3.1.3可线性化的回归分析解析

y
4.61－0.313 x
＝e
4.16
· e
－0.313
x
，因
此电压 U 对时间 t 的回归方程为 U＝e4.61· e－0.313 x.
课时小结：
建立回归模型的基本步骤： •(1)画出散点图，观察它们之间的关系(如是否存 在线性关系等)． •(2)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈 线性关系，则选用线性回归方程y＝a＋bx)． •(3)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二 乘法)． •(4)得出结果后分析是否有异常，若存在异常， 则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
e(2) 47.7 19.397 -5.835
-41.003
-40.107
-58.268
77.965
在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际 问题需要注意的问题：对于同样的数据，有不 同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方 法分析数据。
现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合 红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：
根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y 与 x 具有较强的线性相关关系，由表中数据求得 x ＝5， y ≈3.045，进而可以求得 b≈－0.313，a＝ y －b x ＝4.61，所 以 y 对 x 的线性回归方程为 y＝4.61－0.313x.
由 y＝ln U，得 U＝e ，U＝e
2．解决非线性回归问题的方法及步骤： •(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y； •(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数( 幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟 合效果好的函数模型； •(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为 线性回归问题； •(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或相关系数 等来判断拟合效果； •(5)写出非线性回归方程．
书面作业（参考课本P82）
1、课本P86习题3—1第3,4题 2、《名师一号》P66课前热身和 P68梯度训练 阅读作业 《名师一号》P67和P68
课后反思：（1）本节课探讨可线性化的回归分析， 重点是会将四种非线性回归模型经过变换转化为线 性回归模型，进而进行回归分析；（2）由于学生 对必修1中的函数模型有些遗忘，所以需要对常见 函数模型进行复习回顾，可以将四种模型的图像画 在黑板上，特别是将非线性回归模型转化为线性函 数模型的方法与技巧需要作探讨交流，以加深学生 的印象；（3）可线性化的回归分析在现实生活中 有重要的实际意义，因此指导学生掌握可线性化的 回归分析方法非常重要；（4）本节课以学生动手 操作为主，教师引导即可，因为时间关系，未做练 习。
u＝a＋bv
y ＝a ＋ bln x
• 例2 (12分)在一化学反应过程中，化学物质的反应速度 • y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测 数据列于表中：
催化剂的量x/g 15 18 21 24 27 30 33 36 化学物质的反 6 应速度 • y/(g·min－1)
审题指导
z 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40
z
x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合
z = ax+b+e
2 2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 t = x ,则y=c3t+c4 ,列出 变换后数据表并画出t与y 的散点图
t y
350 300 250 200 150 100 50 0 0
y ax b e, y c1e
其主要内容和步骤是： 首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变 量和因变量； 其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描 述变量间的关系；
由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归 模型进行统计检验； 统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变 量去估计、预测因变量。
1．可线性化的回归分析 •当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助 于散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数 函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函 数模型，利用变量代换转化为线性函数关系， 从而使问题得以解决．
∴ t ＝1.55， y ＝7.2.
i＝1
tiyi－5 t y
2 2 t － 5 t i 5
5
b＝
≈4.134 4.
i＝1
a＝ y －b t ≈0.8.
∴y＝0.8＋4.134 t.
4.134 ∴y 与 x 的回归方程是 y＝0.8＋ x .
•
求回归方程，应注意首先对样本点是否线 性相关进行检验，因为对于任何一组样本点，都 可以根据最小二乘法求得一个线性回归方程，但 这条线性回归方程是否较好地反映了样本点的分 布呢，显然不一定，特别是对于不呈线性相关的 回归模型．可以通过散点图或求相关系数r首先作 出是否线性相关的检验，然后再选择恰当的回归 模型进行模拟.
(2) 2
ˆ e
(2) i
ˆ = yi - y
1 21 7 2
(2)
= yi - 0.367x + 202.54,
差
3 25 21 1.76
2
残
编号 x y 23 11
表
4 27 24 -9.149 5 29 66 8.889 6 32 115 -14.153 7 35 325 32.928
e(1) 0.52 -0.167
3.1.3可线性化的回归分析
6月14日 星期五
【课标要求】
•会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归 模型，进而进行回归分析．
【核心扫描】
•学习本节后还应初步会将简单的非线性回归问 题转化为线性回归问题．(重点、难点)
回归分析的内容与步骤：
回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释 另一变量的变化。
8
30 27 70 205 65 350
试建立变量y关于x的回归方程.
