现代控制理论--3控制系统的状态方程求解

1.定义：线性定常系统，初始时刻t0 =0,满足以
下矩阵微分方程和初始条件
(t) A(t)
(0) I
的解Φ(t),定义为系统的状态转移矩阵。
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讨论：
（1）满足上述定义的解为Φ(t) =eAt (t0=0) 证明：
deA td(IA t1A 2 t21A 3 t3)
d t d t
2 ! 3 !
xteA t t0xt0tt0
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
( t 0 t ) ( t t 0 ) e A ( t 0 t ) e A ( t t 0 ) e A 0 I 1(tt0) (t0t)
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（2） ( t 1 t 2 ) e A ( t 1 t 2 ) e A t 1 e A t 2 ( t 1 ) ( t 2 )
x (0 )
1
1
时的状态解。
9
解：1.求eAt
sI
A
s 2
1 s3
sIA1
s 2
1
1
s3
1 s3 s(s3)2 2
1 s
s3 (s 1)(s 2)
2 (s 1)(s 2)
1 (s 1)(s 2)
s (s 1)(s 2)
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所以
eAt L1sIA1
2et e2t
et e2t
x(t)eatx0 ---解的变化是按指数形式变化的。 对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？
下面就来讨论：
5
对标量函数
1 s-a
1 s
a s2
a2 s3
e at 1 a t a 2t2 2!
显
然
L -1
s
1
a
e at
相应的对矩阵函数
( s I - A )-1
I s
A s2
A2 s3
其中 eA (t1t2)IA (t1t2)A 2!2(t1t2)2
IA t1A t2A 2(t2 1 2tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt2t2 2 2) (IA t1A 2 2 ! t1 2)(IA t2A 2 t!2 2)
eAt1 eAt2
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（3） (t)n (nt)
( n t) ( t t t) e A ( t t) e A t e A t
enAt eAtn (t)n
（4） ( t2 t1 ) ( t1 t0 ) ( t2 t0 )
e e A(t2t1) A(t1t0) eA(t2t0) (t2t0)
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（5） (t)A (t) (t)A
由此关系 可用于从 eAt 反求 A.
deAt dt
t0AeAt
t0A
例：已知
e At I A t 1 A 2t2 2!
矩阵指数函数
L 1 ( s I A ) 1 e A t
6
所以齐次状态方程的解可写为
x(t)L1sIA1x0 L1IssA2 A s32
x0
逐项 变换IAt2 1!A2t2 x0
即
x(t)= e-Atx0
当初始时刻为t0≠0,初始状态为x(t0)时
2et 2e2t et 2e2t
2.求x(t):
x (t)eA tx 0 2 2 e e tt e 2 e 2 t2t
e te 2t 1 e t2 e 2t 1
3et 2e2t
3et
4e2t
(t)x0
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二.状态转移矩阵： 在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分
重要的概念。
AA2t1A3t2 2!
A(I At 1 A2t2 ) 2!
AeAt eAt A
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所以当 Φ(t)=eAt时， (t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
d d teA t t 0d d t 2 2 e e tt e 2 e 2 t2t
ete 2t et2 e 2t t 0
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2et 2e2t et 2e2t
1
x(t)= (t)x0 (t)
3.求齐次状态解的关键是求 0
t
转移矩阵 eAt，前面已给出了两种方法：
8
a)拉氏变换法：
eAt L1sIA1
b)幂级数法：
eAt IAt1A2t2 2
由于按幂级数计算不易写出闭式的结果，故 通常用拉氏变换法。
0 1
例：已知系统的状态方程为：x 2 3 x
试求在初始状态
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x Ax Bu y Cx Du
可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。 关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。 先讨论自由运动的规律，即求自由解。
3
一、齐次状态方程的解
所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即
输入u(t)=0的情况。故齐次方程为：x Ax
现代控制理论基础
1
第二章 控制系统的状态方程求解
2.1 线性定常系统状态方程的解 2.2 线性定常系统状态转移矩阵的几种求法 2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统
的离散化 2.4 线性定常离散系统状态方程的求解
2
§ 2.1.线性定常连续系统状态方程的解
前面我们详细讨论了状态空间表达式的建立 及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着 就是求解问题。
设初始时刻 t0=0 ，初始状态为x0
1. 采用拉氏变换法求解：对齐次方程两边取拉氏
变换.
sx(s)x0Ax(s)
(sIA)x(s)x0
x(s)(sIA )1x0
反变换即得齐次状态方程的解：
x(t)L 1 (sIA )1 x0
4
2. 级数展开法：分析标量微分方程可知 xaxsx(s)x0 ax(s) 1 x(s) sa x0
11(t) (t) 21(t)
n1(t)
1n(t) 2n(t) eAt
nn(t)
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2.性质： 由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式，
故可推出如下性质
（1）Φ(t-t0)是非奇异阵.且 1(tt0) (t0t)
( t t 0 ) ( t 0 t ) e A ( t t 0 ) e A ( t 0 t ) e A 0 I