这一方法的应用。
随着高考命题改革的不断深入，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。
从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不断提高解题能力。
类题.1.（苏教版必修4 第十题改编）如图,矩形纸片的边 24, 25,点、分别在边与上.现将纸片的右下角沿翻折,使得顶点翻折后的新位置恰好落在边上.设 , , 关于的函数为 ,试求:(1)函数的解析式；(2)函数的定义域； (3) 的最小值.解：(1)设 ,则 .由于 , ,则 ,即 .而 , ,所以 ,解得.故 .(2)因为 ,故当点E与点A重合时,=1.当点E向右运动时,BE长度变小,为保持点B1在边AD上,则点F要向上运动,从而BA的长度变大,则就变小,当点F与点C重合时,取得最小值.又当点F与点C重合时,有 ,即 ,解之得或 (舍). 所以 ,又是锐角,所以 .综上,函数的定义域为 .(3)记 ,因为 ,所以函数上单调递减,则当时, 取得最大值为 .从而的最小值为 .例2. (2008江苏高考17)．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知 km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。
解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径
丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题.中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理.下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径.一、利用韦达定理若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b 2a，x 1x 2=c a ，这个定理即是韦达定理.运用韦达定理求解圆锥曲线中点弦问题，需先将圆锥曲线方程与弦所在的直线的方程联立，通过消元，构造一元二次方程；再利用韦达定理，建立关于弦端点的坐标的关系式，最后结合中点坐标公式进行求解.例1.过点A (2,1)的直线与椭圆x 216+y29=1相交于P ,Q 两点，若点A 恰是线段PQ 的中点，求直线PQ 的方程.解：设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y -1=k (x -2)，将其与椭圆的方程x 216+y 29=1联立，并消去y 得，(16k 2+9)x 2+(-64k 2+32k )x +(64k 2-64k -128)=0，由韦达定理得x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9.又A (2,1)，所以x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9=4，可得k =-98，所以直线的方程为y -1=-98(x -2)，即9x +8y -26=0.当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键.二、采用点差法点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解.例2.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P (1,1)的直线l交椭圆C 交于A ,B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程.解：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将其分别代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得ìíîïïïïx 124+y 123=1,x 224+y 223=1,将两式相减可得3()x 1-x 2（x 1+x 2）+4()y 1-y 2（y 1+y 2）=0，即3x +4y ∙y 1-y 2x 1-x 2=0.因为AB 所在直线的斜率与MP 的斜率相等，所以3x +4y ∙y -1x -1=0，化简得3x ()x -1+4y ()y -1=0，即为点M 的轨迹方程.运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量.但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解.三、运用导数法借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解.例3.过椭圆C ：x 216+y 24=1内一点M （2,1）作直线l ，交椭圆于A ,B 两点，使M 点恰好是弦AB 的中点，求该直线的方程.解：对x 216+y 24求导，得2x 16+2y 4y ′，把M （2,1）代入2x 16+2y 4y ′=0，得y ′=-12，所以直线AB 的方程为y =-12x +2.本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题.总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）45。
中点弦_精品文档
中点弦介绍中点弦是导入数学中用于数值计算的一种方法。
该方法可以用来计算函数在给定区间上的数值近似解。
中点弦方法基于割线法的思想，通过在函数上选择两个点，构造出一条经过这两个点的割线，并求取该割线与横轴的交点的纵坐标，作为函数在该区间上的近似解。
算法步骤中点弦方法的算法步骤如下：1.选择一个初始区间[a, b]，确保函数在该区间上有一个单根（一个连续且单调递增/递减的区间）。
2.选择初始点x0和x1作为割线的两个点，计算相应的函数值f(x0)和f(x1)。
3.通过线性插值的方法，在割线上选择一个新的点x2，使得x2满足以下条件：–x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))4.通过计算函数在点x2处的函数值f(x2)，判断是否符合终止准则。
如果满足终止准则，将x2作为函数在该区间上的近似解。
否则，继续进行下一步。
5.根据新的割线位置，更新x0和x1的值，并重复步骤3-5，直至满足终止准则为止。
终止准则中点弦方法的终止准则通常有以下两种选择：1.当函数在割线上的两个点之间的距离小于给定的阈值时，认为已找到了函数的近似解。
2.当函数在割线上的某一点的函数值小于给定的阈值时，认为该点即为函数的近似解。
算法特点中点弦方法具有以下特点：•相比于二分法，中点弦方法对函数的导数变化不敏感，因此适用于计算非线性函数的数值解。
•中点弦方法具有较快的收敛速度，尤其适用于具有分段线性特点的函数。
•由于中点弦方法采用割线插值的方式，每次迭代都可以接近函数的近似解，因此可以在较少的迭代次数下达到较高的精度。
示例下面通过一个具体的示例来说明中点弦方法的使用。
假设我们要求解函数f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 3]上的一个近似解。
首先，选择初始点x0 = 1和x1 = 3。
计算函数在这两个点上的函数值：f(x0) = (1)^3 - 2(1) - 5 = -6f(x1) = (3)^3 - 2(3) - 5 = 14根据割线公式，我们可以计算出新的割线点x2：x2 = x1 - (f(x1)(x1-x0))/(f(x1)-f(x0)) = 3 - (14(3-1))/(14-(-6)) = 3 - (28/20) = 2.6 接着，我们计算函数在x2处的函数值：f(x2) = (2.6)^3 - 2(2.6) - 5 = -0.664由于终止准则并没有满足，我们继续迭代。
高中数学：中点弦问题
⾼中数学：中点弦问题
⼀、⽤点差法求斜率及常⽤公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常⽤点差法求斜率，关于点差法求斜率的⽅法，证明过程如下：
这是⼀个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，
因为⽅法过程简单但是繁琐，在⼩题⾥⾯可以直接利⽤结论来求
出相关的斜率，常⽤结论如下：
⼆、利⽤导数法求解中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中⼜有两个量，能不能减少未知量的个数，利⽤中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：
从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，⽽过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式⼦相减得到公共弦，这跟两个圆⽅程相减得到相交弦⽅程⼀样。
那么如果点A的位置不在椭圆内⽽在椭圆上的话，从上⾯可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。
所以上⾯的结论可以直接⽤来写出椭圆的切线⽅程，当然先⽤导数求得斜率，再⽤点斜式写出切线⽅程也可以，只不过没有上⾯的结论简洁直接，但是这跟⽤导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：
很多学⽣问点A⼜不在椭圆上，为什么求导可以直接代⼊点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是⼀定在把椭圆按⽐例缩⼩的椭圆上，此时对缩⼩之后的椭圆进⾏求导可以发现不改变原椭圆⽅程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆⽅程进⾏求导，代⼊点求得过点A的直线的斜率。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
解析几何系列小专题2- 中点弦【解析版】
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长为
2，倾斜角为
的直线 l 与椭圆
4
C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，且点 M 与坐标原点 O 连线的斜率为 1 ，求 2
椭圆 C 的标准方程；
（3）已知椭圆 C ： x2 y2 1 上的两点.
