最新届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：141导数的概念及基本运算(共33张ppt)
高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：141导数的概念及基本运算(共33张PPT)35页PPT
1
(8)(logax)′＝_x_l_n_a______.
目录
5．两个函数导数的四则运算 若 u(x)、v(x)的导数都存在，则： (1)(u±v)′＝__u__′__±__v_′____； (2)(u·v)′＝__u_v_′__＋__u_′__v__； (3)(uv)′＝u′v－v2 uv′(v≠0)． 6．复合函数的导数 设 u＝θ(x)在点 x 处可导，y＝f(u)在点 u＝θ(x)处可导，则复合 函数 f[θ(x)]在点 x 处可导，且 f′(x)＝f′(u)·θ′(x)， 即 y′x＝y′u·u′x.
目录
思考探究 1．函数y＝|x|在x＝0处连续吗？在x＝0处可导吗？
提示：由连续定义可知，y＝|x|在 x＝0 处连续，但不可导．因
为 lim Δx→0－
f0＋ΔΔxx－f0＝Δlxi→m0－
－ΔΔxx＝－1，
lim
Δx→0＋
f
0＋Δx－ Δx
f0＝ lim Δx→0＋
ΔΔxx＝1.
∴ lim Δx→0
ΔΔxy不存在．故不可导．
目录
2．y＝x3在原点处存在切线吗？ 提示：存在．y＝x3在x＝0处的导数为0即在原点处的切线的斜 率为0，故切线为x轴．
目录
课前热身
1．(教材改编)曲线 y＝13x3 在点(1，13)处的切线的斜率为(
)
A.13 C．2
B．3 D．1
答案：D
目录
2．若 f(x)＝ ax2－1，且 f′(1)＝2，则 a 的值为( )
(2) 设 s ＝ s(t) 是 _瞬__时__速__度__．
位
移
函
数
，
导数的概念及运算课件——2025届高三数学一轮复习
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
高考理科数学一轮总复习课标课件第章导数及其应用
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在 点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某点可导，则该函在某点连续，也不一定 在该点可导。例如，函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
单调性证明方法
采用导数定义或中值定理等方法，证明函数 在指定区间内的单调性。
凸凹性判断与拐点求解
导数与函数凸凹性关系
当二阶导数大于0时，函数为凹函数 ；当二阶导数小于0时，函数为凸函 数。
凸凹性判断方法
拐点求解方法
找到二阶导数变号的点，即为拐点。
通过求解二阶导数，判断其正负性， 从而确定函数的凸凹性。
典型例题分析与解答
例题一
求解不等式$e^x - x - 1 > 0$的 解集。
例题二
证明不等式$frac{1}{2}x^2 - ln x geq 1$对任意$x > 0$恒成立。
例题三
已知函数$f(x) = x^3 - ax^2 - 3x$ 在区间$[1, + infty)$上是增函数， 求实数$a$的取值范围。
导数的应用
通过选择题，让学生熟悉导数在解决实际问题中的应用，如最值问题 、单调性问题等。
填空题专项训练
导数的基本公式与运算法则
通过填空题，让学生熟练掌握导数的基本公式和运算法则，提高 解题效率。
高阶导数
通过填空题，让学生理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的计算方 法。
隐函数与参数方程求导
通过填空题，让学生熟悉隐函数和参数方程求导的方法，提高解题 能力。
02
高三理科数学一轮复习课件14： 3.1导数的概念及运算
3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每
一点x处都有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为
f(x)的 导函数 ,通常也简称为导数.
必备知识·预案自诊
-3-
知识梳理 考点自诊
4.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα(α∈Q,α≠0) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=ln x
(2)y'=
ln������
+
1 ������
'=(ln x)'+
1 ������
'=1������ − ���1���2.
(3)y'=
cos������ e������
'=(cos������)'e(e���������-���c)2os������(e������)'=-sin������e+������cos������.
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 思考求曲线的切线方程要注意什么? 解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x. 由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为
解析:∵f'(x)=2x2-4ax-3, ∴过点P(1,m)的切线斜率k=f'(1)=-1-4a. 又点P(1,m)处的切线方程为3x-y+b=0,∴-1-4a=3,∴a=-1, ∴f(x)=23x3+2x2-3x. 又点 P 在函数 f(x)的图象上,∴m=f(1)=-13.
