北邮dsp数字信号处理第二章附加习题
数字信号处理第2章习题答案
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
故
X (z)z 1zN z 1 N (z 1 1 )zN z 1 N (z 1 1 )z2 1 N 1 zz N 1 1 2
［例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
H(z) 1 , a和b为常数 (za)(zb)
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛 域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足 |a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆 以的整个z平面。 （2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b
采样间隔T=0.25 s， 得到 xˆ ( t ) ， 再让 xˆ ( t ) 通过理想低通
滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示:
G(j)0.025
≤ 4π 4π
(1) 写出xˆ ( t )的表达式;
(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
解：(1)
x ˆ(t) [c2 o πn s)T (co 5πs n()T ](tn)T n
（3） 若y(n)=x(n)h(n), 则
Y(ej)1H(ej)X(ej) 2π
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（4）
xe(n)12[x(n)x(n)]
数字信号处理 答案 第二章
第二章判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（ ） 685ππ+n （ ） )8(π-ne j （ ）343ππ+n 解 对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于)5(16516取k k =。
（ ）对照复指数序列的一般公式 ωσj + 得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（ ）对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，又343ππ+n ＝ -2π343ππ-n ＝ 6143-n π ，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于 )3(838取k k =在图 中， 和 分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的 和 的线性卷积以得到系统的输出 ，并画出 的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 的每一个取样值。
≥ δ δδ δ δδ δ δ∑∞-∞=--kkn knuku a)()( ∑∞-∞=-kknaaa n--+111计算线性线性卷积λn解： ∑∞-∞=-kknuku)()(∑∞=-)()(kknuku ≥ 即∑∞-∞=-kk knuku)()(λ∑∞=-)()(kk knukuλ λλ--+111n≥即 λλ--+111n图 所示的是单位取样响应分别为 1 和 2 的两个线性非移变系统的级联，已知1 δ δ2 n 求系统的输出解 ω 1∑∞-∞=k k u )( δ δω 2∑∞-∞=k k k u a )(∑∞-=3n k ka≥已知一个线性非移变系统的单位取样响应为 n- 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理第二章习题26、30、32解答(包括matlab运行程序)
题2-30 假设系统函数如下式：5147.13418.217.198.33)3)(9()(234-++--+=z z z z z z z H试用MATLAB 语言判断系统是否稳定。
解：该系统不稳定 Matlab 程序：2-30.m Matlab 图如下：Real PartI m a g i n a r y P a r tZero-pole题2-32 下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：2119425.06.111)(--+-=z z z H21129425.06.113.01)(---+--=z z z z H21139425.06.118.01)(---+--=z z z z H 212149425.06.118.06.11)(----+-+-=z z z z z H试用MATLAB 语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。
要求： （1）分别画出各系统的零、极点分布图；（2）分别求出各系统的单位脉冲响应，并画出其波形； （3）分析零点分布对于单位脉冲响应的影响。
解：系统1的Matlab 程序：2-32-1.m 其零极点及单位脉冲响应如图a-1-0.500.51Real Part I m a g i n a r y P a r tImpulse response图 a系统2的Matlab 程序：2-32-2.m 其零极点及单位脉冲响应如图b-1-0.500.51Real Part I m a g i n a r y P a r tZero-poleImpulse response图 b系统3的Matlab 程序：2-32-3.m 其零极点及单位脉冲响应如图c-1-0.500.51Real Part I m a g i n a r y P a r t图 c系统4的Matlab 程序：2-32-4.m 其零极点及单位脉冲响应如图d-1-0.500.51Real Part I m a g i n a r y P a r tZero-pole图 d（3）零点愈靠近极点，单位脉冲响应的变化愈缓慢，因此，零点对极点的作用起到了抵消作用。