2
①过
P1，1 2
的直线
l
与椭圆的弦被
P
平分，求直线
=
1；（2）设
M(x1,y1)N(x2,y2)，根据直线与圆锥曲线
的位置关系可得x1
+
x2
=−
3m，可得
2
M,N
的中点坐标
Q(
−
3m 4
,
m 4
)，又|AM|
=
|AN|知
AQ
⊥
MN，
因此kAQ =− 1= m−4+34m1，解得 m = 2，经检验Δ = 0 不合题意，故不存在．
试题解析：
（1）因为焦点在
请说明存在实数 k ，使得以 F1、F2 为直径的圆经过 N 点，（不要求求出实数 k ）．
【答案】（1）
x2 4
y2 3
1 （2）存在实数 k
，使得以 F1F2 为直径的圆过
N
点
【解析】
试题分析：（1）由椭圆经过点 (0, 3) ，离心率为 1 ，列出方程组，可得 a, c, b 的值，则椭 2
x2 a2
y2 b2
1a＞b＞0 的焦点和上顶点分
别为 F1、F2、B，我们称 F1BF2 为椭圆 C 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是
相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相
【高考数学二轮复习大题讲义】第25讲 弦中点结论与端点弦结论-解析版
第25讲 弦中点结论与端点弦结论弦中点结论所谓弦中点问题就是直线和椭圆相交的弦的中点问题,我们在解决这一类问题的时候,常用的方法是点差法,这是需要掌握的.但进一步地推导,我们可以得出一个关于弦中点的二级结论,即22(AB OMb k k M a⋅=-是AB 的中点),我们在解小题时可以直接用,而在解大题时,则需要先证明了才能用,下面进行一个具体的推导：推导:以椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>为例,设直线y kx m =+与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点,M 是AB 的中点,则2211222222221. 1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩用平方差公式进行分解,则可得到两个量之间的联系,()()2222121222110x x y y a b -+-=()()()1212122211x x x x y y a b ⇒-++-⋅()120y y += ()()()12121222112x x x x y y a b +⇒-+-⋅()1202y y +=()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+⇒=--+. 直线AB 的斜率1212,AB y y k AB x x -=-的中点的坐标为1212,,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭212212.OMAB OM y y b k k k x x a+∴=∴⋅=-+ 对于双曲线来说,也是类似的推导方式,可得22AB CM b k k a⋅=.用弦中点结论求离心率【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B 两点,且AB 的中点为点11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭,则椭圆的离心率为( )B.12C.14【解析】(1)一般方法:设点()11,A x y ,点()22,B x y ,又因为AB 的中点为点11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭,则1212,x x y +=+21y =.∵,A B 在椭圆上,∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=.两式相减得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+. 1212,ABFP y y bk k x x c -===--12121,2OM y y k x x +==+∴222b b c a=. ∴22a bc =,平方可得()42224a a c c =-,∴221,22c c e a a ===,故选A.(2)弦中点结论法: ∵1,2AB BF OM b k k K c ==-=.带入弦中点结论22AB OM b k k a ⋅=-⇒c e a ==【例2】已知椭圆的方程为22221(x y a a b +=>0b >),斜率为13-的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且线段AB 的中点为点(1,2)M ,则该椭圆的离心率为( )A.13D.12【解析】(1)一般方法设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式作差得()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=,又121213AB y y k x x -==--,线段AB 的中点为(1,2)M ,12122,4x x y y ∴+=+= ()()121222240,x x y y a b --∴+=即()21221222 . 3y y b a x x -=-=-()21221222. 3y y b ax x -∴=-=- ∴该椭圆的离心率为c e a ==故选C.(2)弦中点结论法∵1,23AB M k k α=-=,带入弦中点结论22AB OM bk k a⋅=-⇒2223b c e a a =⇒==用弦中点结论求方程【例1】直线l 与曲线22:143x y Γ+=交于,A B 两点,且线段AB 的中点为(1,1)M ,求直线l 的方程.【解析】点差法设点()11,A x y ,点()22,B x y .∵,A B 是Γ上的点，联立2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,作差得()()()(121212134x x x x y y y -++-+)20y =, 而线段AB 的中点为(1,1)M ,∴12122x x y y +=+=.从而直线AB 斜率212134AB y y k x x -==--. 直线l 的方程为31(1)4y x -=--,即3470x y +-=.用弦中点结论法验证答案.∵1aM k =,带入弦中点结论34AB QM AB k k k ⋅=-⇒34=-.直线l 的方程为31(1)4y x -=--,即3470x y +-=.【例2】已知椭圆22184x y +=,点,A B 是椭圆C 上的两个点,点(2,1)P 是线段AB 的中点,求||AB .【解析】法一:方程联立法当直线AB 斜率不存在时,线段AB 的中点在x 轴上,不符合题意. 故可设直线AB 的方程为(2)1y k x =-+,并设()()1122,,,A x y B x y .联立方程2228(12)x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩,消去y 得()()222214(12)24430k x k k x k k ++-+--=,()212122224434(21),2121k k k k x x x x k k ---+==++.由点(2,1)P 是线段AB 的中点知,1222x x +=,∴24(21)421k k k -=+,解得1k =-. ∴12103x x =.∴||AB=法二:点差法当直线AB 斜率不存在时,线段AB 的中点在x 轴上,不符合题意. 设点()11,A x y ,点()2212,,B x y x x ≠.将其代入椭圆方程得22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，()()()()12121212084x x x x y y y y -+-+∴+= 由点(2,1)P 是线段AB 的中点知,12122,122x x y y ++==,直线AB 斜率为1212y y k x x -==-()()1212418x x y y +-=-+, 直线AB 方程为3y x =-+.联立2228x y +=3y x =-+,消去y 得2312x x -+100=,1212104,. 3x x x x ∴+==||AB ∴= 用弦中点结论法验证答案. ∵12OM k =,带入弦中点结论12AB OM k k ⋅=-⇒1AB k =-. ∴直线AB 方程为3y x =-+,和椭圆方程联立即可求出弦长||AB .端点弦结论我们把椭圆上的点到端点的弦，称之为端点弦，我们在解题的时候，经常会碰到圆锥曲线上的点到两个端点斜率乘积的问题，这类问题可归结为端点弦问题．如，椭圆2222x y m n+1=上任一点到两顶点(同一轴上的)连线的斜率乘积为定值：22n m-． 一、椭圆的端点弦结论结论一：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴左、右两顶点分别为( 0) ( 0)A a B a -，，，．椭圆上不同于点 A B ，的任一动点()00 P x y ，，则22PA PB b k k a⋅=-． 证明：∵点()00 P x y ，在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上， ∴220221x y ab+=，则()222202b a x y a -=．∴200022000PA PBy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+--()222222220b a x b a x a a-=--(定值)． 同理可证椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴两顶点分别为(0 ) (0 )A b B b -，，，．椭圆上不同于 A B ，的一动点()2002 PA PB b P x y k k a⋅=-，，． 同理可证椭圆：22221(0)x y a b b a+=>>长轴两顶点为(0 ) (0 )A a B a -，，，．椭圆上不同于 A B ，的任一动点，()00 PA PB P x y k k ⋅=，，22a b-．同理可证椭圆：22221(0)x y a b b a +=>>短轴两顶点为( 0) ( 0)A b B b -，，，．椭圆上不同于 A B ，的任一动点()00 P x y ，，则PA PB k k ⋅为定值22a b-． 二、双曲线的端点弦结论结论二：双曲线22221x y a b-=两顶点分别为( 0) ( 0)A a B a -，，，，双曲线上不同于A B ，上一动点()00 P x y ，，则22PA PB b k k a⋅=． 证明：∵点()00 P x y ，在双曲线2222x y a b -=1上，得2200221x y a b-=，则()222202b xa y a -=．∴200022000PA PBy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+--()2220222220b x a b a x a a-=-(定值)． 同理可证双曲线：22221y x a b-=上一动，点()00 P x y ，，两顶点分别为(0 )A a -，，(0 )B a ，．22PA PBa k k b⋅=． 我们把思路反过来，如果一个动点到两个定点的连线的斜率乘积为定值，那么这个动点的轨迹方程是什么呢?很显然是一个椭圆或者双曲线，这就是圆锥曲线的第三定义，总结起来为：平面直角坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于0和1-的常数的轨迹为椭圆(不含两定点)或者是双曲线(不含两定点)．当斜率乘积为负分数时为椭圆(不含两定点)，当斜率积为正数时为双曲线(不含两定点)．特殊地，当斜率乘积为1时是等轴双曲线． 第三定义求轨迹方程问题【例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2 0) ( 2 0)B C -，，，，设直线 AB AC，的斜率分别为12 k k ，，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ，求E 的方程． 【解析】设点( )A x y ，，则12y k x =-，22y k x =+．121. 222y y k k x x ∴=⋅=--+整理得22142x y +=． ∵斜率存在，∴2x ≠±，∴E 的方程：221 (0)42x y y +=≠，．端点弦结论应用【例1】若12 A A ，分别是椭圆22:124x y C +=1长轴的左、右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为k ，且11 23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，求直线2A Q 斜率的取值范围．