第14讲、导数的概念与运算(教师版)2025高考数学一轮复习讲义
第14讲导数的概念与运算知识梳理知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2、几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3、物理意义函数()s s t =在点0t 处的导数0()s t '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即0()v s t '=；()v v t =在点0t 的导数0()v t '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即0()a v t '=．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数()f x c =（c 为常数）()0f x '=()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠，()ln x f x a a'=()log (01)a f x x a a =>≠，1()ln f x x a'=()xf x e =()xf x e '=()ln f x x =1()f x x'=()sin f x x =()cos f x x '=()cos f x x=()sin f x x'=-2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=．3、复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2、过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．必考题型全归纳题型一：导数的定义【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，函数()y f x =的导数为()y f x '=，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(2)(3)(2)(3)f f f f <-'<'D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D【解析】由()f x 图象可知()()()()''323221f f f f -<<-，即()()()()''3322f f f f <-<.故选：D【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm ，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为3213h t t =+，当t t =0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s ，则当01t t =+时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A ．5cm/sB ．6cm/sC ．8cm/sD ．10cm/s【答案】C【解析】由3213h t t =+，求导得：22h t t '=+.当t t =0时，20023h t t '=+=，解得01t =（03t =-舍去）.故当012t t =+=时，液体上升高度的瞬时变化率为22228cm/s +⨯=.故选：C【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()f x 的导函数是()f x '，若()02f x '=，则0001()()2lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()02f x '=所以00000Δ0Δ011(Δ)()(Δ)()1122lim lim ()11Δ22Δ2x x f x x f x f x x f x f x x x→→'+-+-===故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A ．【对点训练4】（2024·高三课时练习）若()f x 在0x 处可导，则()0f x '可以等于（）．A ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】A【解析】由导数定义()()()0000=lim x f x x f x x xf ∆→+∆-∆'，对于A ，()()()()()()00000000=lim limx x f x f x x f x f x x f x x x x x∆→∆→--∆-=--∆'-∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()()()00000000lim lim2=x x f x x f x x f x x f x x x x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()00001=lim2x f f x x f x x x x∆→+∆--∆∆'，B 不满足；对于C ，()()()()()()()0000000022lim =l =im23x x f x x f x x f x x f x x x x x x xf x ∆→∆→-+∆-∆+∆--∆+'∆--∆∆，()()()000021lim3=x f x x f x f x x x∆→+--∆'∆∆，C 不满足；对于D ，()()()()()()()0000000022lim lim23=x x f x x f x x f x x f x xx x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()0000132=limx f x x f x x x f x∆→+∆--∆'∆，D 不满足.故选：A.【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=(4)()f x =【解析】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '=【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)y (3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【解析】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x-=+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x '⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3xxy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e xx x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x ''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列{}n a 中，32a =，函数()()()()12512f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=__________．【答案】16-【解析】因为()()()()()()()1251251122f x x x a x a x a x x a x a x a '⎛⎫''=---+---⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭L L ()()()()()()1251251122x a x a x a x x a x a x a '=-⋅--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L ，所以()125102f a a a '=-L ．因为数列{}n a 为等比数列，所以2152434a a a a a ===，于是()21042162f '=-⨯⨯=-．故答案为：16-【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数()f x ，()g x 定义域均为R ，对任意x 满足()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()11f =，求()112f g ⎛⎫''+= ⎪⎝⎭__________.【答案】3【解析】由题意可知，令1x =，则()211211112f g ⎛⎫+⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭，解得()111222f g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()()()221122122f x x g x x g x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫'''++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2114122f x xg x x g x ⎛⎫⎛⎫''++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，得()211141111122f g g ⎛⎫⎛⎫''+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1114122f g g ⎛⎫⎛⎫''++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得()111114143222f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3.【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()212f x x f x '=++，则()1f '=______．【答案】1-【解析】因为()()212f x x f x '=++，则()()211f x xf ''=+，故()()1211f f ''=+，故()11f '=-．故答案为：1-.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.【答案】-2【解析】由函数2()(0)e e x x f x f -'=-求导得：2()2(0)e e x x f x f -''=+，当0x =时，(0)2(0)1f f ''=+，解得(0)1f '=-，因此，2()e e x x f x -=--，所以(0)2f =-.故答案为：-2【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P 处切线【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为__________．