洛伦兹变换的详细推导

精心整理
第三节洛伦兹变换式
教学内容：
1.洛伦兹变换式的推导；
2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；
重点难点：
狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：
1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；
2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；
3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
-
-
='
='
='
-
-
='
2
2
2
1
1
c
v
c
vx
t
t
z
z
y
y
c
v
vt
x
x
据狭义相对论的两个
1.时空坐标间的变换关系
作为一条公设，我们认为时间
的，因此时空
对于任意的时空坐标(x，
y，z，t)、(x'，S以平行于x
轴的速度v作,z'=z。

在S系中在S'系中观察
该点，x'=-v t'，x'+v t'。

在任意的：x=k（x'+v t'），
k是—比例常数。

同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）
根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。

2.由光速不变原理可求出常数k
????设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：
由此得到
()2
2
21
1
c
v
v
c
c
k
-
=
-
=。

这样，就得到
()
2
1c v vt x x --=
'，
()
2
1c v t v x x -'+'=。

由上面二式，消去x '得到
()
2
21c v c vx t t --=
'；若消去x 得到()
2
21c v c x v t t -'+'=
，综合以上结果，
就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换
可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3.讨论
（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。

故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（
学仅是相对论洛变换公式。

设因因此此：
：
因因y y ''==y 。

同理：
u z '因此得其逆变换为：
21c u v v u u x x x '++'=、
()2
2
11c u v c v u u x y y '+-'=、
()2
2
11c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论
（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式
v u u x x -='。

（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。

证明：设S '系中观察者测得沿x '方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者测得该光信号的速度为：
c
c
vc
v
c
u
x
=
+
+
=
2
1
，即光信号在S系和S'系中都相同。

第四节狭义相对论的时空观
一、一、??????????同时的相对性
1.概念
狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。

即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。

例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。

如图设
S'
S'
S系（地面上）的观察者认为，A与光相向运动A再到达B，不同时到达。

结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性
假设两个事件P1和P2，在S系和
S'系中测得其时
由洛伦兹变换得：
在S系和
S'系中测得的时间间隔为()1
2
t
t'
-
'
和
可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间
2.讨论
（1）在S系中同时发
这就是同时的相对性。

（2）在S系中同时发同地点发生，1
2
x
x=
，则有：
即在S系中同同地点发生。

（会颠倒，如人出生的先后
假设在S点经过
t∆时间后到达x
x∆
+处，则由：
得到
因为v≯c t同号。

即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

（4）上述情况是相对的。

同理在S’系中不同地点同时发生的两个事件，在S系看来同样也是不同时的。

（5）当
c
v〈〈
时，
t
t∆
≈'
∆，回到牛顿力学。

二、长度收缩（洛伦兹收缩）
假设一刚性棒A B静止于S’系中1
2
x
x
l'
-
'
='
，在S系中同时
()t
t
t=
=
2
1测量得1
2
x
x
l-
=。

由洛伦兹坐标变换式：
得：
即
()2
1c
v
l
l-
'
=
1.固有长度
观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。

即
2.洛伦兹收缩（长度缩短） 观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的()
2
1c v -倍，即物体沿运
动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。

讨论：
（1）长度缩短效应具有相对性。

若在S 系中有一静止物体，那么在S '系中观察者将同时测量得该物体的
长度沿运动方向缩短，同理有 即看人家运动着的尺子变短了。

（2）当v
由洛伦兹间间隔为
2t t t -=∆点发生，即
12
x x '='1.在某一惯，且：
2.在S 系看
3.讨论
（1）时间时），则同
理有
就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。

（2）当v ＜＜c 时，有t t '
∆≈∆ （3）实验已证实
μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。

例1:在惯性系S 中，有两个事件同时发生，在x x '轴上相距m .3
1001⨯处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距
m 3
100.2⨯。

问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？ 解：由题意知，在S 系中，，12t t =，即
012=-=∆t t t ，m x x 3
12100.1⨯=-。

而在S ’
系看来，时间间隔为
12t t t '-'='∆，空间间隔为m x x 3
1
2100.2⨯='-'。

由洛伦兹坐标变换式得：
由（1）式得代入（2）式得()s c t 6
3
3
31077.510310310223-⨯=⨯⨯=⨯⨯='∆
例2:半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16
103.4⨯m 。

设有一宇宙飞船自
地球往返于人马星座α星之间。

若宇宙飞船的速度为0.999c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一
次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？
解：以地球上的时钟计算：a 91087.28
=⨯=（a 为a n n u a l 之首字母）；
若以飞船上的时钟计算：（原时），因
()2
.21=-∆='∆c v t t。