解答本题可先画出散点图，再选择适宜的回归方程求解．
【解题流程】
•[规范解答] 根据收集的数据，作散点图(如图)， 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在 c2 x 某一条指数函数曲数 y c1e 的周围，其中c1和c2 是待定的参数．令z＝ln y， •则z＝ln y＝ln c1＋c2x， •即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a ＝ln c1，b＝c2)的周围．（2分）
从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能 用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中 在一条指数曲线或二次曲线的附近。
解: 1)用y = c1ec2x 模型; 令 z = lny 则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图
x z 21 23 25 27 29 32 35 1.946 2.398 3.045 3.178 4.19 4.745 5.784
(4分)
由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：
x z 15 1.792 18 2.079 21 3.401 24 3.296 27 4.248 30 5.323 33 4.174 36 5.858
作出z与x的散点图(如图)．
(6分)
(8分)
•由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一 条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合 由z与x的数据表，可得线性回归方程： •z＝0.848＋0.81x， •所以y与x之间的非线性回归方程为： •y＝e－0.848＋0.81x. （12分） • 题后反思：可线性化的回归分析问题，画出已 知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函 数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散 点图，用线性回归模型拟合．
0.062 5 0.25 1 4 16 21.312 5
256 144 25 4 1 430
i＝1
xiyi－5 x y
2 － 5 x x2 i 5
5
∴ x ＝1.55， y ＝7.2. b＝
≈－3.53.
i＝1
a＝ y －b x . 所求的 y 与 x 之间的回归方程是 y＝12.67－3.53x.
本题的样本点恰好不是线性相关的．根据散点图可 k 以发现 y 与 x 近似地呈反比例函数关系， 即 y＝x的关系(如图)， 1 1 令 t＝x，则 y＝kt，即 y 与x 呈线性相关的关系．
[正解] 根据散点图可知 y 与 x 近似地呈反比例函数关系，设 1 k y＝x，令 t＝x ，则 y＝kt，原数据变为：
t y
4 16
2 12
1 5
0.5 2
0.25 1
• 由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关 系，列表如下：
序号 1 2 3 4 5 ∑ ti 4 2 1 0.5 0.25 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 t iy i 64 24 5 1 0.25 94.25 t2 i 16 4 1 0.25 0.062 5 21.312 5 y2 i 256 144 25 4 1 430
3．非线性变量关系转化为线性变量关系： •在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定 都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数 关系或对数关系等非线性关系等．在某些情况 下可以借助于线性回归模型研究呈现非线性关 系的两个变量之间的关系． •我们往往将两个非线性的变量关系转化成线性 的变量关系．例如，将幂函数曲线y＝axb转化为 u＝c＋bv.其中u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a；将指 数曲线y＝aebx转化为u＝c＋bx.其中u＝ln y，c＝ ln a.
• 试求：电压U对时间t的回归方程． • (提示：对公式两边取自然对数，把问题转化 为线性回归分析问题)
• 对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ 解： ln U，a＝ln A，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的 数据如下表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6
曲线方 程 曲线图形 变换公 变换后的 式 线性函数
y＝aebx
c＝ln a u＝ln y
u＝c＋bx
自主交流：
曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的 线性函数
c＝ln a 1 v＝ x u＝lnபைடு நூலகம்y
u＝c＋bv
自主交流：
曲线方程 曲线图形 变换公 变换后的 式 线性函数 v＝ln x u ＝y
【练习】 • 电容器充电后，电压达到100
V，然后开始 放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的 规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间 t(s)时的电压U(V)如下表： t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5
U/V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5
• 例1在一次抽样调查中测得样本的5个样本点， 数值如下表： x y 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1
试建立y与x之间的回归方程．
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
x2 i
2
y2 i
1
[错解] 由已知条件制下表： 序号 1 2 3 4 5 ∑ xi 0.25 0.5 1 2 4 7.75 yi 16 12 5 2 1 36 x iy i 4 6 5 4 4 23
例2：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集 了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
温度x 21 产卵数y 7 23 11
350 300
25 21
27 24
29 66
32 115
35 325
解:1)作散点图;
产卵数
250
200
150
100
50
0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36
b x
交流与探讨：利用变量代换将下列函数模型化为线性函数模型： （） 1 y=axb；（2）y=aebx；（3）y=ae ；（4）y=a+blnx.
自主交流：常见非线性回归方程的回归模型
曲线方程
曲线图形
变换公 变换后的 式 线性函数
y＝axb
c＝ln a v＝ln x u＝ln y
u＝c＋bv
自主交流：
441 7
529 11
625 21
y
729 24
841 1024 1225 66 115 325
y
200
400
600
800
1000
1200
1400
散点并不集中在一条直线的附近，因此用线 性回归模型拟合他们的效果不是最好的。
(1) 0.272x-3.843 ˆ , 非线性回归方程 y = e
ˆ = 0.367x - 202.54 二次回归方程 y 残差公式 (1) (1) 0.272x-3.843 ˆ i = yi - y ˆ = yi - e e , (i = 1,2...7)