【答案】650x y --=【解析】函数()321y x =-的导函数为()2621y x '=-，所以函数()321y x =-在1x =处的导数值16x y ='=，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线斜率为6，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为()161y x -=-，即650x y --=，故答案为：650x y --=.【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线3()ln(2)2f x x =++在点()()0,0f 处的切线方程为______．【答案】22ln 230x y -++=【解析】因为3()ln(2)2f x x =++，所以1()2f x x '=+，则()102f '=，又3(0)ln 22f =+，所以曲线在点()()0,0f 处的切线方程为31ln 222y x --=，即22ln 230x y -++=．故答案为：22ln 230x y -++=.【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数321()cos 32f x x bx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，()f x '为()f x 的导函数.若()f x '的图象关于直线x ＝1对称，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为______【答案】73y =-【解析】2ππ()2sin 22f x x bx x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，令2()2g x x bx =+，ππ()sin 22h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()()f x g x h x '=+，令πππ22x k =+，Z k ∈，解得x ＝2k ＋1，Z k ∈，当k ＝0时，x ＝1，所以直线x ＝1为()h x 的一条对称轴，故()g x 的图象也关于直线x ＝1对称，则有212b-=，解得b ＝－1，则321π()cos 32f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ()2sin 22f x x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，7(2)3f =-，()20f '=，故切线方程为73y =-.故答案为；73y =-.【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，则曲线()y f x =在点()(),f λλ处的切线方程为______．【答案】24320x y --=【解析】因为()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，所以()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即()()()3232222220x x x x x λλλλλ-+-++-=-=对x ∀∈R 恒成立，所以2λ=，则()32f x x =，故()26f x x '=，所以()()3222216,26224f f '=⨯==⨯=，所以曲线()y f x =在点()216,处的切线方程为()16242y x -=-，化简得24320x y --=.故答案为：24320x y --=方向2、过点P 的切线【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线ln y x =相切，则该直线的方程是______．【答案】1ey x=【解析】由题意可得()1f x x'=，设该切线方程y kx =，且与ln y x =相切于点()00,x y ，()000000ln 1y kx y x k f x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨'⎪⎪==⎪⎩，整理得0ln 1x =，∴0e x =，可得1e k =，∴1ey x =.故答案为：1ey x =.【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+，过点()2,0P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是___________.【答案】19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由2()3f x x a '=-，设切点为(,)m n ，则切线斜率为2()3f m m a '=-，所以，过()2,0P 的切线方程为2(3)(2)y m a x =--，综上，23(3)(2)1n m a m n m am ⎧=--⎨=-+⎩，即23(3)(2)1m a m m am --=-+，所以322261a m m =-++有三个不同m 值使方程成立，即2y a =与32()261g m m m =-++有三个不同交点，而2()612g m m m '=-+，故(,0)-∞、(2,)+∞上()0g m '<，()g m 递减，(0,2)上()0g m '>，()g m 递增；所以()g m 极小值为(0)1g =，极大值为(2)9g =，故129a <<时两函数有三个交点，综上，a 的取值范围是19,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：19,22⎛⎫⎪⎝⎭【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线，写出一条切线方程：__________.【答案】0y =或32y x =+（写出一条即可）【解析】由3y x =可得23y x '=，设过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线的切点为00(,)x y ，则300y x =，则该切线方程为20003()y y x x x -=-，将2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得3200023()3x x x -=--，解得00x =或01x =-，故切点坐标为(0,0)或(1,1)--，故切线方程为0y =或32y x =+，故答案为：0y =或32y x =+【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过x 轴上一点(),0P t 作曲线():3e x C y x =+的切线，若这样的切线不存在，则整数t 的一个可能值为_________．【答案】4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【解析】设切点为()()000,3e x x x +，因为()4e xy x '=+，所以切线方程为()()()000003e 4e x x y x x x x -+=+-．因为切线l 经过点P ，所以()()()000003e 4e x xx x t x -+=+-，由题意关于0x 的方程()2003430x t x t ----=没有实数解，则()2Δ(3)4430t t =-++<，解得73t -<<-．因为t 为整数，所以t 的取值可能是6-，5-，4-.故答案为：4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()2e xy x =+的切线，则切点的横坐标为___________.【答案】1-1-【解析】由()2e xy x =+可得()3e xy x '=+，设切点坐标为()00,x y ，所以切线斜率00(3)e xk x =+，又因为()0002e x y x =+，则切线方程为()()()000002e 3e x xy x x x x -+=+-，把()0,0代入并整理可得200220x x +-=，解得01x =-或01x =-故答案为：1-+1-【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点()()1,P a a ∈R 有n 条直线与函数()()2e xf x x =-的图象相切，则当n 取最大值时，a 的取值范围为__________.【答案】()3,e --【解析】设过点()1,P a 的直线l 与()f x 的图象的切点为()()000,2e xx x -，因为()()1e xf x x '=-，所以切线l 的斜率为()()0001e xf x x '=-，所以切线l 的方程为()()()000002e 1e x xy x x x x --=--，将()1,P a 代入得()()()000002e 1e 1x xa x x x --=--，即()()()()0002000001e 12e 33e x x x a x x x x x =--+-=-+-，设()()2e 33x g x x x =-+-，则()()()()2233e 23e e x x xg x x x x x x =-+-+-+=-+'，由()0g x '=，得0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减；当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()()03,()1e g x g g x g ==-==-极小值极大值，又22333324x x x ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭0，所以()0g x <恒成立，所以()g x 的图象大致如图所示，由图可知，方程()02003e 3x a x x =-+-最多3个解，即过点()()1,P a a ∈R 的切线最多有3条，即n 的最大值为3，此时3e a -<<-.故答案为：()3,e --.【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()321113f x x f x '=++，其导函数为()f x '，则曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为______．【答案】1y =或38y x =-【解析】设切点为()00,M x y ，由()()321113f x x f x '=++，得()()221f x x f x ''=+，∴()()1121f f ''=+，得()11f '=-，∴()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，∴切点M 为320001,13x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()20002f x x x '=-，∴曲线()f x 在点M 处的切线方程为()()322000001123y x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭①，又∵该切线过点()3,1P ，∴()()3220000111233x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，解得00x=或03x =．