【解析】由题意得点1( 0)A -，，点2 0)A ，，设( )Q x y ，，则2 A Q k k =，∴2A Qk k ⋅=2212y x -． ∵Q 在椭圆上，∴2221124x y y +=⇒=()21123x -，∴2221312A Q y k k x ⋅==--，∴213A Q k k =-． ∵11 23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∴12 133k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，即2 13z A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． 用端点弦结论验证答案： 由端点弦结论得22213A Qb k k a ⋅=-=-，∴213A Q k k =-．∵11 23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∴12 133k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，即2213A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． 【例2】如下图所示，若 C D ，分别是椭圆22142x y +=长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥．连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线 DP MQ ，的交点．若存在，求出点Q 的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】由㭪圆方程得( 2 0) (2 0)C D -，，，，MD CD ⊥可设()()0112 M y P x y ，，，． 0002(2)4CM y yk -∴==--，∴直线CM 方程为：0(2)4y y x =+．联立22024(2)4x y y y x ⎧+=⎪⇒⎨=+⎪⎩222200011140822y x y x y ⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭． 由韦达定理可知2012014218C y x x y -=⇒+()20120288y x y -=-+． 代入直线CM 可得012088y y y =+，()2002200288 88y y P y y ⎛⎫- ⎪∴- ⎪++⎝⎭，． ()22000022220000288482 8888y y y y DP y y y y ⎛⎫-⎛⎫ ⎪∴=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，，． 设( 0)Q m ，，∴()02 MQ m y =--，． 若以MP 为直径的圆恒过直线DP 与MQ 的交点，则0DP MQ ⋅=，20022048(2)()088y y m y y y ∴-⋅-+-⋅=++，∴2040y m =恒成立，0m =时，存在定点(0 0)Q ，．用端点弦结论验证答案：由椭圆方程可知( 2 0) (2 0)C D -，，，，设()02 ( 0)M y Q m ，，，， 则000000 2(2)422CM MQ y y y yk k m m--====----，．若以MP 为直径的圆恒过直线DP 与MQ的交点，则1MQ PD k k ⋅=-．可得02PD m k y -=． 由端点弦结论：PC PD MC PDk k k k ⋅=⋅=2020221442y m m b y a--⋅==-=-，得0m =．。
高中数学中点弦问题的求解策略-苏教版选修2-1
中点弦问题的求解策略中点弦问题常见的题型有：1．求中点弦所在的直线方程；2．求弦的中点的轨迹方程；3．求弦长为定值的弦中点的坐标．常用的求解策略是：1．两式相减用中点公式求得斜率；2．联列方程组用韦达定理．例1．已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的坐标为 ．解析：设()()1122,,,A x y B x y ，由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2480y y --=，从而1212124,48y y x x y y +=+=++=，因此，线段AB 的中点的坐标为()4,2．例2．椭圆223412x y +=中，一组平行弦中点的轨迹是20x y +=（在椭圆内的一段），则这组平行弦的斜率为 ．解析：设()()1122,,,A x y B x y 是这组平行弦中的一条弦与椭圆的交点，从而()12122x x y y +=-+，把A ，B 的坐标代入椭圆方程并相减得()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=，即()()12123342x x k y y +=-=+．例3．直线l 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，线段12PP 的中点为P ，设直线l 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 的值等于（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 解析：D ．设()()111222,,,P x y P x y ，从而1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此12212y y k x x +=+，把12,P P 代入椭圆方程并相减得()121122x x k y y +=-+，故1212k k =-．例4．直线2y k x =-交抛物线28y x =于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则||AB = ．解析：设()()1122,,,A x y B x y ，由228y kx y x =-⎧⎨=⎩得28160ky y --=，又由64640k ∆=+>知1k >-．又128y y k +=，从而121844x x k k ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭得2k =． 例5．已知椭圆221164x y +=，求以点P ()2,1-为中点的弦所在的直线方程．解析：设所求直线与椭圆相交于()()1122,,,A x y B x y ，把A ，B 的坐标代入椭圆方程并相减得12121212()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，又因为点P 为弦AB 的中点，则12124,2x x y y +=+=-，从而得到12k =，∴所求直线方程为240x y --=．例6．已知椭圆C 的焦点分别为()1F -和()2F ，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标．解析：设()()1122,,,A x y B x y ，并根据题意，得椭圆的方程为2299x y +=，把直线2y x =+方程代入椭圆方程并整理得21036270x x ++=，从而121218182,4555x x y y +=-+=-+=．因此线段AB 的中点坐标为91,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．都是“定义域”惹的祸函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．一、求函数解析式时例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 . 错解：令1+=x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=x t 得1≥t ，1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ）这样才能保证转化的等价性.正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=x t 得1≥t ，()21-=∴t x 代入原解析式得1)(2-=t t f （1≥t ），即1)(2-=x x f （1≥x ）． 二、求函数最值（或值域）时例2．若,62322x y x =+求22y x +的最大值．错解：由已知有 x x y 32322+-= ①，代入22y x +得 22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，∴当3=x 时，22y x +的最大值为29．剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件x y x 62322=+中x 的限制条件．正解：由032322≥+-=x x y 得20≤≤x ，∴22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，[]2,0∈x ，因函数图象的对称轴为3=x ，∴当[]2,0∈x 是函数是增函数，故当当2=x 时，22y x +的最大值为4．例3．已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ）A ．33B ．22C ．13D ．6错解：()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在()19x ≤≤上是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33．正解：由已知所求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域是21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩得13x ≤≤， ()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在13x ≤≤是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13．例4．已知()()4232≤≤=-x x f x ，求()[]()2121x f x fy --+=的最大值和最小值．错解：由()()4232≤≤=-x x f x 得91≤≤y ．∴()()91log 231≤≤+=-x x x f ．∴()[]()()6log 6log log 2log 232323232121++=+++=+=--x x x x x f x f y()33log 23-+=x ． ∵91≤≤x ，∴2log 03≤≤x ．∴22max =y ，6min =y ．剖析：∵()x f 1-中91≤≤x ，则()21x f -中912≤≤x ，即31≤≤x ，∴本题的定义域应为[]3,1．∴1log 03≤≤x ．正解：（前面同上）()33log 23-+=x y ，由31≤≤x 得1log 03≤≤x ．∴13max =y ，6min =y ．例5．求函数3254-+-=x x y 的值域． 错解：令32-=x t ，则322+=t x ，∴()1253222++=+-+=t t t t y87874122≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t ．故所求函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,87．剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122++=t t y 在[)+∞,0上是增函数，随着t 增大而无穷增大．所以当0=t 时，1min =y ．故所求函数的值域是[)+∞,1．三、求反函数时例6．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为[]6,2∈y ,又6)2(2+--=x y ，即 y x -=-6)2(2∴y x -±=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤-±=x x y ．剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．正解：由242(02)y x x x =-++≤≤的值域为[]6,2∈y , 因y x -=-6)2(2，又02≤-x ∴y x --=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤--=x x y ．四、求函数单调区间时例7．求函数)4lg()(2x x f -=的单调递增区间.错解：令24x t -=，则t y lg =，它是增函数. 