第4讲-均匀各向同性湍流讲解

不可压缩流中的二阶函数
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均匀各向同性的相关函数谱张量（3）
相关函数和谱张量的性质 不可压缩流中的拟涡能

湍动能耗散率Байду номын сангаас
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不可压缩均匀各向同性湍流（1）
动力学方程 谱方程

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能量传输链
− 假定 小尺度统计特性由耗散率和流体粘性确定
Kolmogorov-5/3幂次律
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Kolmogorov认为：在某一尺度范围内，湍流脉动可以视 作独立于大尺度运动的子系统，一方面有源源不断的能量 输入；另一方面又输出动能到耗散区，从而使该系统达到 局部的统计平衡态。
高等流体力学
第4讲 均匀各向同性湍流
宋 丹
海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering
wanzhanhong@zju.edu.cn DOSE, Zhejiang University
内容
均匀各向同性湍流的相关函数 和谱张量
− − − − 统计理论 均匀各向同性湍流 相关函数和谱张量的性质 相关函数的简化
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因为在该模型中，流场不对任何特定方 向存在特殊性，所以流场及其有关变量的 相关函数只需要最少数目的量和关系式来 描述，因而有可能用统计的方法取得较多 的成果。 实际上现有湍流统计理论的成果绝大部 分都是建立在均匀各向同性的假设之上得 到的。 均匀各向同性包含两层意思：均匀性与 各向同性。
不可压缩均匀各向同性湍流（ 2 ） 动力学方程
谱方程的简化
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忽略非线性项，得到粘性耗散的作用规律
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不可压缩均匀各向同性湍流（3）
均匀各向同性湍流中湍动能波数谱演化的方程
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不可压缩均匀各向同性湍流（ 8 ） 能量传输链
含能波数kin和含能尺度L 能谱最大值的波数定义为含能波数kin，它的倒数定义为 含能尺度L，含能尺度是指该尺度量级内的湍流脉动几乎 占有全部的湍动能，在含能尺度范围内，包含总能量k， 它向小尺度传递的能量为epsin,它们之间L~k3/2/epsin， 在含能尺度范围内，湍动能通过惯性传输能量，而湍动能 耗散几乎可以忽略，也就是，含能尺度范围内，惯性主宰 湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。
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自 20 世纪 40 年代苏联科学家 Kolmogorov （ 1941 ）提出 局部各向同性湍流的概念及其普适湍动能谱，开创了对小 尺度湍流脉动一般性质的研究。
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均匀各向同性的相关函数谱张量（2）

相关函数和谱张量的性质
相关函数—二阶函数
能谱曲线的水平段就是在有限雷诺数条件下的惯性子区。 可以看到，湍流雷诺数愈高，惯性子区愈宽。
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均匀各向同性的相关函数谱张量（1）

