泊松过程

nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子

考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数：
Tn 的特征函数： Tn 的数字特征：
FTn (t ) P{Tn t} (1 et )u(t )
泊松增量是平稳平稳的。
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 的导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
d Z (t ) X (t ) dt
Z(t) (t ti )
i
X(t) u (t ti )
i
t0
t1 t2
ti
t
t0

E ( X ) p, D( X ) pq
[二项分布]
随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则 X ~ B (n, p)
k k n k P( X k ) Cn p q
E ( X ) np, D( X ) npq

[泊松定理]
在二项分布中，设 np= 是常数，则有
fTn (t ) et u(t )
ΦTn (t )
j
D[Tn ] 1 2
E[Tn ] 1 ,
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1}是对应的 等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布（又称为 爱尔兰分布），其概率密度为
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P(T t0 ) e t dt t0 (k 1)! n k 1 ( t ) 0 P[ X (t0 ) k ] e t0 n! n 0
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间 W1的分布
——均匀分布
P{W1 s X (t ) 1} P{W1 s, X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
次数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
(t ) n t P{ X (t s) X ( s) n} e , n! n 0, 1,
称它为具有参数 的泊松过程
泊松过程定义
[泊松过程定义2] 若计数过程{ X (t) , t 0 }满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
t1 t2
ti
t
(a) 泊松过程
(b) 泊松脉冲列
泊松脉冲列的数字特征
均值函数
d d mZ (t ) E X (t ) E[ X (t )] dt dt
2 RZ ( s, t ) RX ( s, t ) 2 ( ) , ( t s) st
泊松增量
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 在时间t到t+△t的平均变化率 为 泊松平均变化率，也称为泊松增量。
记为 { Y(t) , t 0 } ，即
X (t t ) X (t ) Y (t ) t
[意义] 泊松增量表示在时间t到t+△t上，泊松计数事件的平均 次数
到达时间的条件分布
[定理] 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A发生n次， 则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于n个[0, t]上均匀分 布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n) t 其它 0,
lim
n
P( X k )
k e
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而
取各个值的概率为
P{ X k}
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数)
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。


泊松过程基本性质
泊松分布:
(t ) n t P{ X (t s) X ( s) n} e , n! n 0, 1,
(t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
ΦX ( ) E[e
jX (t )
]e
t ( e j 1)
k n 1 ( t ) FWn (t ) 1 e t k! k 0
u (t )
E[Wn ] n 2 D [ W ] n n
fWn (t ) e t
(t ) n1 u(t ) (n 1)!
n ΦW ( ) ( j ) n
(4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A”发
生的次数。 称{ N (t), t 0 } 为计数过程。
泊松过程定义
[泊松过程定义1]
若计数过程{ X (t) , t 0 }满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的
相关函数
泊松脉冲列是平稳随机序列。
功率谱密度
S Z ( ) RZ ( )e j d 22 ( )


散粒噪声
[定义] 当线性系统 h(t) 输入一泊松脉冲列 Z(t) 时，其输出 过程即为散粒噪声，记为 S(t) ，即
S (t ) h(t ) Z (t ) h(t ) (t ti ) h(t ti )
E( X ) ,
D( X )
泊松过程定义
[计数过程定义]
若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N
(t)满足下列条件： (1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ;
泊松增量的统计特性
一阶概率特性
k (t ) k e t P Y (t ) t k!
X (t t ) X (t ) EX (t ) EY (t ) E t t
均值特性
相关函数
RY ( s, t ) EY ( s)Y (t ) 2 s t t (t ) 2 2 s t t s t t
[例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对于0 < k <
n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{X (s) k X (t ) n}
P{ X ( s) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}
P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n}
泊松过程
信息与通信工程学院 叶方
内容提要
泊松过程的定义
泊松过程的基本性质
泊松脉冲列 散粒噪声 非齐次泊松过程 复合泊松过程 条件泊松过程 双重随机泊松过程
引 言

[(0-1)分布]
随机变量 X 只可能 1) p, P( X 0) 1 p q
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数
mX (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) DX (t ) t
方差函数
相关函数 协方差函数
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1) , (s t )
C X ( s, t ) RX ( s, t ) mX ( s)mX (t ) min(s, t ) s , ( s t )
n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数的泊
松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ，则T 的概 率分布为 分布:
t (t ) k 1 e , t0 f T (t ) (k 1)! t0 0 ,
(s ) k e s [ (t s )]n k e ( t s ) k! (n k )! n! s k (t s) nk n t ( t ) e k!(n k )! tn n!
k s Cn t k
s 1 t
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A发生的 次数，
T1
T2
T3
Tn
Wn Ti
i 1
n
(n 1)
0
W1
W2 W3
Wn-1 Wn
t
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间
Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
fWk X (t ) (s n)
lim
h0
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h

k 1
n k
Beta分布
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{ X (t ) X (s) n k} P{ X (t ) n}
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,