24x t -= 在]0,(-∞上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数)4lg()(2x x f -=在]0,(-∞上为增函数，即原函数的单调增区间是]0,(-∞.剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．正解：由042>-x ，得)(x f 的定义域为)2,2(-.24x t -= 在]0,2(-上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数)4lg()(2x x f -=的单调增区间是]0,2(-.例8．求()23log 27.0+-=x x y 的单调区间．错解：令232+-=x x t ，t y 7.0log =，⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈23,x 时，232+-=x x t 为减函数，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 时，232+-=x x t 为增函数，又t y 7.0log =为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,，减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23．剖析：在定义域内取1=x ，y 值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内．由0232>+-x x ，得1<x 或2>x ，故增区间为()1,∞-，减区间为()+∞,2．例9．指出函数22ln y x x =+的单调增区间． 错解：∵22ln y x x =+，∴22y x x'=+，∴当0y '>时，1x ≥或1x ≤-，∴函数22l n y x x=+的单调增区间为(][),1,1,-∞-+∞． 剖析：此题错在没有考虑函数的定义域()0,+∞，故本题的答案为[)1,+∞． 五、判断函数的奇偶性时 例10．判断()()xxx x f +-+=111的奇偶性． 错解：∵()()()()()()x f xxx xx x xxx x f =+-+=-+-=-+-=-1111111112， ∴()x f 为偶函数．剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为(]1,1-，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数．。
中点弦
“中点弦”问题的一种简捷解法湖南省南县一中 陈敬波(413200)所谓“中点弦”问题是关于圆锥曲线上两点的中点(已知或等求)一类问题的统称, 在解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型,很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量比较大,本人试图通过一些实例,介绍一种简捷的解法,供诸位读者参考. 例１．椭圆221164xy+=的弦AB 被点Ｍ(2,1)平分，求弦AB 所在的直线方程.分析:本题的关键是求出弦AB 所在直线的斜率.解:方法Ⅰ.设直线的斜率为k, (显然k 存在且不等于0),则直线方程与椭圆方程联列有:()22121164y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去变量y,得方程()()()22148121610k x k k x k k ++-+-=…(※)(※)中的两根12,x x 分别是直线上两点A,B 的横坐标.由已知条件有:1228(12)122142k k x x k k-+=-=⨯⇒=-+弦AB 所在的直线方程为:240.x y +-=方法Ⅱ.设A,B 两点的坐标为()()1122,,,.A x y B x y 代入椭圆方程2244x y +=中得221122224444x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+= 又12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,()12121212142AB y y x x k x x y y -+==-=--+弦AB 所在的直线方程为:240.x y +-=注:以上两种解法中,方法Ⅰ是解决“中点弦”问题的常规解法,思路清晰,但计算量大,方法Ⅱ则采用“设而不求”的方法，面军是解决“中点弦”问题的典型解法，计算量较方法Ⅰ要小，但笔者发现，有一种更简捷的方法，介绍给大家.如右图,点M 是线段AB 的中点,()00,M x y 设()()0000,,,A x m y n B x m y n ++--,这时有两个非常简单有趣的结论:()()1;2||A Bn k A B m==解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快捷、准确地解决“中点弦”的有关问题.解:方法Ⅲ.设()()2,1,2,1A m n B m n ++--,代入曲线中()()()()2222211164211164m n m n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩,则两式相减840164m n +=12A B n k m ==-弦AB 所在的直线方程为:240.x y +-= 下面再举几个例子,以期读者熟悉这种解法例2.过定点A(q ,0)的动直线 交抛物线()220y px p =>于M,N 两点,求弦MN 的中点P 的轨迹方程.解:设动点()()(),,,,,P x y M x m y n N x m y n ++-- 把M,N 两点代入抛物线()220y px p =>方程中()()()()2222y n p x m y n p x m ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩两式相减得44M N n p ny pm k m y =⇒==又()22M NAP p y k k y p x q yx q=⇒=⇒=--.例3.直线 与椭圆24y x =交于A,B 两点, 且|AB|=2,设线段AB 的中点为M,当 运动时,求中点的轨迹方程.解:设点()()(),,,,,M x y A x m y n B x m y n ++--,把点A,B 坐标代入椭圆方程中,得()()2244y n x m y n x m ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩两式相减得:()28041n mx n mx+=⇒=-两式相加得()2222288442y x m y x m =+⇒=+由(1)、（2）得2222211,1644m y x n y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭注意到||2AB === 所求的轨迹方程为()()224116 4.y x x -+= 例4.双曲线22221x y ab-=的离心率为2e =,A,B 是双曲线上关于x,y 轴均不对称的两点.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P(1,0),设AB 的中点为()00,.C x y 求0x 的值.解:由题意,可设()()0000,,,A x m y n B x m y n ++--,把A 、B 两点坐标代入双曲线方程中,得:()()()()2222220022222200b x m a y n a b b x m a y n a b ⎧+-+=⎪⎨---=⎪⎩两式相减得:2220002044,AB b x n b x m a y n k m a y =⇒==∵ AB ⊥CP 202.C P a y k b x ∴=-又001C Py k x =-,200201a y yb x x ∴-=-22022222111.4aa x a bcec a =====+⎛⎫⎪⎝⎭。
高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。
2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。
3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。
二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。
另外，法3其实是法2的结论的变形。
2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。
但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。
以上。
浅谈中点弦问题的多种解法
浅谈中点弦问题的多种解法
张雄
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)024
【摘要】一题多解的方式能让学生透彻地理解解题思路,从而更好地构建知识网络.本文主要讨论中点弦问题的多种思维,并对此提出相关的教学策略,以飨读者.1中点弦问题的2种解法圆锥曲线的中点弦问题的求解主要有2种方法:点差法和根与系数的关系法.点差法就是设直线与圆锥曲线相交的2点为(x1,y1),(x2,y2),将2点分别代入已知的圆锥曲线方程.将2个方程联立消去常数项,对式子进行因式分解就可得到直线斜率与中点坐标的关系.根与系数的关系法是将圆锥曲线与直线方程联立,消去x或y,得到含y或x的一元二次方程,根据根与系数的关系得出中点坐标,进而解决中点弦问题.
【总页数】2页(P3-4)
【作者】张雄
【作者单位】浙江省永康市职业技术学校
【正文语种】中文
【相关文献】
1.例谈双曲线的中点弦问题的解法 [J], 贾周德
2.圆锥曲线中点弦问题解法探究 [J], 邹艳
3.一道“中点弦”问题解法的背景研究 [J], 黄晓琳
4.一道“中点弦”问题解法的背景研究 [J], 黄晓琳
5.“中点弦”问题的解法探索 [J], 纪伟
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高中数学例谈导数法求解中点弦问题
例谈导数法求解中点弦问题导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。
利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，正是其中一个方面。
一、方法介绍1. 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：是x的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。
如对圆，两边对x求导，则有，所以在切点（m，n）处的切线斜率－。
从而求出切线方程是。
类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。
2. 利用求导法求解中点弦问题如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如图1）。
此时缩小的曲线方程如，两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。
因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。
图1二、应用举例1. 求中点弦方程例1. 已知双曲线方程，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
解：对两边求导，得（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为即。
但与双曲线方程联立消去y得，无实根。
因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。
注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。
2. 证明与中点弦有关的不等式例2. 已知椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，求证：。
证明：设AB的中点是P（m，n），则中点P在椭圆内，所以①对椭圆两边求导有，得故中点弦AB的斜率，所以线段AB的垂直平分线斜率满足：，得。
代入①式得。
3. 求与中点弦有关的轨迹问题例3. 已知定点A（0，2），椭圆，过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。
高中数学中点弦课件 人教版
三、求平行弦中点轨迹
y
四、求过定点弦中点轨迹
x2 2 y 1 例4.已知椭圆 4
，定点M(1,0), 求过点 M 的动弦 AB 中点P的轨迹方 程.
