高中数学三角函数单调区间

三角函数单调区间、最值

●三角函数的单区间 ▲x y sin =的单调区间 单调增区间：z k k k ∈++-],22

,

22

[ππ

ππ

单调减区间：z k k k ∈++],22

3,

22

[

ππ

ππ

取最大值集合：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+=

z k k x ,22ππ

取最小值集合：⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧∈+-=z k k x ,22ππ ●求复合三角函数的单调区间

▲求)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间的方法 增区间求法：

令ϕω+=x t ，则原函数等价变形为t A y sin =，当z k k t k ∈+≤

≤+-,22

22

ππ

ππ

时单调

递增，即当z k k x k ∈+≤

+≤+-

,22

22

ππ

ϕωππ

时原函数单调递增，从而求得x 的范围，

进而得到函数的单调增区间。

减区间求法：

令ϕω+=x t ，则原函数等价变形为t A y sin =，当z k k t k ∈+≤

≤+,22

322

ππ

ππ

时单调递减，即当

z k k x k ∈+≤

+≤+,22

322

ππ

ϕωππ

时原函数单调递减，从而求得x 的范围，进而得到函数的单调减区间。 取最值时集合的求法：

令ϕω+=x t ，则原函数等价变形为t A y sin =，当z k k t ∈+=,22

ππ

时取得最大值，即

当z k k x ∈+=

+,22

ππ

ϕω时取得最大值，从而求得x 的取值集合，求最小值集合类似。

☆例题：求)4

3sin(2π

+

=x y 的单调增区间和单调减区间。

解：增区间：由Z k k x k ∈+≤

+

≤+-

,22

4322

ππ

πππ

得Z k k x k ∈+≤≤+-，ππππ3

2

12324

所以原函数的增区间为Z k k k ∈++-]3

2

12324[ππππ，

减区间：由

Z k k x k ∈+≤

+

≤+,2234322ππ

π

ππ

得Z k k x k ∈+≤≤+，ππππ3

2

1253212

所以原函数的减区间为Z k k k ∈++]32

1253212[ππππ，

所以原函数的减区间为Z k k k ∈++-]3

2

43212[ππππ，

当1)4

3sin(=+π

x 时函数取得最大值， 则4

3π

+

x =

ππk 22

+， ππ

k x 24

3+=

即,,3

212Z k k x ∈+=ππ

▲形如)cos()sin(ϕωϕω+++=x b x a y 的单调区间的求法。

应用辅助角公式和诱导公式把函数变换成)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 的形式，然后求解。

特殊地：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ，化为)y x ϕ=+，

例题：求)6

cos(3)6sin(π

π

+++=x x y 的单调区间。

解：)127sin(2)34sin(2)4cos(3)4sin(πππππ

+=++=+++

=x x x x y 增区间：由Z k k x k ∈+≤+≤+-,2212722ππ

πππ

得Z k k x k ∈+-≤≤+-，ππππ3

2

1221213

所以所以原函数的单调增区间为Z k k k ∈+-+-]212

21231[ππ

ππ，

减区间：由Z k k x k ∈+≤+≤+,22312722ππ

πππ

得Z k k x k ∈+≤≤+-，ππ

ππ212

11212

所以所以原函数的单调增区间为Z k k k ∈++-]212

11212[ππ

ππ，