将00x =代入①得切线方程为1y =；将03x =代入①得切线方程为()133y x -=-，即38y x =-．∴曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为1y =或38y x =-．故答案为：1y =或38y x =-方向3、公切线【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数()4ln 1f x x =+与函数()()2120g x x x a a=->的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由函数()4ln 1f x x =+，可得()4f x x'=，因为0a >，设切点为(),4ln 1t t +，则()4f t t'=，则公切线方程为()44ln 1y t x t t --=-，即44ln 3y x t t =+-，与212y x x a =-联立可得21424ln 30x x t a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，所以()2412434ln 0t t a ⎛⎫∆=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理可得221134ln t a t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，又由00a t >⎧⎨>⎩，可得34ln 0t ->，解得340e t <<，令()22134ln t h t t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，其中340e t <<，可得()()2424ln 1134ln t t t t t h t t +-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭'=-，令()4ln 1t t t ϕ=+-，可得()410t t ϕ'=+>，函数()t ϕ在340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10ϕ=，当01t <<时，()0t ϕ<，即()0h t '<，此时函数()h t 单调递减，当341t e <<时，()0t >φ，即()0h t '>，此时函数()h t 单调递增，所以()()min 13h t h ==，且当0t +→时，()h t →+∞，所以函数()h t 的值域为[)3,+∞，所以13a≥且0a >，解得103a <≤，即实数a 的取值范围为1(0,]3.故选：A.【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线1(1)1y k x =+-与曲线e x y =相切，直线21)1(y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为___________.【答案】1【解析】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e xk =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x xy x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1xx =，设()ln g x x =，则1()g x x'=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x=交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x=也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e xx =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线e x y =与圆22()2x a y -+=有三条公切线，则a 的取值范围是____．【答案】()1,+∞【解析】曲线e x y =在点()00,x y 处的切线方程为()000e e x xy x x -=-，由于直线()000e ex x y x x -=-与圆()222x a y -+=*）因为曲线e x y =与圆()222x a y -+=有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，即方程()()0220e122x x a ---=有三个不相等的实数根.令()()()22e12xg x x a =---，则曲线()y g x =与直线2y =有三个不同的交点.显然，()()()22e21xg x x a x a '=---+.当(),1x a ∈-∞-时，()0g x '>，当()1,2x a a ∈-+时，()0g x '<，当()2,x a ∈++∞时，()0g x '>，所以，()g x 在(),1a -∞-上单调递增，在()1,2a a -+上单调递减，在()2,a ++∞上单调递增；且当x →-∞时，()()22120e xx a g x ----=→，当x →+∞时，()()()22e12xg x x a =---→+∞，因此，只需()()1222g a g a ⎧->⎪⎨+<⎪⎩，即()()2122e 1-e2a a -+⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得1a >.故答案为：()1,+∞【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线21:()C f x x a =+和曲线2:()2ln C g x x =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,)-+∞【解析】由题意得2()2,()(0)f x x g x x x''==>，设与曲线2()f x x a =+相切的切点为()211,x x a +，与曲线()2ln g x x =相切的切点为()22,2ln x x ，则切线方程为()21112y x x x x a =-++，即2112y x x x a =-+，()22222ln y x x x x =-+，即2222ln 2y x x x =+-，由于两切线为同一直线，所以1221222,2ln 2x x x a x ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩，得()21112ln 20a x x x =-->．令2()2ln 2(0)x x x x ϕ=-->，则22(1)(1)()2x x x x x xϕ+-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)单调递减，当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞单调递增．即有1x =处()ϕx 取得极小值，也为最小值，且为(1)1ϕ=-．又两曲线恰好存在两条公切线，即()a x ϕ=有两解，结合当0x →时，2x 趋近于0，ln x 趋于负无穷小，故()ϕx 趋近于正无穷大，当x →+∞时，2x 趋近于正无穷大，且增加幅度远大于ln x 的增加幅度，故()ϕx 趋近于正无穷大，由此结合图像可得a 的范围是(1,)-+∞，故答案为：(1,)-+∞【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线21:()C f x x =与曲线()12:e (0)x C g x a a +=>有且只有一条公切线，则=a ________．【答案】34e 【解析】设曲线()yf x =在1x x =处的切线与曲线()yg x =相切于2x x =处，()2f x x '=，故曲线()y f x =在1x x =处的切线方程为21112()y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-.()1e x g x a +'=，故曲线()y g x =在2x x =处的切线方程为()22112e e x x y a a x x ++-=-，整理得()22112ee 1x x y a x a x ++=--.故()()()2211121212e 2e 1x x x a x a x ++⎧=⎪⎨-=--⎪⎩由(1)再结合0a >知1>0x ，将(1)代入(2)，得21122(1)x x x -=--，解得122(1)x x =-且21x >，将122(1)x x =-代入(1)，解得()21241e x x a +-=且21x >，即()22141e x x a +-=且21x >，令21t x =+，则()42e tt a -=，2t >.令()()42ett h t -=，()()43ett h t ='-，则()h t 在区间(2,3)单调递增，在区间(3,)+∞单调递减，且()343e h =，又两曲线有且只有一条公切线，所以()42e tt a -=只有一个根，由图和0a >知34e a =.故答案为：34e .【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线ln y a x =和曲线2y x =有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l ，则l 的方程为________．【答案】2e e 0y --=【解析】设曲线()ln g x a x =和曲线2()f x x =在公共点00(,)x y 处的切线相同，则()()2,af x xg x x''==，由题意知()()()()0000,f x g x f x g x ''==，即002002ln a x x x a x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e ,2e a x ==故切点为(e,e)，切线斜率为()02e k f x '==，所以切线方程为e 2e(e)y x -=，即2e e 0x y --=，故答案为：2e e 0y --=方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【答案】(),e -∞【解析】设切线切点为()00,x y ，因()000ln ln 1ln x x x y x x '⎧=+⎪⎨=⎪⎩，则切线方程为：()()()00000011ln ln ln y x x x x x x x x =+-+=+-.因过()e,a ，则()001ln e -a x x =+，由题函数()()1ln e -f x x x =+图象与直线y a =有两个交点.()1e e --x f x x x'==，得()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减.又()()max e e f x f ==，()0,x f x →→-∞，(),x f x ∞∞→+→-.据此可得()f x 大致图象如下.