解:设P(x,y),则直线PM的斜率为
1 x y-0 k (- ) 4 y x -1
整理：x2-x+4y2=0
A P O M B
思考题：
x 2 y2 已知椭圆 4 3 1 ，试确定m的取值范围，
使得对于直线y=4x+m,椭圆上有不同的两 点关于该直线对称。
作业： x 2 y2 1.已知椭圆 16 4 1 ， (1)若它的一条弦AB被M(1,1)平分， 求AB所在直线的方程. (2)求过点M(1,1)的弦中点轨迹方程.
x
2x2-4x+3=0,
判别式 ∆ ＝－8<0,
∴ 直线 m 与双曲线相离，故满足题设条件的直线m不存 在。
二、求弦中点坐标
x y 例2.已知直线x-3y+1=0与椭圆 1 相交 9 4
2 2
于A、B，求弦AB中点的坐标。 解：设中点M(x0,y0) 则
4 x0 1 k (- ) 9 y0 3
x1 x 2 9Βιβλιοθήκη 三、求平行弦中点轨迹y
x1 x 2 4 x - b 2 9 b y 2x b 9 消去b, 得：x 4y 0 (在已知椭圆内）
M O x
x2 例3.已知椭圆 y 2 1,求其斜率为2的平行弦中点的轨迹方 2 程.
解法二 : 设弦中点M(x, y)，则由点差法，得 1 x k (- ) 2 2 y x 4y 0(在已知椭圆内）
即 4x0+3y0=0
高三解析几何 妙解中点弦问题
妙解“中点弦”问题解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型、很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量都比较大.本文试图通过一些例题,给出一种巧妙的解法.如右图所示,点M 是线段AB 的中点,我们可以把有关点的坐标设为),(00n y m x A ++,),,(00y x M ),(00n y m x B --,这时有下面两个非常简单有趣的结论： ⑴)0(≠=m mn k AB ； ⑵222n m AB +=.解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快速、准确地解决“中点弦”的有关问题.例 1 椭圆141622=+y x 的弦AB 被点)1,2(M 平分,求弦AB 所在的直线方程.解:依题意,可设)1,2(n m A ++,)1,2(n m B --,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++.14)1(16)2(,14)1(16)2(2222n m n m两式相减,得21021044168-==⇒=+⇒=+m n k n m n m AB ,B A M故所求直线的方程为,1)2(21+--=x y 即.042=-+y x例2 椭圆方程为,4222=+y x 求以)1,1(为中点的弦AB 的弦长.解:由题意可设)1,1(n m A ++,)1,1(n m B --则有:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++4)1(2)1(4)1(2)1(2222n m n m 以上两式相减得: 084=+n m21-==∴m n k AB 即n m 2-=将其代入4)1(2)1(22=+++n m 中可求得32,6122==m n , 所以弦AB 的长为31032612222=+=+=n m AB . 例3 过定点)0,1(A 的动直线l 交抛物线)0(22>=p px y 于M ,N 两点,求弦MN 的中点P 的轨迹方程.解:根据题意设),,(),,(),,(n y m x N n y m x M y x P --++则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+)(2)()(2)(22m x p n y m x p n y 两式相减得: y p m n k pm ny B==⇒=A 44 又,1-==x y k k AB MN故有y p x y =-1,即),1(2-=x p y 这就是点P 的轨迹方程.例4 如图所示,直线l 与抛物线x y =2交于B A ,两点,且2=AB 设线段AB 的中点为M ,当直线l 运动时,求点M 的轨迹方程.解：设),,(),,(n y m x A y x M ++),(n y m x B --，则有22)()(⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+m x n y m x n y两式相减得：mx n mx n 242=⇒= ① 两式相加得：2222222m x y m x y +=⇒+= ② 由①、②得).(4,22222x y x n x y m -=-= 而1222222=+⇒=+=n m n m AB , 所以有,1)(4222=-+-x y x x y即所求的轨迹方程为.1)41)((22=+-x x y。
【高考数学复习 解析几何专题】第3讲 中心弦与中点弦-解析版
第3讲 中心弦与中点弦知识与方法圆锥曲线的中心弦、中点弦是圆锥曲线的重要内容,因其性质丰富,处理方式独特、灵活,是高考命题的重要素材.中点弦问题,常运用点差法、韦达定理来构建中点坐标与斜率之间的代数关系,在等腰三角形、平行四边形、对称问题、两个向量的加法中都隐含了中点弦问题. 1.中心弦(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积是定值22b a -.(2)双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上任一条经过原点的弦的两个端点与双曲线上任一点(除这两个端点)连线的斜率之积是定值22b a.2.中点弦(1)中点弦设直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M ,则22AB OM b k k a ⋅=-.(2)中点弦设直线l 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M ,则22AB OM b k k a⋅=.(3)设抛物线22(0)y px p =>的弦AB ,记点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 的中点(0C x ,)0y ,则0AB p k y =, 3.圆、椭圆、双曲线的切线性质如图,已知直线l 是各曲线在点M 处的切线,若将圆看作离心率0e =的特殊的椭圆,则有21l OM k k e ⋅=-.下面仅给出椭圆的中心弦、中点弦的性质推导.命题1试证椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积为定值.证明设点()00,M x y .点()()1111,,,A x y B x y --. 所以直线AB 的斜率()()010*********,AM BM y y y yk x x k x x x x x x -+=≠=≠--+, 所以22222201002222222201,1,1AM BMy y x y x y k k x x a a a a-⋅=+=+=-,所以()()2222220122122,b x a b x a y ya a --=-=-,所以,()22222210201222220101AM BMb x x y y b a k k x x x x a--⋅===---. 命题2已知直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M .试证明22AB OM b k k a⋅=-.证明设点()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,M x y ,则2222222222221122,b x a y a b b x a y a b +=+=,所以()()2222222212121212121200y y y y b x x a y y b a x x x x -+-+-=⇒+⋅=-+, 2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+.则22AB OM b k k a ⋅=-.典型例题【例1】 已知 ,A B 是椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 长轴的两个端点, ,M N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线,AM BN 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠.若椭圆则12k k +的最小值为（ ） A.1B.C.2【分析】由中心弦的性质知,222114MA MB b k k e a ⋅=-=-=-,而BN BM k k =,结合基本不等式可求得12k k +的最小值.【解析】解法1:由点M 与点N 关于x 轴对称,可知2BN BM k k k ==-.又22221114MA MBb k k e a ⋅=-=-=-=-⎝⎭,即1214k k ⋅=, 所以121221k k k k +⋅=,当且仅当12k k =时取得等号,即12k k +的最小值为1.故选A.解法2：设点()()1111,,,()M x y N x y a x a --<<,则111211,y y k k x a x a-==+-.因为椭圆的离心率为2,所以12b a ==,所以211112211221y y y b k k x aa x a x a+=+===+--.故选A. 【点睛】本题主要考查椭圆的中心弦性质,即21MA MB k k e ⋅=-.【例2】 若 D 是椭圆 22142x y += 的右顶点, 直线 ,AD PD 分别与直线 3x = 相交于 ,E F , 则EF 的最小值为（ ）【分析】 通过观察发现,AP 是椭圆的中心弦,于是思考如何用斜率k 表示点,E F 的纵坐标.【解析】 设点()00,P x y ,则点()()00,,2,0A x y D --. 由中心弦性质得2212DA DPb k k a ⋅=-=-,于是设直线DP 的斜率为k ,则直线DA 的斜率为12k-. 所以直线DP 的方程为()2y k x =-,直线DA 的方程为()122y x k=--. 令3x =,得点()13,,3,2E F k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以11222EF k k k k=+=+,当且仅当2k =±时取得等号,所以EF .【点睛】 由于AP 是椭圆的中心弦,引入直线DP 的斜率为k ,将EF 表示为k 的函数,是求解问题的自然的想法.【例3】已知椭圆221,4x y P +=是椭圆的上顶点,过点P 作斜率为()0k k ≠的直线l交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B .设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,则斜率k 的取值范围为（ ）【分析】 先考虑求出线段PB 的中垂线,然后得到点N 的纵坐标;通过“设直联曲”求出点A 的坐标,继而得到PB 的中点M 的坐标;也可运用中心弦的性质,求出PB 的方程,与直线OM 联立,得到中点M 的坐标,从而得到线段PB 的中垂线方程. 