2016高中自主招生数学模拟试题及答案

2014年黄冈中学自主招生数学试题

一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是

2.若实数a

满足42a a -

+=，则1a a

-的值是

3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，

,AD AE x y AB AC ==，且1

2y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是

4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||

a b a b a b

a b a b a b +-+++

+-的结果是

5.若非零的实数,,,a x y z 满足等

式=，则

22

x y xy yz zx

+++的值是

6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=

7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是

8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =

9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是

10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是

A B

C

D

E

A C

B

D

F

E

二、解答题（本大题5小题，共70分）

11.（本题满分12分）

已知点(A B ，函数15

33

y x =+的图象是直线l ，点(,)

P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.

12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；

（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.

13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，

l

DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD ，AE =4DB =，求FC

的长.

14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.

O

15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.

试题及解答

一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是

解：这四个实数的和为

2457

63

+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a

满足42a a -

+=，则1a a

-的值是 解：

去分母得242a a -+

，移项得2240a a -+=.

t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.

1=得2210a a --=，所以1

a a

-

=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且1

2y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是

解：∵(1)(1)2(1)BDE

ABE ABE ABC BD AE

S S x S x S x y AB AC

∆∆∆∆==-=-=- 22119

2(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，

∴三角形BDE 面积的最大值是

9

8

. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简

||||||||

a b a b a b

a b a b a b +-+++

+-的结果是 解：显然0a ≥.

若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.

当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.

当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意. 故0b a >>.从而

||1111||||||a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b b a a b

+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则

22

x y xy yz zx

+++的值是

解：若320x y -=，则=430y z -=； 若430y z -==320x y -=；

若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430

(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩

≥得0a >，矛

盾.

故320x y -=且430y z -=.

A C

D E