则由图可得，当(),e a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线.故答案为：(),e -∞【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线y x b =+与曲线e x y ax =-相切，则b 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为()00,x y ，因为e x y ax =-，所以e x y a '=-，故切线的斜率为：0e 1x a -=，0e 1x a =+，则()0ln 1x a =+.又由于切点()00,x y 在切线y x b =+与曲线e x y ax =-上，所以000e xx b ax +=-，所以()()()()01111ln 1b a x a a a ⎡⎤=+-+=+-+⎣⎦.令1a t +=，则()1ln b t t =-，设()()1ln f t t t =-，()1()1ln ln f t t t t t ⎛⎫=-+⋅-=- ⎪⎝⎭'，令()0f t '=得：1t =，所以当()0,1t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数；当()1,t ∈+∞时，()0f t '<，()f t 是减函数.所以max ()(1)1f t f ==.所以b 的最大值为：1.故选：B.【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y ＝ax －a 与曲线ay x x=+相切，则实数a ＝（）A ．0B ．12C ．45D ．32【答案】C 【解析】由a y x x =+且x 不为0，得21a y x'=-设切点为()00,x y ，则00000201y ax a a y x x a ax ⎧⎪=-⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，即0002201a ax a x x x a x ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以320022200000111x x x x x x x +-+++=，可得042,5x a =-=.故选：C【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数()()2131f x a x bx c d =--+--在点()()1,1f 处的切线方程为10x y ++=，则a bc d-=-（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()2131f x a x bx c d f x -=-++--=，即0b =；由题意可得：()()113111f a b c d c d a a b =--+--=-+⇒-=-=-+，所以1a bc d-=--.故选：A【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知M 是曲线21ln 2y x x ax =++上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞-【答案】B【解析】函数21ln 2y x x ax =++的定义域为()0,∞+，且1y x a x'=++，因为曲线21ln 2y x x ax =++在其上任意一点M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以，1πtan 14y x a x '=++≥=对任意的0x >恒成立，则11a x x-≤+，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以，12a -≤，解得1a ≥-.故选：B.【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，0n >，直线11ey x m =++与曲线ln 2y x n =-+相切，则11m n+的最小值是（）A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】D【解析】对ln 2y x n =-+求导得1y x'=，由11e y x '==得e x =，则1e 1ln e 2em n ⋅++=-+，即1m n +=，所以()11112224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时取等号．故选：D ．方向5、切线的条数问题【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（）A ．2log m n >B ．2log n m>C ．2log m n<D ．2log n m<【答案】B【解析】作出函数2log y x =的图象，由图象可知点(,)m n 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以2log n m >，故选：B．【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．ln b a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D【解析】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点(),a b 可以且仅可以作曲线ln y x =的一条切线，则下列选项正确的是（）A ．0a ≤B ．ln b a=C ．ln a b=D ．0a ≤或ln b a=【答案】D【解析】设切点()00,ln P x x ．因为ln y x =，所以1y x'=，所以点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为切线经过点(),a b ，所以()0001ln b x a x x -=-，即001ln a b x x +=+.令()ln (0)a f x x x x =+>，则1y b =+与()ln (0)af x x x x=+>有且仅有1个交点，()221a x a f x x x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 单调递增，显然x →+∞时，()f x →+∞，于是符合题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，当x a >时，()0f x ¢>，()f x 递增，所以()min ()ln 1f x f a a ==+，则1ln 1b a +=+，即ln b a =．综上，0a ≤或ln b a =．故选：D方向6、切线平行、垂直、重合问题【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =，所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线平行，则实数p 的值为（）A ．4B ．4或-3C ．-3或-1D ．-3【答案】B【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由323y x px x =-+得2323y x px =-+'，由题意221122323323x px x px -+=-+，因为12x x ≠，则有1223x x p +=．把89x y -=代入323y x px x =-+得32992680x px x -++=，由题意112,3x p x -都是此方程的解，即32111992680x px x -++=①，321112229()9()26()80333p x p p x p x ---+-+=，化简为32311145299268033x px x p p -++--=②，把①代入②并化简得313120p p --=，即(1)(3)(4)0p p p ++-=，1,3,4p =--，当1p =-时，①②两式相同，说明12x x =，舍去．所以3,4p =-．故选：B ．【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线()e 1(1)x f x x =->-在点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <处的切线12,l l 互相垂直，且切线12,l l 与y 轴分别交于点,D E ，记点E 的纵坐标与点D 的纵坐标之差为t ，则（）A ．220et -<<B ．22e 0t -<<C ．22et <-D ．2e 2t >-【答案】A【解析】由题意知12x x <，当10x -<<时，()()1e ,e x xf x f x '=-=-，当0x >时，()()e 1,e x xf x f x =-'=，因为切线12,l l 互相垂直，所以()()121f x f x ''=-，所以12121210,e e e 1x x x xx x +-<<<-=-=-，所以1220,01x x x +=∴<<，直线1l 的方程为()()1111e e x x y x x --=--，令0x =，得()111e 1xy x =-+，故()()110,1e 1xD x -+，直线2l 的方程为()()222e 1e x x y x x --=-，令0x =，得()221e 1xy x =--，故()()220,1e 1xE x --，所以()()()()212221221e 1e 21e 1e 2x x x xt x x x x -=----=-++-，设()()()1e 1e 2,(01)x xg x x x x -=-++-<<，则()()e e 0x x g x x -'=-+<，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()1()0g g x g <<，即220et -<<，故选：A.【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a 的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】C【解析】因为()sin f x ax x =+，所以()cos f x a x '=+，因为函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数()sin f x ax x =+在1x x =和2x x =的切线互相垂直，则()()12cos cos 1a x a x ++=-，即()22121cos cos 1cos cos 0a a x x x x ++++=①，因为a 一定存在，即方程①一定有解，所以()()22121cos cos 41cos cos 0x x x x ∆=+-+≥，即()212cos cos 4x x -≥，解得12cos cos 2x x -≥或12cos cos 2x x -≤-，又|cos |1x ≤，所以12cos 1,cos 1x x ==-或12cos 1,cos 1x x =-=，Δ0=，所以方程①变为20a =，所以0a =，故A ，B ，D 错误.故选：C.