【解析】解法1:椭圆中心弦性质 依题意得2214PA PBb k k a ⋅=-=-.又()0PA k k k =≠,所以14PB k k =-,得1:14PB l y x k=-+. 设PB 中点为()00,M x y ,则OM PA k k k ==,得:OM l y kx =.由,114y kx y x k =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得022024,414.41k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩线段PB 的中垂线方程为()00:4MN l y y k x x -=-.令0x =,得221241N k y k -=+.因为点N 在椭圆内部,所以1N y <,于是2212141k k <+且0k ≠,解得,044k k -<<≠. 解法2由题意可设直线l 的方程1y kx =+, 代人椭圆方程,整理得()221480k x kx ++=,所以2814A kx k-=+,得221414A k y k -=+. 可得点222814,1414k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,则点222841,1414k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,于是2224111148414PBk k k k k k--+==-+,且PB 的中点坐标22244,1414k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 所以线段PB 的中垂线方程为2224441414k k y k x k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭.令0x =,得221214k y k =-+.由题意得1y <,所以2212114k k<+,解得44k -<<,且0k ≠,所以斜率k 的取值范围为0,44⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】从知识的层面,本题主要背景是中心弦的性质;从方法的层面,其关键是求出中点M 的坐标,进而表示出PB 的中垂线方程,通过联立直线,PB OM 的方程,求解点M 的坐标更显巧妙.【例4】已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>内有一定点()1,1P ,过点P 的两条直线12,l l 分别与椭圆T 交于点,A C 和点,B D ,且满足,AP PC BP PD λλ==.若λ变化时,直线CD 的斜率总为14-,则椭圆T 的离心率为（ ）A.2B.12C.2 D.5【分析】由,AP PC BP PD λλ==,可得弦//AB CD ,于是可依据平行弦的中点轨迹是过中心的一条线段,由中点弦性质列出方程.【解析】解法1由,AP PC BP PD λλ==,则//AB CD . 取,AB DC 的中点,E F ,根据椭圆的垂径定理 所以2222,OE ABOF CD b b k k k k a a⋅=-⋅=-.因为AB CD k k =,所以OE OF k k =,所以,,O E F 三点共线,即,,,F O P E 四点共线.于是21CD OP k k e ⋅=-,所以e =【解析】解法2取临界状态,当,AB CD 为椭圆的切线时,则椭圆在,C A 点处的切线斜率为14k =-,故2114OP k k e ⋅=-=-,所以2e =. 【点睛】椭圆中的平行弦的中点的轨迹是过原点的一条线段,故当//AB CD 时,,,E O F ≡点共线.【例5】 已知 ,A B 是椭圆 22:1164x y C += 的左、右顶点, P 是椭圆 C 上异于点 ,A B 的一点,M 是平面上一动点.当点,A B 在以MP 为直径的圆上时,则AM 的最大值是（ ）【分析】 首先研究点M 的轨迹,注意到41164PA PB k k ⋅=-=-.1,1AP MA BP MB k k k k ⋅=-⋅=-,可得4MA MBk k ⋅=-,于是得点M 的轨迹是椭圆.【解析】 由中心弦性质知41164PA PB k k ⋅=-=-. 因为1,1AP AM BP BM k k k k ⋅=-⋅=-,所以1111444PA PB MA MB AM BM k k k k k k ⋅=-⇒⋅=-⇒⋅=-. 设点()()(),,4,0,4,0M x y A B -,代人上式得444y yx x ⋅=--+.所以22644y x =-,即221616y x +=为动点M 的轨迹方程.又点()4,0A -,所以222222||(4)(4)6443880AM x y x x x x =++=++-=-++. 当44x -时，易得max ||AM ==【点睛】 对于"一动两定”的模型,要探寻定点与两动点的连线段的和差关系或斜率关系,确定动点的轨迹.【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 作直线l 与椭圆C交于A ,B 两点,P 是椭圆C 上一点.若存在l 和点P 使四边形OAPB 为平行四边形,则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）【分析】根据平行四边形OAPB ,说明是粗圆的中点弦问题.通过韦达定理或中点弦性质,构建点P 坐标所满足的方程.【解析】解法1设点()00,P x y ,则OP 的中点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由中心弦性质得22AB OMMF OM b k k k k a⋅=-=⋅,即()22222220000200202y b a y b x b cx x c x a=-⇒++=+. 所以222020a b b cx +=,所以[]20,2a x a a c =-∈-,解得12e .所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.解法2由于OAPB 为平行四边形,则OP OA OB =+.设点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,则012012,.x x x y y y =+⎧⎨=+⎩设直线:l x my c =-.由()222222222224,20,b x a y a b b m a y b mcy b x myc ⎧+=⇒+--=⎨=-⎩.所以220120022222222,b mc a cy y y x my c b m a b m a =+==-=-++.由2200221x y a b+=,所以222240b m a c +-=,所以222240a c b m -=-. 即2240c a -解得12e.所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 解法3设点()cos ,sin P a b θθ,则中点cos sin ,22a b M θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由中点弦性质得22AB OMMF OM b k k k k a⋅=-=⋅,即22sin 0sin 22cos 0cos cos 2b b b a c a a a c θθθθθ-⋅=-⇒+=+,所以1cos 122a ecθ=--⇒.所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 对于平行四边形、等腰三角形、菱形等平面图形,通常转化为中点问题.对于中点的处理方法之一是应用中点弦的性质,其二是设而不求,结合韦达定理求出中点坐标,然后利用中点“算两次”得到相应的等量关系,进而求出离心率.【例7】如图,已知椭圆2222:1(0),x y C a b O a b+=>>为坐标原点,()2,0C 为椭圆的右顶点,点,A B 在椭圆上,且四边形OACB 是正方形.(1)求椭圆的方程;(2)斜率为k 的直线l 与椭圆相交于,P Q 两点,且线段PQ 的中点M 恰在线段AB 上,求k 的取值范围.【分析】从问题目例标出发分析.由线段PQ 的中点M 在椭圆内部可以得到k 的不等关系,于是求出中点M 的坐标即可构建目标不等式,可采用韦达定理或点差法求出.【解析】 (1)因为()2,0C 为椭圆的右顶点,故2a =. 因为四边形OACB 是正方形,所以点()1,1在椭圆上,得21114b +=,即243b =.所以椭圆的方程为221443x y +=. (2)方法1设点()()()112200,,,,,P x y Q x y M x y .()222222111212222234,3034,x y x x y y x y ⎧+=⇒-+-=⎨+=⎩,即003x k y =-. 因为点M 在1x =上,所以()001,1,1x y =∈-, 所以013k y =-,即013y k =-,即1113k -<-<,解得11,,33k ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 方法2设点()()()112200,,,,,P x y Q x y M x y ,直线l 的方程为y kx m =+.()2222234,136340,x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩, ()()2222Δ36431340k m k m =-+->,即2212340k m -+>.12000223,23131x x km mx y kx m k k +==-=+=++. 因为PQ 的中点恰在线段AB 上,所以23131kmk -=+, 即202311,3313k m m y k k k+=-==-+. 由()01,1y ∈-得1113k -<-<,解得11,,33k ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】 利用弦中点在椭圆内部的条件,是构建变量k 的不等关系的常用且高效的方法.【例8】 已知点 ()()2,0,2,0A B -, 动点 (),M x y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12-.记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过坐标原点的直线交曲线C 于,P Q 两点,点P 在第一象限,PE x ⊥轴,垂足为E ,连结QE 并延长交曲线C 于点G .求PQG 面积的最大值.【分析】 注意到PE x ⊥轴,所以线段PE 分割PQG ,则12PQGG Q S PE x x =⋅-;由中心弦的性质,探寻直线,,PQ GP GQ 的斜率关系,确定三角形的形状,从而求解面积.【解析】(1)因为1222y y x x ⋅=-+-,所以曲线()22:1242x y C x +=≠±. (2)方法1设:PQ y kx =.2222,4(0),121,42P Q y kx x k x x x y k =⎧⎪⇒=>==⎨++=⎪⎩, 记点()()()00000,,,,,0P x y Q x y E x --,所以0022QE y k k x ==. 