恒定电流场

恒定电流场与静电场的比拟
对应物理量
静电场 恒定电场
E E
D J
q
I
C G
因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的 分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用 已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情 况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场 相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。
r Q E 0
r Q J 0
r
E
rr
J E
() 0
对于均匀的导电媒质
2 0
恒定电场的电位满足拉普拉斯方程
例4.1 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和2、
2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。
解：极板是理想导体，为等位
面，电流沿z方向。
o
U 由 J1n J2n J1 J2 J
2
I
vv J dS
S
S
ev
2U
πr
( ev
tdr)
2Ut
π
b a
dr r
2Ut
π
ln
b a
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为 RV π I 2t ln b a
例4.4 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介
质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2 、电导率为 1和2 。设内
b)]
介质2外表面的电荷面密度为
S 2
r 2er
r E2
r c
21U0
c[ 2 ln(b a) 1 ln(c
b)]
两种介质分界面上的电荷面密度为
S12
(1err
r E1
r 2er
r E2
)
r b
(1 2 21)U0
b[ 2 ln(b a) 1 ln(c b)]
2
1
2 1
JI
4-6 恒定电流场与静电场的比拟
E1，
U d1
，E2
，0
we2。 0
pl 2 0
E，1 0
，we1 ，0
pl1 。0
E2
U d2
1= 0
d1
E 1= 0
U
U
E 2= 0
d2
2= 0
例4.3 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间
的电阻。
y
解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两
U
t
(r,)
r
个端面之间的电位差为U，且令 当角度 时0，电位 。1 0
1,1
d1
E1
J1
1
J
1
,
E2
J2
2
J
2
2,2 z
d2
U
U1
U2
E1d1
E2d2
( d1
1
d2
2
)J
J
U
( d1 d2 )
1 2
由
D1n
D2n
S
S上
D1
1 1
J,
S下
D2
2 2
J
S介
D2
D1
(2 2
1 )J 1
1 2 2d1
21 1d2
U
例4.2 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介
电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。
当外加恒定电压为 U 时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电 场储能及功率损耗。
解 由于电容器外不存在电流，可以
认为电容器中的电流线与边界垂直，
U
1 1
d1
求得
2 2
d2
E11 E2 2
又
E1d1 E2d2 U
由此求出两种介质中的电场强度分别为
E1
2 d1 2 d21
U
E2
1 d1 2 d21
U
两种介质中电场储能密度分别为
we1
1 2
1E12 ,
we2
1 2
2
E22
两种介质中单位体积的功率损耗分别为
pl1 1E12 ,
pl 2 2 E22
两种特殊情况值得注意：
当 1 时0， 当 2 时0，
b)]
(a r c)
E1
er
r[ 2
ln(b
2U0 a) 1 ln(c
b)]
(a r b)
E2
er
r[ 2
ln(b
1U 0 a) 1 ln(c
b)]
(b r c)
（2）由 S
r en
r gD可得，介质1内表面的电荷面密度为
S1
1err
r E1
ra
1 2U0
a[ 2 ln(b a) 1 ln(c
已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均 匀介质内的静电场方程如下：
恒定电流场 vv (E' 0) vv
Ñ l J dl 0
vv
Ñ S J dS 0
v J 0
v J 0
静电场
( 0) vv
Ñ l E dl 0
vv
Ñ S E dS 0
v E 0
v E 0
可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电 场强度 E，电流线相当于电场线。
UI UI pl dSdl dV
可见，圆柱体中的总功率损失为 P pldV UI
这就是电路中的焦耳定律。
恒定电流场的基本方程 电位方程
载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）
积分形式
rr
ÑS
J r
dS r
0
Ñl E dl 0
微分形式
r J 0
r E 0
本构关系
rr
J E
电位及电位方程
r 和 E2，再由 U0
b a
r E1
drv
c b
r E2
drv 确定出电流
I。
J
的表达式，然后求出
E1
rr
（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由 S J gdS ， I可得电流密度
r J
介质中的电场：
Jerr
I
2er
r
r E1
J
1
(Ia
r
c)
(a
2
err
I
21r
c)
(a r
导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度 分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。
1 2
2 1
U0
JI
2、 2 1、1
c
b
a
介质2 介质1
内导体
外导体
解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度
r
r
J 成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度
那么，单位体积中的功率损失为
pl
EJ
E2
J2
当 J 和 E 的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式 vv
pl E J
此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的
电场强度与电流密度的标积。
设圆柱体两端的电位差为U，则 E U ，又知 J I ，那么
dl
dS
单位体积中的功率损失可表示为
0 a
0
x
b
当角度 时 ，电位
2
。2 U
那么，由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，因此电位满足
的方程式为
d 2 0 d 2
此式的通解为
C1 C2
利用给定的边界条件，求得
2U
导电媒质中的电流密度 J 为
v J
v E
ev
r
ev
2U r
那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为
b)
r E2
r J
2
r er
I
2 2r
(b r c)
由于
U0
b a
r E1
drv
c bLeabharlann r E2drvI
21
ln
b a
I
2 2
ln
c b
于是得到
I=
2ps 1s 2U0
s 2 ln(b a) + s 1 ln(c b)
故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
J
er
r[ 2
1 2U0 ln(b a) 1 ln(c