数字信号处理第2章习题解答
e
n 0
e
j ( 0 )
n
1 1 e e j (0 )
当 e 1 0
2-9 求 x(n) R5 (n) 的傅里叶变换 解：X (e j )
5 j 2
n
j
x ( n )e j n e j n
1 1 1 z 2
1 1 1 2 1 z z 2 4 1
1 1 1 2 X ( z) 1 z z 2 4 n 1 n z 2 n 0
1 x(n ) u(n ) 2
n
1 1 1 z 2 1 1 z 2 1 1 1 2 z z 2 4 1 2 z 4
解：
1 由x1 ( n ) u( n ) 2
1 z 2
n
1 得 X 1 ( z ) ZT [ x1 ( n )] 1 1 1 z 2 n 1 由x2 ( n ) u( n ) 3 1 得 X 2 ( z ) ZT [ x2 ( n )] 1 1 1 z 3
1 z 3
z3 z 3z 5 1 1 1 1 1 z 1 z z 3 z 2 3 2
1 z 3 2
j x ( n ) X ( e ): 2-7 求以下序列 的频谱
（1） (n n0 )
X ( e j )
n j n ( n n ) e 0
0
1/ 4 Re[ z ]
当 n 1 时， F ( z )在围线c内有一 (n 1)阶极点 z 0 在围线c外有单阶极点 z 1/ 4， 且分母阶次高于分子阶次二阶以上
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
DSP第2章习题课ppt课件
1 jπ kn
e2
n0
1 e jπk
jπk
1e 2
j1 πk j1 πk
j1 πk
e
2 (e
j1 πk
2 j1 πk
e2
j1 πk
)
e 4 (e 4 e 4 )
j 1 πk
e4
sin
1 2
πk
sin 1 πk
4
X~ (k )以4为周期
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。
解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛 域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足 |a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆 以的整个z平面。
（2） 对 xˆ (t) 进行频谱分析， 写出其傅里叶变换表达 式，
（3）如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来， 理想滤
解： xˆ(t) [cos(2πf1nT ) cos(2πf2nT )]δ(t nT ) n
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（2） 按照采样定理, xˆ (t) 的频谱是x(t)频谱的周期延
X (e j ) FT[~x (n)] 2π X~(k) δ( 2π k)
4 k
4
π X~(k)δ( π k)
2 k
2
π
cos( π
j πk
k)e 4
δ(
北京邮电大学数字信号处理习题库选择题附加答案重点
13.下列关于冲激响应不变法描述错误的是 ( C A.S 平面的每一个单极点 s=sk 变换到 Z 平面上 z= e skT 处的单极点 B.如果模拟滤波器是因果稳定的，则其数字滤波器也是因果稳定的 C.Ha(s和 H(z的部分分式的系数是相同的 D.S 平面极点与Z 平面极点都有 z= e s kT 的对应关系 14．下面关于 IIR 滤波器设计说法正确的是( C A. 双线性变换法的优点是数字频率和模拟频率成线性关系 B. 冲激响应不变法无频率混叠现象 C. 冲激响应不变法不适合设计高通滤波器 D. 双线性变换法只适合设计低通、带通滤波器 15.以下关于用双线性变换法设计 IIR 滤波器的论述中正确的是( B 。
A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 B.总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C.使用的变换是 s 平面到 z 平面的多值映射 D.不宜用来设计高通和带阻滤波器 16.以下对双线性变换的描述中不正确的是 ( D 。
A.双线性变换是一种非线性变换 B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把 s 平面的左半平面单值映射到 z 平面的单位圆内 D.以上说法都不对17．以下对双线性变换的描述中正确的是 ( B 。
A．双线性变换是一种线性变换B．双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换 C．双线性变换是一种分段线性变换 D．以上说法都不对 18．双线性变换法的最重要优点是：；主要缺点是 A 。
A. 无频率混叠现象；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 B. 无频率混叠现象；二次转换造成较大幅度失真 C. 无频率失真；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 D. 无频率失真；二次转换造成较大幅度失真 19．利用模拟滤波器设计法设计 IIR 数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。