又由椭圆的中心弦性质知,12GQ GP k k ⋅=-,所以1GP k k=-.所以PQ PG ⊥.故21||tan 2PQGSPQ PQG ∠=⋅. 由两条直线的夹角公式得2tan 2kPQG k∠=+,()()()()2022812212k k PQ x k k +==++.所以()()()222221881112225PQGk k kk Sk k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭. 令12t k k=+,所以()28816192252PQGt S t t t==-++. 方法2设点()()()()00000000,,,,,0,:2y P x y Q x y E xQE y x x x --=-. 设2222,4:,121,42P Q y kx PQ y kx x x x x y k =⎧⎪=⋅⇒===⎨++=⎪⎩()()020*******,122,341,42G y y x x x x x x x x y ⎧=-⎪+⎪⇒=⎨+⎪+=⎪⎩()22000020244161211242343412PQGx x k Sy x x k ⋅+++=⋅+=+⋅++ ()()()()22228181169122k k k kk k++=++当且仅当1k =±时取得最大值. 方法3设点()()()()00000000,,,,,0,:2y P x y Q x y E x QE y x x x --=-. ()0020000222200,2221,42G y y x x x x y x x x y x y ⎧=-⎪⎪⇒=+⎨+⎪+=⎪⎩.所以3200002200442G x x y x x x y ++=+, 所以()()()330000002222000018222PQGG x y x y Sy x x x y x y +=+=++.令00y k x =,则同除以40x ,所以()()()300300222200088212212PQGy y k k x x S k k y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 所以()()()222221881112225PQGk k kk Sk k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭,所以12t k k =+,所以()28816192252PQGt St t t==-++. 【点睛】问题的核心是根据中心弦的性质,发现直线,,PQ PG QG 的斜率关系. 注若两条直线12,l l 的斜率分别为12,k k ,两条直线的夹角为θ,则()121212tan 11k k k k k k θ-=≠-+.【例9】 已知 221:(3)27F x y ++= 与 222:(3)3F x y -+=, 以 12,F F 分别为左、右焦点的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过两圆的交点.(1)求椭圆C 的方程;(2),A B 分别为椭圆C 的左、右顶点,,,M N P 是椭圆C 上非顶点的三点,若//,//OM AP ON BP ,试问OMN 的面积是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,请说明理由.【分析】 由已知条件分析可得21OM ON AP BP k k k k e ⋅=⋅=-,故考虑引入参量()OM k k k =表示点,M N 的坐标,得到OMN 面积关系式.【解析】(1)设两圆交点为Q ,则12QF QF +==,所以2a a ==又因为222a b c -=,所以23b =.故椭圆方程为221123x y +=. (2)方法1由(1)可得点()(),A B -. 设点()()()112233,,,,,M x y P x y N x y .因为//,//OM AP ON BP ,所以14PA PB OM ON k k k k ⋅=⋅=-,即()13131313140.*4y y x x y y x x =-⇒+=设直线MN 的方程为y kx t =+. ()2222214841201,123y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 则()()2222Δ644144120k t k t =-+->,即22312t k <+.且21313228412,1414kt t x x x x k k --+==++,()222222222221313132222412841214141414t k t t k t t k y y k x x kt x x t k k k k k -+-=+++=⋅-+=++++,代人()*得222224121241414t t k k k--=-⋅++,可得()22222312,2314t k t k =+=+.于是有13MN x x =-=,点O 到直线MN 的距离d =,即22323t tS t ⋅===为定值.所以OMN 的面积为定值3.方法2依题意知,14PA PB OM ON k k k k ⋅=⋅=-.设直线:OM y kx =,则直线1:4ON y x k=-.设点()()1122,,,M x y N x y . 由22,312y kx x y =⎧⎨+=⎩得221214x k =+,即2121214x k =+. 同理可得222221248411144k x k k ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 所以212211221121111114132242424OMNk S x y x y x x x kx k x x k k k +⎛⎫=-=⋅--⋅=+⋅== ⎪⎝⎭故OMN 的面积为定值3.【点睛】 从知识层面,本题直接运用中心弦的性质得到,OM ON 的斜率关系;从面积关系的构建上,本题运用122112OMN S x y x y =-表示面积,这也是常用方法,可以避开传统的底、高的认定与弦长求解.【例10】已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0),C y px p A =>是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于点M (点,B M 不同于点A ). (1)若116p =,求抛物线2C 的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l 使得M 为AB 的中点,求p 的最大值.【分析】M 既是椭圆弦AB 的中点,也是抛物线上的点,所以设点()()222,2,2,2A pa pa M pm pm ,运用椭圆的中心弦性质得到,m a 之间的关系,由点A 在椭圆上得到,p a 之间的关系,从而得到p 的最大值.【解析】(1)当116p =时,拋物线2C 的焦点坐标为1,032⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)方法1设点()()222,2,2,2A pa pa M pm pm , 所以()2222221222AM OM pa pm pm k k pa pm pm m m a -⋅=⋅=-+. 又由中点弦性质知,12AM OM k k ⋅=-,所以220m am ++=,所以22808a a -⇒. 思路一因为点()22,2A pa pa在椭圆1C 上,所以()2222(2)12pa pa +=,所以2421124160p a a =+,当且仅当28a =时,max 40p =.思路二由222222,4202,A A A A A A x y x px y px ⎧+=⇒+-=⎨=⎩,所以2A x p =.又因为2216A xpa p =,216p p , 所以21160p ,所以max 40p =.方法2由题意可设直线():0,0l x my t m t =+≠≠,点()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=,得()2222220m y mty t +++-=.所以22M mty m =-+. 将直线l 的方程代人抛物线22:2C y px =,得2220y pmy pt --=,所以()()222000222222,,M p m p m y y pt y xmm++=-==.故由点()00,A x y 在椭圆1C 上即220012x y +=, 所以24212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当m =,且max 40p =. 【点睛】 本题主要考查中点弦问题,可从设线视角,运用韦达定理沟通变量之间的关系;也可从设点视角,结合点差法,沟通变量之间的关系,体现数学运算中“算两次”的思想.相对而言,比硬解交点容易.。
高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）
高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）设而不求与点差法：⎧x 12y 12⎪2+2=1x 2y 2⎪a b 1a >b >0）第一步：若A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是椭圆2+2=（上不重合的两点，则⎨，22a b ⎪x 2+y 2=1⎪⎩a 2b 2第二步：两式相减得（x 1+x 2）(x 1-x 2）(y 1+y 2)(y 1-y 2)+=0，22a b 第三步：y 1-y 2x +x y +y2（x 0,y 0）是直线AB 的斜率k ，是线段AB 的中点，化简可得（12,1）x 1-x 222y 0y 1+y 2y 1-y 2b 2b 2⋅=-2⇒⋅k =-2，此种方法为点差法。