均匀各向同性湍流
均匀湍流
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− 如果任意 n 点空间几何构形在空间中平移时，脉动速 度的任意 n 阶统计相关函数的值不变，则称该湍流场 是均匀的
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均匀各向同性湍流
− 如果任意 n点统计相关函数不仅和几何构形的平移无关，而且 和几何构形的刚体转动无关，则称该湍流场是均匀各向同性的
耗散区尺度又称Kolmogorov尺度。在耗散尺度范围内的 湍流脉动是粘性主宰的，称为耗散区。
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惯性子区尺度 在高雷诺数湍流区，含能区和耗散区几乎完全分离，即 L>>eta。这时，把既远离含能区、又远离耗散区的范围定 义为惯性子区，惯性子区的尺度用l表示，应有 Eta<<l<<L 由于l>>eta，惯性子区中湍动能耗散不是主要的，湍动能的 传输是主要的；由于l<<L，大尺度含能涡的影响已经十分 微弱。 在惯性子区中，湍动能输运为：湍流脉动从大尺度湍涡逐级 向小尺度涡传输，湍涡接受大尺度脉动传来的能量而无耗 散，它转而把能量传给更小尺度的湍涡，由于惯性子区远 离耗散区，这股能量保持它的大小并传到耗散区。
不可压缩均匀各向同性湍流
− 动力学方程 − Reynolds应力方程 − 能量传输链
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引言——统计理论
湍流运动在时间和空间上随机，所以要 得到湍流场的运动参量，只有采用统计的 方法，就像研究气体分子运动一样。 且不管这种观点是否偏颇，长期以来统 计方法的确在湍流研究中起了很大作用， 得到许多与实验相符合的结果，因而逐渐 形成了湍流的统计理论。
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耗散波数和耗散区尺度 只有湍动能耗散、而能量传输几乎为零的波数定义为耗散 波数kd，它的倒数定义为耗散区尺度ld。
由量纲分析可以得到
Ld=eta~(v3/epslin)1/4, v~(epsin*v)1/4
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前者是指湍流场的统计平均量以及与其 相关的性质与空间位置无关，即坐标系平 移不改变平均值函数；后者则表示湍流的 统计平均性质与空间的方向无关，在坐标 系的任意旋转与反射下，平均值函数保持 不变。 为简单起见，在实际应用中通常都假定 均匀各向同性湍流是对固定坐标系或以一 恒定速度运动的坐标系而言的。
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均匀各向同性湍流虽然是一种理想化模 型，但实际流场中确实存在接近于这种理 想模型的情况，如风洞实验段核心区的流 场、网格后的流场等。 更重要的是，由Kolmogorov的局部各 向同性湍流理论可知，在高Re数下，许多 从整体上看为非各向同性的流场，在具有 小尺度涡量级范围的局部流场内却具有接 近于均匀各向同性的特征。即非各向同性 湍流的精细结构几乎是各向同性的。
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理论上，各向同性湍流是一种最简单的湍流，便于做理论 和数值上的研究。实际上，严格意义上的各向同性湍流几 乎不存在。 研究有两个意义： 1）各向同性湍流具有湍流质量、能量 输运的基本属性，这些性质对于研究一般湍流十分重要； 2）虽然严格意义上的各向同性湍流并不存在，但是远离 海面、海岸和海底的浩瀚海洋（大洋内区）中的湍流可以 近似为各向同性的。
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此外，对均匀各向同性湍流的了解能为 研究非各向同性湍流提供基础和依据，所 以研究均匀各向同性湍流具有实际意义。 总之，湍流统计理论从随机性出发，但 一个随机场的描述非常困难，所以均匀各 向同性假设是必需且合理的。
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Big whirl have little whirls Which feed on their velocity Little whirls have small whirls And so on to viscosity
大涡用动能哺育小涡， 小涡照此把儿女养活， 能量沿代代旋涡转递， 但终于耗散在粘滞里。
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柯尔莫果洛夫提出，湍流能量从大尺度湍涡逐级连续地输 送到小尺度湍涡，这个湍能在尺度谱上的流动，一直到最 小的内尺度，由分子粘性把它们耗散为热能。 柯尔莫果洛夫认定湍能级串过程是一个连续输送过程，大 涡从外界得到的非均匀各向同性，在一代代、一级级地往 小尺度湍涡输送过程中被消磨掉，最后可以得到均匀各向 同性的小涡。柯尔莫果洛夫从这个物理模型中得到了唯一 决定惯性子区间湍涡统计结构的物理因子──湍能耗散率 。从此出发，人们用量纲分析法就不难得到小尺度湍涡结 构函数的2/3 定律， 以及一维湍谱或标量场湍谱的－5/3 定律。
能量谱方程
记
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湍动能的分布E(k):大尺度脉动含有湍动能的绝大部分，而 小尺度脉动含有很少动能（能量的绝大部分在能谱值最大 的小波数附近）。 惯性作用的输运T(k):大尺度脉动（小波数）输出能量（ T(k)<0），小尺度脉动则通过惯性输入能量 湍动能耗散vk2E(k)：小尺度脉动占有湍动能耗散的绝大 部分，而大尺度脉动的耗散很少。 上述结果描述了不可压缩各向同性湍流场中湍动能输运的 图像:大尺度湍流脉动犹如一个很大的湍动能的蓄能池， 它不断地输出能量；小尺度湍流好像一个耗能机械，从大 尺度湍流输送来的动能在这里全部耗散掉；流体的惯性犹 如一个传送机械，把大尺度脉动动能输送给小尺度脉动。 流动的雷诺数愈高，蓄能的大尺度和耗能的小尺度之间的 惯性区域愈大。
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所谓湍流统计理论就是用流体力学和 统计方法研究湍流。从统计观点出发， 要完全描述一个随机场就必须掌握无穷 多个联合概率分布函数的信息，这对于 一般湍流场来说是办不到的，只有在特 殊的流场中才能部分地实现。 30年代，Taylor首先提出了一种最简 单的理想化湍流模型，即均匀各向同性 湍流。
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不可压缩均匀各向同性湍流（9）

能量传输链
特征尺度
惯性区 惯性子区
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耗散区
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在流动的雷诺数很大时，湍动能谱和耗散谱几乎完全分离 。如果把各种波数的脉动成分看作不同尺度的湍涡，它可 形象地示于（b）,有一股能量以T(k)的速率从大尺度涡向 小尺度涡传输。