双线性变换法是一种二次变换方法，即它 C 。
数字信号处理 答案 第二章(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
DSP第二章课后答案
k X 2
2 N 1 n 0
n W x
kn 2N 2 k n N 2 2 N 1 n N
n e x
n 0
N 1
j
n e x
j
2 k n N 2
令 n n N ，则
j k x n e N X 2 n 0 N 1 2 k n 2
k 0,1, 2 ，求 q (n) 。
y (n) x((n 4))6 4 (n 4) 3 (n 5) 2 (n) (n 1)
（b） X ( k ) 的实部是 Re X ( k )
1 X (k ) X (k ) ，又由 2
且 M r M ，所以
2 Mak X 1 (k ) 2 Mak 2 M 2 M ( a +a ) M M
而 X 2 (k )
4 M 1
n0
x2 (n)e
j
2 kn 4M
2 (n) f (nT2 ) f ( 将x
j 2 nr M np ) ar e 4 M 代入 X 2 (k ) 4M r M M 4 M 1 j 2 ( k r ) n 4M
x n r y1 n 0
n ir , i 0,..., N 1 others
求证 DFT y1 n 与X k 的关系。 （2）将长度扩大 r 倍（补 0 增长） ，得到一个长度为 rN 的有限长序列 y2 ( n)
x n 0 n N 1 y2 n N n rN 1 0
(k ) 是周期为 N 的周期性序列， X (k ) 使周期为 2 N 的周期性 序列的 DFS 系数。当然， X 1 2 (k ) 确定 X (k ) 。 序列。试根据 X 1 2
数字信号处理 答案 第二章
(4) h(n)=( (5) h(n)=
1 n ) u(n) 2
1 u(n) n
n
(6) h(n)= 2 R n u(n)
解 （1）因为在 n<0 时，h(n)= 2 ≠0,故该系统不是因果系统。
n
因为 S=
n =−∞
∑
∞
|h(n)|=
∑
n =0
∞
|2 |=1< ∞ ，故该系统是稳定系统。
n
(2) 因为在 n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。 因为 S=
n =−∞
n =−∞
(4) 因为在 n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为 S= |h(n)|=
n =−∞
∑
n=0
|(
1 n ) |< ∞ ，故该系统是稳定系统。 2
(5) 因为在 n<O 时，h(n)=
1 u(n)=0，故该系统是因果系统 。 n
因为 S=
n =−∞
∑ ∑
∞
∞
|h(n)|=
第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( （2）x(n)= e (
j
π 5π n+ ) 8 6
n −π) 8 π 3π （3）x(n)=Asin( n+ ) 4 3
(1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( ωn + ϕ )，得出 ω =
∞
=
k =0
∑ u(k )u(n − k ) =(n+1),n≥0
即 y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= ∑ λ k u (k )u (n − k )
数字信号处理第2章答案
＝
系统的零点为z=0， 极点为z=0.9， 零点在z平面的原点，
不影响频率特性， 而惟一的极点在实轴的0.9处， 因此滤波 器的通带中心在ω=0处。 毫无疑问， 这是一个低通滤波器。
［例2.4.2］假设x(n)=xr(n)+jxi(n)， xr(n)和xj(n)为实序列， X(z)=ZT［x(n)］在单位圆的下半部分为零。 已知
N 1
( z 1)
z
1
2 N 1
z 1 z 1
N
2
［例2.4.4］
时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
1 ( z a )( z b )
H (z)
,
a 和 b 为常数
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
2.3 分析信号和系统的频率特性
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、
零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、
零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例2.4.3］ 已知 0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
n x(n) 2 N n 0
求x(n)的Z变换。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩
DSP第二章内容及习题
实质：求X(z)幂级数展开式
n
x ( n) z
n
z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
部分分式展开法:
X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B( z ) X ( z) X1 ( z) X 2 ( z) X K ( z) A( z )
例4：求x(n) a ，a为实数，求其z变换及其收敛域
n
解：X(z)= x(n) z n = a z n = a n z n a n z n
n n n n n0
