立体几何练习题及答案

数学立体几何练习题

一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1.如图，在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，棱长为 a , M 、N 分别为 A 1B 和AC 上 的点，A 1M = AN = 乎，贝V MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A •相交 B •平行 C .垂直 不能确定 M

2.将正方形ABCD 的大小为（ ） 沿对角线BD 折起，使平面ABD 丄平面 CBD , E 是CD 中点，贝U AED

A. 45o

B.30o

C.60o

D. 900

3. PA , PB , PC 是从P 引出的三条射线, 所成的角的余弦值为（ ） 1 3 A . B 。

2 2 4. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，E 、 角的余弦值是 每两条的夹角都是 60o,则直线 PC 与平面 PAB

D 。亠 3 5. 7.

C 」 3 F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线 E

D 与D 1F 所成

1

Co — 2 _3 2

在棱长为2的正方体 ABCD A3GU 中，0是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、 AD 的中点，那么异面直线 0E 和FD i 所成的角的余弦值等于（ A -10 c 2 厂一5 f 15 A . B . C . D . ----- 5 3 5 5 在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2 , A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) 3.3 C .

4 中，若AB= ,：2BB i ,则AB i 与C i B 所成的角的大小为 ）

在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 （ A.60o B. 90o C.105o 设E , F 是正方体 AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的 A 1ECF 成60。角的对角线的数目是（

A . 0

B . 2 D. 750 12条面对角线中, 与截面 )

C . 、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共 9•在正方体 ABC

D — A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱 uuir uuuir sin 〈 CM , D 1N 〉的值为 ___________ • 4 30分. AA 1和BB 1的中点，则

10.如图，正方体的棱长为 1 , C 、D 分别是两条棱的中点, 那么点M 到截面ABCD 的距离是

M

A 、

B 、

11. _________ 正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为_______ .

12. 已知正三棱柱ABC-A i B i C i的所有棱长都相等，D是A i C i的中点，则直线AD与平面

B i DC所成角的正弦值为 _______________ .

13. 已知边长为4 2的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA丄面ABC , 且

PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为___________________ .

14. 棱长都为2的直平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，/ BAD=60°，则对角线A i C与侧面DCC i D i

所成角的余弦值为________________ .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步

骤•

ABC

中，CA = CB = i, BCA 90 ,棱AA i

2 , M、

N分别A i B i、A i A是的中点.

⑴求BM的长；

⑵求cosBA；,CB；的值；

⑶求证：A i B C i N .

i6.如图，三棱锥P—ABC中，PC 且CD 平面PAB .

(i) 求证：AB 平面PCB;

⑵求异面直线AP与BC所成角的大小;

(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.

(1)试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标;

(2)问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q, 使得PQ丄QD ?

(3)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ丄QD时，求二面角Q-PD-A的余弦值大小. z

B i

平面ABC , PC=AC=2 , AB=BC x D 是PB 上一点,

i7•如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB=i , BC=a ( a>0),

i5.如图，直三棱柱ABC A i B i C i，底面

D

Q C

PA丄平面AC,且PA=i .

i8.如图，在底面是棱形的四棱锥

P ABCD 中，ABC 60 , PA AC a, PB PD ..2a，点E

三、解答题

15解析：以C 为原点建立空间直角坐标系 O xyz .

B M | F (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 ■■ 3 .

在 PD 上，且 PE : ED = 2:1 . (1)证明PA 平面ABCD ；

⑵求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角

的大小； ⑶在棱PC 上是否存在一点 F ,使BF //平面AEC ?证明你的结论. 19.如图四棱锥 P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形,

PG 丄平面 ABCD ，垂足为 G , G 在 AD 上，且 PG = 4, AG 1 3GD ，B G 丄 G C ，G B = G C = 2, E 是 BC 的中点• (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； ⑵求点D 到平面PBG 的距离； PF ⑶若F 点是棱PC 上一点，且 DF 丄GC ,求 的值. FC D

20.已知四棱锥 S — ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA 丄底面 ABCD , E 是SC 上的任意一点. (1)求证：平面 EBD 丄平面SAC ;

⑵设SA = 4, AB = 2,求点 A 到平面 SBD 的距离；

SA

⑶当AB 的值为多少时，二面角 B — SC — D 的大小为120°

E C

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

B

D

D J

A P D

B

B P C

理科立体几何训练题(B )答案

填空题 9.

4 ,5

2 10. 3

11. 45

3

12 .

4

13 5

◎

14

_3 4

(1)依题意得 B (0, 1, 0), M (1, 0, 1).