3.2圆的对称性(北师大版)

B O
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 杨老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形
D
B E
D
A
O
O
O
A
E C
A
B
C
A
E C
A
B
O E C B
C
D
E
O
A
E D
B
B
M
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).

C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个字母).

弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
A B
A
B
同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫 做同心圆。 r
1
r2 O
O
r
O
r
等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
A B O

M└
●
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 结论 命 题
C
A
M└
●
B O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
已知：⊙O中弦AB∥CD. C A
M
.O
D B
N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：AC＝BD
⌒
⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
. O
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
想一想 P补 7
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
垂径定理

• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C M└
●
A
B O
• 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
题设
D 由
结论
可推得
① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理•
如图,小亮的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
D C
M└
●
B O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
O
C E D B
.
讲解
例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
⌒ ⌒
M C A
.O
D B
求证：AC＝BD
N 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
M A
（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
.
C
O E
B
D （2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两 条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，求 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC
挑战自我垂径定理的推论（2）
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? • 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B D
C
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等.
垂径定理推论2
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
A
●
A C
●
O
B D
O
B
D
C
M
M
垂径定理的应用(测公路的弯道的半径 )
例 1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
的圆心），其中CD=600m，E为 ，点O是 CD CD 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这 CD
M
垂径定理推论1
O
C
A N B
推论1: ①直线MN过圆心O ⌒ ⌒ ② MN⊥AB ④ AM= MB ,并且 (2) 弦的垂直平分线经过圆心 ③ AC=BC ⌒ ⌒ ⑤ 平分弦所对的两条弧; AN= NB
M
垂径定理推论1
O
C
A N B
② MN⊥AB 推论 1: ①直线MN过圆心O ③ AC=BC (3) 平分弦所对的一条弧的直径 , 垂 ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB ⌒ ⌒ ④ AM= MB 直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米 A E B
九年级数学(下)第三章圆
3.2
圆的对称性(2) ----垂径定理的推论
垂径定理的逆定理（推论）
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.

左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
┗
●
M
●
O
B
N
看一看
C C
.
A
O E A B
.
O
E B
D
D
AE≠BE
AE＝BE
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).

B A
• 直径将圆分成两部分,每一部分都 叫做半圆(如弧ABC).
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
垂径定理三种语言
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨 翟在其所著《墨经》一书中就曾明确指出： “圜，一中同长也。”毕达哥拉斯曾经说 过：“一切立体图形中，最美的是球形； 一切平面图形中最美的是圆形。”
那么，圆到底美在哪里？
九年级数学(下)第三章圆
3.2
圆的对称性(1) -----垂径定理
复习提问：
3.2
圆的对称性
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧. ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ②⑤ ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E A D B
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
挑战自我画一 画
例：平分已知弧
已知：弧AB 求作：弧AB的中点
C
AB
E
A
作法： ⒈ 连结AB.
B
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
练习2
按图填空：在⊙O中， （1）若MN⊥AB，MN为直径，则 ________，________，________； （2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直 径，则则_______，_______，______； （3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________， ________，________； ⌒ ⌒ （4）若 AC＝BC ，MN为直径，则 ________，________，________．
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
C
N
B
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
M
垂径定理推论1
O
A
ห้องสมุดไป่ตู้
C
N
B
②MN⊥AB 推论1. ⌒ ⌒ ①直线MN过圆心 ④ AM= MB (1)平分弦（不是直径）的直径垂 ⌒ ⌒ ③ AC=BC ⑤ AN= NB 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
以上都是垂径定 ⌒ ⌒ （AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC 理的推论（1） ⌒ ⌒
（AD＝BD）CD ⊥AB
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
3.2
• 圆是轴对称图形.
圆的对称性
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
M A D
O
圆是轴对称图形， 经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
C
N
M A D
或： 任意一条直
径所在的直线都是 圆的对称轴。
O
C
任意一条直径都是 圆的对称轴（ ）
M
一个圆的任意两 C 条直径总是互相平分， 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
O
D
B
N
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
C
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
线m．n，交于O点；以O为圆心，OA 为半径作圆。
破镜重圆
A
m
n
C
·
O
B
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
九年级数学(下)第三章圆
3.2
圆的对称性(3) -----垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
例题精讲
例1、如图，已知在⊙O
中，弦AB的长为8厘米， . 圆心O到AB的距离为3厘 O 米，求⊙O的半径。 方法总结：利用垂径定理解题， 解：连结OA.需要利用三角形 过O作OE⊥AB，垂足为 E， AOE,如果有， 则OE直接用；如果没有，就需要作 ＝3厘米，AE＝BE。 出相应三角形。请大家要牢记 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 这一点！
变式一： 求弧AB的四等分点。
C m n
F
A
E
G
B
D
C m E A n
B
变式二：你能确定
弧AB的圆心吗？
O D
错在哪里？
●作AB的垂直平分线CD。
●作AT．BT的垂直
N E M
C G
平分线EF．GH
A
P
T
B
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线。
F
H
D
你能破镜重
圆吗？
n
m
C
A
·
O
B
作弦AB．AC及它们的垂直平分
⌒ ⑤AD=BD. D 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 小亮发现图中有: ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④ AC=BC, ③ AM=BM
⌒
垂径定理逆定理： 平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平分弦 A 所对的两条弧。