1
= a n z n a n z n
n 1 n 0
第二章 z变换
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法 会求z反变换
理解z变换的主要性质
理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系
掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质
掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
n1 0 n2
X ( z ) x(n1 ) z n1 x(n1 1) z ( n1 1) x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(n2 1) z ( n2 1) x(n2 ) z n2
0 n2 n1 Roc : 0 z
1 az 1 a 2 z 2 a 3 z 3 1
1 az 1 az 1 az 1 a 2 z 2 a 2 z 2 a 2 z 2 a 3 z 3 1 2 2 3 3 a 3 z 3 X ( z ) 1 az a z a z …
数字信号处理 课后习题答案 第2章.docx
习题1.设X（e"。
）和r（e JC0）分别是印7）和）仞的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:(1) x("-"o) (3) x(-n) (5) x(")y(")(7) x(2n)⑵ x*(〃)(4) x(") * v(«) (6) nx(n) (8) /(〃)解：⑴00 FT[X(/7-Z70)] = £x(〃一〃o)e—S令n r = n-n0,即〃=n' + n Q,贝!J00FT[x(n-n o y\=工》(〃')以"''*""="初。
乂(烈)00 00(2)FT[x («)] = £ x* (n)e*= [ £ 戏〃)攻以]* = X* (e「W=—00 w=—00(3)00FT[x(—")]= 〃)e*"令=一〃,则00FT[x(—”)]= Zx(〃')e" =X(e—〃")”'=—00(4)00 x(〃) *'(〃)= ^\x(jrT)y(n -m)W=-0000 00FT[x(n) * v(w)] = Z【Z x("y("-初)]e""' n=-<x> w=-oo k = n-m,贝U00 00FT[x(ri)*y(ri)]= £[ £x(初) k=—CD W=-0000 00k=-<x> m=—cc= X(e5(em)_00 00 1时[x(M)贝〃)]= Z》(〃)贝〃)e「9 = Zx(〃)[-Lf/(em'"'"d 渺]e-加""=—00 〃=—00 2l "1 00=—£ Y(e j0)')2l " n=—<x>1 伙=一L "口")*?®"、技或者FT[x{n)y{ny\ = —「171 »兀oo(6)因为X(e，")= »("初,对该式两边口求导，得到叫、)=-J £仗"如=-jFT[nx(n)]因此矶孙(〃)]=j至@3)dco00⑺ FT\x(2ri)\=加n=-(x)令n' = 2n ,则FT[X(2W)]= £x(z/)e 7 %W--00,且取偶数00 1 r r・l 八1°0 . 1 00 . 1£?kO + (T)“x(")厂=| 广伽+£ef ("广伽〃=—oo 匕匕〃=—oo 〃=—00=L「xa*+x(/*E)F7[x(2z?)] = | X(e‘2") + X(—e'尸)(8) F7[X2(»)]= J X2(77)6^»=-OO利用(5)题结果，令x{n) = y{n),则F巾2(”)] = _£x(em)*X(eS) = —「X®。
北邮数字信号处理第二章附加习题
N 1
jwn
e jwn
n 0 jwN /2
N 1
1 e e (e jwN /2 e jwN /2 ) 1 e jw e jw/2 (e jw/2 e jw/2 ) sin( wN / 2) e jw( N 1)/2 sin( w / 2)
1
n 3
(1)
7
n
x ( n) 2
F Re( X (e jw )) xe ( n)
1 xe (n) ( x(n) x( n)) 2 (5) (6)
X (e jw ) dw 2 x 2 (n) 28
2 n 3 jw
7
dX (e ) F jnx(n) dw
令
x3 (n) x1 (n) x2 (n) (n) (n 1),
则得
y3 (0) 1
y3 (1) ay3 (0) x3 (1) a 1 y3 (2) ay3 (1) x3 (2) a 2 a y3 (n) ay3 (n 1) x3 (n) a n a n 1
jw
其傅里叶变换 X (e ) 。 解答：
jw
1 1 X R (e jw ) 1 cos w 1 e jw e jw 2 2 1 1 xe (n) (n) ( n 1) ( n 1) 2 2 1 xe (n) ( x(n) x* ( n)) 2 因为x(n)为实因果序列 1 1 x(n) (n) (n 1) 2 2 1 X (e jw ) 1 e jw 2
由 DTFT 性质有
jwN
X N (e jw ) X (e jw )* D(e jw ) D(e j ) X (e j ( w ) )d
数字信号处理 DSP_Chapter2_SM
x[n]
+
_
w[n]
_ z 1
0.6
+
0.3
u[n]
+
y[n+1]
_ z 1
0.8
+
w[n _ 1]
_ z 1
_ 0.5
+
0.4
y[n]
0.2
w[n _ 2]
Not for sale.
3
The second-order section can be redrawn as shown below without changing its inputoutput relation.
Not for sale.