x 1+x 2x 1-x 2a x 0a x 2y 21a >b >0）若AB 是椭圆2+2=（上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线a b b 2AB 与OP 的斜率之积为定值-2a 典型例题：x 2y 2例1.已知双曲线2-2=1(a >0,b >0),F (5,0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ,B 两a b 点，且AB 的中点M (-2例2.已知抛物线y =4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是（）4580,-)，则该双曲线的方程为 .77A .y =x -1B .y =2x -1C .y =-x +2D .y =-2x +3x 2⎛11⎫+y 2=1，例3.已知椭圆（1）求过点P ，⎪且被P 平分的弦所在直线的方程；2⎝22⎭（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A (2，（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足kOP⋅kOQ=-求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,1，2l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点 ⎛m ⎫,m ⎪,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的⎝3⎭斜率,若不能,说明理由.巩固提升：x 2y 21.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆G :2+2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭a b ，-1),则E 的方程为 ( )圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=14536362727181892.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为 ( )x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1364563544.已知抛物线y =2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.x =1B.x =-1C.x =2D.x =-25.设F 为抛物线C :y =4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ,B 22两点,点Q 为线段AB 的中点,若FQ =2,则直线l 的斜率等于．6.已知倾斜角为45︒的直线l 过点A (1,-2)和点B ,B 在第一象限,|AB |=32.（1）求点B 的坐标;x 2F 两点,且线段EF 的中点坐标为(4,1),求a 的值.（2）若直线l 与双曲线C :2-y 2=1(a >0)相交于E 、ax2y2+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)．7．已知斜率为k的直线l与椭圆C：43(1)证明：k<-1；2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）参考答案典型例题：x 2y 2例1.【答案】：9-16=1.⎧x 12y 12-=1⎪⎪a 2b 2【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.c =5，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴⎨两式作差得22⎪x 2-y 2=1⎪⎩a 2b 2y 1+y 2-0(x -x 1)(x -x 2)(y -y 1)(y -y 2)y 1-y 2y 1+y 2b y 1-y 2b 22=,⇒⋅=⇒⋅=a 2b 2x 1-x 2x 1+x 2a 2x 1-x 2x 1+x 2-0a 228080--0-2a 1616b 277即k AB ⋅kOM =2, k AB =k FM ==1,k OM ==,⇒k AB ⋅k OM ==245459b 9a --5-772x 2y 2=1∴a =3,b =4，所以双曲线方程为-916.解法二： kAB=kFM80⎧y =x -5-0⎪消去y ，可得=7=1,设直线AB :y =x -5，⎨x 2y 245⎪2-2=1--5b ⎩a 7-⎧10a 2x 1+x 2=-2⎪10b 2⎪b-a 22222222(b -a )x +10a x -25a -a b =0⇒∆>0,⎨,y 1+y 2=x 1+x 2-10=-22222b -a -25a -a b ⎪x x =12⎪b 2-a 2⎩⎧5a 245-2=-222⎪25a 5b a 459⎪b -a 7所以M (,)⇒⇒==⇒a =3,b =4，⎨222222b -a b -a b 8016⎪-5b =-80⎪7⎩b 2-a 2x 2y 2-=1所以双曲线方程为916例2【答案】B⎧y 12=4x 1,【解析】由题意得：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，都在抛物线上⎨2y =4x 2⎩2y1-y 12=4(x1-x2)⇒2y 1-y 24=2，直线还经过P (1,1)，=x 1-x 2y 1+y2所以直线方程为y =2x -1例3.【解析】：设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则⎧x 12+2y 12=2，⎪22⎪x 2+2y 2=2，⎨⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，⎩12①②③④①－②得(x 1+x2)(x1-x 2)+2(y 1+y2)(y1-y 2)=0．由题意知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)y 1+y 2=0，x 1-x2将③④代入得x +2y （1）将x =y 1-y2=0．⑤x 1-x2y -y 2111=-，故所求直线方程为：2x +4y -3=0．⑥，y =代入⑤，得1x 1-x 222222将⑥代入椭圆方程x +2y =2得6y 2-6y -所求．（2）将11=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x +4y -3=0为44y 1-y2=2代入⑤得所求轨迹方程为：x +4y =0．（椭圆内部分）x 1-x2（3）将y 1-y 2y -122=代入⑤得所求轨迹方程为：x +2y -2x -2y =0．（椭圆内部分）x 1-x 2x -22x 12+x 22+y 12+y 2=2，⑦，将③④平方并整理得（4）由①＋②得：2()22x 12+x 2=4x 2-2x 1x 2，⑧，y 12+y 2=4y 2-2y 1y 2，⑨4x 2-2x 1x2+4y 2-2y 1y 2=2，⑩将⑧⑨代入⑦得：4()y 21⎛1⎫222=1．再将y 1y 2=-x 1x 2代入⑩式得：2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2⎪=2，即x +12⎝2⎭2此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4.【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线：设直线l :y =kx +t 与曲线C :9x 2+y 2=m 2(m >0)交于两点A 、B ，AB 中点为P (x 中,y 中)，则有A ,B 既在直线上又在曲线上，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)；222⎧y 1=kx 1+t ⎧⎪9x 1+y 1=m ⋅⋅⋅(1)Step2：代入点坐标：即⎨；⎨222y =kx +t ⎪⎩22⎩9x 2+y 2=m ⋅⋅⋅(2)；Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：kOM⋅k l=-9；⎛-3mk +k 2m 9m -3km ⎫y M m ⎫⎛（2）设l 的斜率为k ，由联立得M .k =-9①，y M -m =k x M -⎪②， 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，x M3⎝⎭⎝⎭⎛-6mk +2k 2m 18m -6km ⎫得P 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，代入椭圆中得：⎝⎭k 4-8k 3+18k 2-72k +81=0，k 2+9k 2-8k +9=0，k =4±7，即存在。
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例谈导数法求解中点弦问题
导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。
利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，正是其中一个方面。
一、方法介绍
1. 利用导数求解切线方程
利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：是x的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。
如对圆，两边对x求导，
则有，所以在切点（m，n）处的切线斜率
－。
从而求出切线方程是。
类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。
2. 利用求导法求解中点弦问题
如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如图1）。
此时缩小的曲线方程如
，两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。
因此，
利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。
图1
二、应用举例
1. 求中点弦方程
例1. 已知双曲线方程，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q
两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
解：对两边求导，得
（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为
（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为
即。
但与双曲线方程联立消去y得，无实根。
因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。
注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。
2. 证明与中点弦有关的不等式
例2. 已知椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，求证：。
证明：设AB的中点是P（m，n），则中点P在椭圆内，
所以①
对椭圆两边求导
有，得
故中点弦AB的斜率，所以线段AB的垂直平分线斜率满足：
，得。
代入①式得。
3. 求与中点弦有关的轨迹问题
例3. 已知定点A（0，2），椭圆，过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。
解：设线段PQ的中点为M（x，y）。
对椭圆两边求导，得
所以的斜率为。
又，
所以。
化简即得（在椭圆内的部分）。
4. 求与中点弦有关的对称问题
例4. 求抛物线上不存在关于直线对称的两点，求m的取值范围。
解：（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点。
（2）当m≠0时，假设存在关于直线对称的两点，设这两点的中点为A（a，b），则A必在抛物线内，所以。
①
对两边求导，得，所以中点弦的斜率为。
②
将点A（a，b）坐标代入得
③
由①②③得
即
又恒成立，
所以
故时满足题意。
综上（1）（2），m取值范围是。