【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点,P Q ，使得在这两点处的切线重合，则称()f x 为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（）A ．421y x x =-+B ．sin y x =C ．cos y x x =+D ．2sin y x x=+【答案】D【解析】对于A ，()421f x x x =-+显然是偶函数，()'32242422f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当x <时，()'0f x <，单调递减，当0x <<时，()'0f x >单调递增，当02x <<时，()'0f x <，单调递减，当2x >时，单调递增；在2x =时，()'0f x =，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A 是“切线重合函数”；对于B ，()sin f x x =是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B 是“切线重合函数”；对于C ，考察()(),1,3,31A B ππππ--两点处的切线方程， '1sin y x =-，,A B ∴两点处的切线斜率都等于1，在A 点处的切线方程为()()11y x ππ--=- ，化简得：1y x =+，在B 点处的切线方程为()()3113y x ππ--=- ，化简得1y x =+，显然重合，∴C 是“切线重合函数”；对于D ，'2cos y x x =+，令()2cos g x x x =+，则()'2sin 0g x x =->，()g x 是增函数，不存在12x x ≠时，()()12g x g x =，所以D 不是“切线重合函数”；故选：D.【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩，图象上不同的两点，若函数()y f x =在点A 、B 处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当0x ≤时，()2f x x x a =++的导数为()21f x x '=+；当0x >时，()ln f x x x a =-的导数为()ln 1f x x '=+，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数图象上的两点，且12x x <，当120x x <≤或120x x <<时，12()()f x f x ''≠，故120x x ≤<，当10x ≤时，函数()f x 在()()11,A x f x 处的切线方程为：21111()(21)()y x x a x x x -++=+-；当20x >时，函数()f x 在()()22,B x f x 处的切线方程为2222ln (ln 1)().y x x a x x x -+=+-两直线重合的充要条件是21ln 121x x +=+①，221x a a x --=-②，由①②得：12211(e )2xa x =-，10x ≤，∴令221()(e )(0)2x g x x x =-≤，则2()e x g x x '=-，令2()()e x h x g x x '==-，则2()12e x h x '=-，由()0h x '=，得11ln 22x =，即11ln 22x =时()h x 有最大值11111(ln )ln 022222h =-<，()g x ∴在(],0-∞上单调递减，则1()(0)2g x g ≥=-.∴a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.方向7、最值问题【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线1e x y +=上，点Q 在曲线1ln y x =-+上，则||PQ 最小值为（）A B ．C 2)ln +D 2)ln -【答案】B【解析】1e x y += 与1ln y x =-+互为反函数，其图像关于直线y x =对称先求出曲线1e x y +=上的点到直线y x =的最小距离．设与直线y x =平行且与曲线1e x y +=相切的切点0(P x ，0)y ．1e x y +'=，01e 1x +=，解得01x =-．110e 1y -+∴==．得到切点(1,1)P -，点P 到直线y x =的距离d =||PQ ∴最小值为故选：B ．【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线1ln 2y x =上，则||PQ 的最小值为（）A ln 2)2-B ln 2)-C ln 2)+D ．(1ln 2)2+【答案】D【解析】2e x y =与1ln 2y x =互为反函数，它们图像关于直线y x =对称；故可先求点P 到直线y x =的最近距离d ，又22e x y '=，当曲线上切线的斜率022e 1x k ==时，得01ln 22x =-，0201e 2xy ==，则切点11ln 2,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y x =的距离为ln 2)4d =+，所以||PQ 的最小值为2ln 2)d =+．故选：D ．【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线ln ln 2y x =-上，则||PQ 的最小值为（）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．2(1ln 2)+D ln 2)+【答案】D【解析】2e x y = 与ln ln 2y x =-互为反函数，所以2e x y =与ln ln 2y x =-的图像关于直线y x =对称，设()2()x f x e x x R =-∈，则()2e 1x f x '=-，令()0f x '=得1ln 2x =，则当1ln2x <时，()0f x '<，当1ln 2x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(,ln )2-∞单调递减，在1(ln ,)2+∞单调递增，所以11()(ln )1ln 022f x f ≥=->，所以2e x y =与y x =无交点，则ln ln 2y x =-与y x =也无交点，下面求出曲线2e x y =上的点到直线y x =的最小距离，设与直线y x =平行且与曲线2e x y =相切的切点0(P x ，0)y ，2e x y '= ，02e 1x ∴=，解得01ln ln 22x ==-，1ln202e1y ∴==，得到切点(ln 2,1)P -，到直线y x =的距离ln 2)2d +==，||PQ的最小值为2ln 2)d +，故选：D ．【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c ，d 满足|ln(1)||2|0a b c d --+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．B ．8C ．4D ．16。
高考数学一轮复习 3.14 导数的概念及运算课件 理
【知识要点】
1．平均变化率及瞬时变化率
Δy
(1)函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率用__Δ__x____
表示，且ΔΔxy＝f（x2）x2－－fx（1 x1）.
_f_′_(x_0_)__；切线方程为__y_－__f(_x_0_)＝___f′_(x__0)_(_x_－__x_0_)_． 物理意义：若物体位移随时间变化的关系为 s＝
f(t)，则 f′(t0)是物体运动在 t＝t0 时刻的___瞬__时__速__度___．
4．基本初等函数的导数公式
(1)常用函数的导数
(3)gf（（xx））′＝f′_（__x）__·_g_（__x[g）_（_－x_）f_（_]2x_）__·_g_′_（__x）__(g_(_x)_≠_0．) 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数 y ＝f(u)和 u＝g(x))的复合函数为 y＝f(g(x))．
③(cos x)′＝__-_si_n_x___； ④(ex)′＝____ex____；
1
⑤(ax)′＝____a_xl_n_a____； ⑥(ln x)′＝___x_____； ⑦(logax)′＝___x_l_n1_a____．
5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝________f_′(_x_)_±__g_′(_x_)_______； (2)[f(x)·g(x)]′＝___f_′(_x_)_·__g_(x_)_＋__f_(x_)_·__g_′_(x_)___；
2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算课件
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故 f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是
()
A．(e2x)′＝2e2x
导函数 f′(x)＝____0____ f′(x)＝__n_x_n_－_1__ f′(x)＝___co_s_x___ f′(x)＝__－__si_n_x__
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x(x>0)
f′(x)＝___a_x _ln_a__
关键能力·题型剖析
题型一导数的运算
例1 (1)(多选)[2024·河南南阳模拟]下列求导数的运算正确的是( )
A．(x3－1x)′＝3x2＋x12
B．(ln 2)′＝12
C．(xex)′＝(x＋1)ex
D．(sin
3x)′＝cos
x 3
答案： AC
(2)[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x) 的导函数，则f(2)＝( )
【常用结论】 1．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切时只有一个公共点． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导 数还是周期函数．
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
2024版高考数学总复习：导数的概念及运算课件
′ ′ − ′
＝
2
(g(x)≠0)．
1．和差的导数运算法则可以推广到任意有限个可导函数的和差求导
运算．
2．应用积商的导数运算法则时要注意，不能对构成积商的两个函数
简单求导．
5．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它
×
×
1
2
3
4
5
)
2．曲线y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程是(
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
)
C 解析：y′＝cos x＋ex，令x＝0得切线的斜率k＝2，切线方程为y＝
2x＋1，即2x－y＋1＝0.