= −4µ[ n + 3] + 9µ[ n + 2] − 4µ[ n + 1] − 3µ[ n] − µ[ n − 1] + 3µ[ n − 2] + 2µ[ n − 3] − 2µ[ n − 4],
2.7
(a)
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案
习 题1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。
(a) f(t)(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明：(a))()()()(000t t t t f a at t f -=-δδ(b))()(1)()(000a t a f a at t f t t t -=-δδ(c))()()()(00nT t nT f TTt comb t f t tt n --+=-∑∞-∞=δ3.(a) 如 f(t) F(Ω)，证明：eeetjty j tj t f dy y F F Ω-∞∞--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π(b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理)()(21)()(2121Ω*Ω↔F Ffft t π4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。
5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ(b) )()()(0Ω+Ω=Ω+Ω*Ω∑∑∞-∞=∞-∞=n H n H n n δ6. 设eta t f -=)(，证明脉冲序列)()(nT t nT f n -∑∞-∞=δ的傅氏变换等于aTaT aT e T e e 22cos 211---+Ω--7.(a) 证明T n n n jnT eπδ2),(1000=ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-(b) 若f(t) F(Ω)，证明)()(0Ω+Ω=∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-n F nT f Tn n jnT e习 题1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(a) y(n) = 2x(n) +3(b) y(n) = x 2(n)(c) ∑-∞==nm m x n y )()(2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) ∑-==nk n k x n y 0)()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)(d) x(n) = a nu(n), h(n) = u(n)(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) nu(n)3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。
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1、信号的取样和内插
知识点：
连续时间信号离散后的频谱特点
Nyquist取样定理的理解和掌握
理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数
1. 考虑两个余弦波信号:
和;
以分别对g1(t)、g2(t)采样，然后使用截止频率为的理想低通滤波器实施内插；给出内插后的模拟信号。
2．设有模拟信号=300，300，用抽样=3000样值/秒分别对其进行抽样，则，的周期分别为多少?
3．已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为
，令
4．若连续信号
的频谱
是带状的（
），如题图所示。
利用卷积定理说明当
时，最低抽样率只要等于
就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
5．内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。
第一个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插入（N-1）个零序列值，因而
对于准确的带限内插，
是一个理想的低通滤波器。
（1）确定系统A是否是线性的。
（2）确定系统A是否是时不变的。
（3）若
如图所示，且N=3，画出。
二、离散系统及其普遍关系
知识点：
掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断方法；
理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法；
掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法。
6. 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
7.试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
8.设某线性时不变系统，其单位抽样响应为
试讨论该系统的因果性和稳定性。
9.常系数线性差分方程为
边界条件为，试说明它是否是线性时不变系统。
10.设
试画出，其中。
三、离散时间信号的傅里叶变换及性质
知识点：
连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系
利用DTFT的定义及性质求DTFT
离散时间信号截断后傅里叶变换
离散时间信号的内插与抽取
考察点：DTFT性质
11.设信号的傅里叶变换为，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换
（1）（2）（3）（4）（5）
（6）
12.如图所示序列，设其DTFT为，试利用DTFT的物理含义及性质，完成以下运算
（1）（2）（3）
（4）确定并画出傅里叶变换为的时间序列
（5）（6）
13.若为的傅里叶变换，，求
14.将一个的无限长信号截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号。
若所用的窗函数为矩形窗，即
则实现了的截短
若的频谱，求傅里叶变换，并画出频谱大致分布；
15.若序列是因果序列，已知傅里叶变换的实部为，求序列及其傅里叶变换。
16.假设序列分别如图所示，其中的傅里叶变换为，试用表示其它三个序列的傅里叶变换。
四、Z反变换（留数法）知识点：
Z变换及其收敛域的判断；
留数法求Z反变换；
Z反变换求离散系统响应；
17.已知
（1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域；（2）若系统稳定，用留数法求逆z变换；
（3）若系统稳定非因果，用留数法求逆z变换。
18. 设。
试求的反变换。
五、Z变换与拉普拉斯、傅里叶变换的关系及离散系统的频域分析
知识点：
Z变换与拉氏变换、傅里叶变换的关系；
Z变换求LTI系统的输出及稳态解；
离散系统的传输函数零极点分布，及系统幅频响应。
19.已知系统的差分方程为。
输入信号为。
初始条件为。
求系统的输出响应。
20.设一阶系统的差分方程为，试定性分析系统的幅频特性。
21.一离散时间系统有一对共轭极点，，且在原点有二阶重零点。
（1）写出该系统的传递函数，画出极零图；
（2）试大致画出其幅频响应（）；
（3）若输入信号，且系统初始条件，求该系统的输出。