1
2
3
4
5
3．函数y＝cos (1＋x2)的导数是(
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．
(
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．
(
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
( × )
(
)
√
(
)
×
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．
(5)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cos x．
)
点M的坐标为_________．
(－2，9)
解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x. 令4x0＝－8，则x0
＝－2，所以f(x0)＝9，所以点M的坐标为(－2，9)．
1
2
3
4
5
5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线为y＝－2x＋5，则f(2)＋
2025届高中数学一轮复习课件《导数的概念与运算》ppt
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数 y＝f(x)，我们把比值ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0叫做函数 y＝f(x)从
x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高考一轮总复习•数学
第17页
解析：(1)函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝3；因为 f′(x)＝2x，所以
f(x)在
强调概念，平均变化率＝f22－－f11.
x＝2 处的导数为 2×2＝4.故答案为 3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim
(2) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 ， 先 算 函 数 值 的 变 化 量
Δy
，
再
算
比
值
Δy Δx
＝
fx＋ΔΔxx－fx，再这里有两个量，Δx 和 x，在求极限过程中，x 暂时理解为常量，此时 Δx
为变量，在极限结果中，Δx 消失，此时 x 可以看作变量了．
求极限 y′＝li m
高考一轮总复习•数学
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2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析 答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x， 则 f′(1)＝________. 答案 －3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析 由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析 答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数及其应用》课件ppt
∴3k≥xsin
x－cos x2
xmax，
令
F(x)＝xsin
x－cos x2
x，F′(x)＝x2cos
x＋2cos x3
x>0，x∈0，π2，
∴F(x)在0，π2上单调递增，F(x)<Fπ2＝2π，
值点”的个数为
A.3 √B.2
C.1
D.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
函数f(x)＝x3－3x， 则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3， 由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)， 得f′(c)＝1，即3c2－3＝1， 解得 c＝±233∈[－2,2]， 所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)x－2n＋3 m， 若m<0，则f′(x) 是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m<2n＋3 m，则 n>m，即mn <1； 若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m>2n＋3 m，则 n<m，即mn <1， 综上，mn <1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈0，1e时，y′<0，函数 单调递减，当 x∈1e，＋∞时，y′>0，函数单调递增，所以函数 y＝ xln x 在 x＝1e处取得极小值； 对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x 在R上单调递减，没有极值点.
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算课件
解析
∵y′＝xcos
x－sin x2
x，∴y′|x＝π2＝－π4 2，当
x＝π2 时，y
＝π2 ，∴切线方程为 y－π2 ＝－π42x－π2 ，即 y＝－π42x＋π4 .
答案 C
4.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切 线方程为y＝2x，则a＝________. 解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2， 所以 a＝3. 答案 3
5.(2017·丽水调研)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线 方程是y＝－x＋8，则f′(5)＝________；f(5)＝________.
解析 f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3. 答案 －1 3
6.(2017·舟山调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝12f′(1)e2x－2＋ x2－2f(0)x，则 f(0)＝________；f(x)＝________. 解析 ∵f(x)＝12f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x， ∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)， ∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，∴f(0)＝1， 即 1＝12f′(1)e－2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x. 答案 1 e2x＋x2－2x
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝__α_xα_－_1 ___ f′(x)＝_c_os__x__ f′(x)＝－__si_n_x__
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝__ex__
考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数：
第1节导数概念及其意义、导数运算--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y =1,y= 的导数.
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
5.会使用导数公式表.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.导数的概念
x
x f(x)
[f(x)]2
x
2.[e f(x)]'=e
x
f(x) f'(x)-f(x)
[f(x)+f'(x)],[ x ]'= x .
3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周
期函数.
4.曲线在点P处的切线,则P就是切点,此时切线有且仅有一条;曲线过点P的
切线,则P不一定是切点,此时切线可能有多条.
y=f(x)在点P处的切线的斜率.
3.导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈R,且α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x
导数
f'(x)= 0
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
第1节 导数概念及其意义、导数运算
领航备考路径
2021
2022
2023
新课标核心考 2020
点
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
高三数学一轮复习 第2篇 第10节 导数的概念与计算课件 理
精选ppt
10
3.(2013 枣庄模拟)若 y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导 函数 y=f′(x)( B ) (A)既是周期函数,又是奇函数 (B)既是周期函数,又是偶函数 (C)不是周期函数,但是奇函数 (D)不是周期函数,但是偶函数
解析:因为 y=f(x)是周期函数,则有 f(x+T)=f(x),两边同时求导, 得 f′(x+T)(x+T)′=f′(x),即 f′(x+T)=f′(x), 所以导函数为周期函数. 因为 y=f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 两边求导得 f′(-x)(-x)′=-f′(x),即-f′(-x)=-f′(x), 所以 f′(-x)=f′(x),即导函数为偶函数,故选 B.
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3
夯基固本
考点突破
思想方法
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4
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.函数的平均变化率
(1)概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从
x2 x1
x
x1 到 x2 的 平均 变化率.
(2)几何意义:函数 y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线
gx
g x2
(2)复合函数的导数 复合函数 y=f(ax+b)的求导法则为[f(ax+b)]′=af′(ax+b).
精选ppt
8
基础自测
1.若函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),
则 y 等于( C ) x
(A)4
(B)4x
(C)4+2Δx (D)4+2Δx2
2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算pptx课件
(4)sin
π3′＝
23′＝0.
(5)(2x)′＝2xln 2.
究函数的极
Ⅱ，11,22
求参数范围 运算求解
值、最值
综合性
逻辑推理 数学运算
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
利用导数研 2022新高考 究函数的单 比较大小
Ⅰ，7 调性
逻辑思维
数学运算
综合性
运算求解
逻辑推理
2022新高考 利用导数研
Ⅰ，22；
求 值 ； 研 究 不 逻辑思维
究函数的零
2021新高考
逻辑思维
综合性
数学运算 逻辑推理
2022新高考 导数的概念 由 切 线 条 数 求 运算求解 综合性 数学运算
Ⅰ，15 和运算 取值范围
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考
Ⅰ，7； 导数的概念 求切线方程
2022新高考 和运算
运算求解 创新性 数学运算
Ⅱ，14
求解函数的单 2021新高考 利用导数证 调 性 、 极 值 点 逻辑思维
第一讲 导数的概念及运算
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－－fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
2．导数的概念
导数及其应用
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标 利用导数研 讨 论 函 数 的 单
Ⅰ，19；
调 性 ； 由 单 调 逻辑思维 究函数的单
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概念及基本运算(共33张PPT)
2014高考导航
考纲解读 1.了解导数概念的某些背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲 线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义．理解导函数的概念． 2.熟记基本导数公式(C，xm(m为有理数)，sin x，cos x，ex， ax，ln x，logax的导数)．掌握两个函数和、差、积、商的 求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数 的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系．了解可导函数
目录
【名师点评】 对于未给出切点的求切线方程时，先设出切 点坐标，建立切线方程，再利用过已知点求切点坐标．
目录
跟踪训练
(2011·高考湖南卷)曲线
y＝sin
sin x x＋cos
x－12在点
Mπ4，0处的切
线的斜率为( )
A．－12
B.12
C．－
2 2
D.
2 2
目录
解析：选
B.y′＝cos
xsin
目录
考点3 导数的几何意义及应用 函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x ＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x) 在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
目录
例3 已知曲线 y＝13x3＋43.求曲线过点 P(2,4)的切线方程． 【思路分析】 过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出 切点坐标．
f′(3)＝ lim Δx→0
f3＋ΔΔxx－f3＝－2，
设 x－3＝Δx 进行转化．
目录
【解】 设 Δx＝x－3. ∴x→3 时，即 Δx→0，∴x＝Δx＋3，
∴lim x→3
2x－ x－33fx＝Δlixm→0
23＋Δx－3f3＋Δx Δx
＝ lim Δx→0
－3f3＋Δx＋2×3＋2Δx Δx
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【解】
(1)∵y＝(1－
x)(1＋ 1 )＝ 1 － xx
x＝x－12－x12，
∴y′＝(x－12)′－(x12)′＝－12x－32－12x－12.
(2)y′＝(lnxx)′＝ln
x′x－x′ln x2
x＝1x·x－x2ln
x＝1－xl2n
x .
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
＝－3 lim Δx→0
f3＋ΔΔxx－f3＋2
＝－3×(－2)＋2＝8.
【名师点评】 导数定义的另一种形式：
f′(x0)＝xl→imx0 fxx－－fx0x0.
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考点2 求函数的导数 求函数的导数时要准确地把函数分割为基本初等函数的和、 差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．
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例2 求下列函数的导数： (1)y＝(1－ x)(1＋ 1x)；(2)y＝lnxx；(3)y＝xex； (4)y＝x2sin x；(5)y＝cos(3x－π6)． 【思路分析】 (1)展开后按多项式求导；(2)按商式的求导法 则；(3)(4)根据积式的求导法则；(5)按复合函数求导法则．
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【解】 设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0， 13x30＋43)，则切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝x20， ∴切线方程为 y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)， 即 y＝x20·x－23x30＋43.∵点 P(2,4)在切线上， ∴4＝2x20－23x30＋43，即 x30－3x20＋4＝0， ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求的切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 有关导数的概念 导数是由极限求出来的，所以导数与极限有必然的联系，要 特别注意左、右导数，同时注意与连续的关系，连续不一定 可导，可导一定连续．
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例1 对于函数 f(x)，已知 f(3)＝2，f′(3)＝－2，
求lim x→3
2x－ x－33fx的值．
【思路分析】
在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧
异号)．会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和
最小值.
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思考探究 1．函数y＝|x|在x＝0处连续吗？在x＝0处可导吗？
提示：由连续定义可知，y＝|x|在 x＝0 处连续，但不可导．因
为 lim Δx→0－
f0＋ΔΔxx－f0＝Δlxi→m0－
(4)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(5)y′＝[cos(3x－π6)]′＝[－sin(3x－π6)](3x－π6)′
＝－3sin(3x－π6)．
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【思维总结】 和、差、积、商的导数利用公式和法则求导； 复合函数的导数，要分清复合关系，选好中间变量，由外到 内逐层求导．
x＋cos sin
x－cos x－sin x＋cos x2
xsin
x
＝ sin
1 x＋cos
x2，故
y′x＝π4＝21，
∴曲线在点 Mπ4，0处的切线的斜率为12.
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方法感悟
－ΔΔxx＝－1，
lim
Δx→0＋
f
0＋Δx－ Δx
f0＝ lim Δx→0＋
ΔΔxy不存在．故不可导．
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2．y＝x3在原点处存在切线吗？ 提示：存在．y＝x3在x＝0处的导数为0即在原点处的切线的斜 率为0，故切线为x轴．
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课前热身
1．(教材改编)曲线 y＝13x3 在点(1，13)处的切线的斜率为(
)
A.13 C．2
B．3 D．1
答案：D
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2．若 f(x)＝ ax2－1，且 f′(1)＝2，则 a 的值为( )
A．1 C. 2
答案：B
B．2 D．0
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3．若f(x)＝sin x，则[f′(x)]′＝( ) A．sin x B．cos x C．－sin x D．－cos x 答案：C 4．已知曲线y＝x3，则过曲线上一点P(1,1)的曲线的切线方程 为________． 答案：3x－y－2＝0 5．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2.则x0＝__________. 答案：e