2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(文科)

＝﹣
＝﹣ ，
则 sin（π﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝﹣ ，
故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于 基础题． 4．（5 分）已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，直线 y＝ （x﹣2）与 C 交于 A，B（A 在 x
轴上方）两点，若 ＝m ，则实数 m 的值为（ ）
是 BC，CC1 的中点．
（1）证明：平面 ADB1⊥平面 ADE；
（2）求三棱锥 D﹣AB1E 的高．
19．（12 分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有 这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下 表．
百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下
17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2+2n，等比数列{bn}满足 b2＝a1，b3＝a4．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前 n 项和 Tn．
18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝2，
，D，E 分别
【分析】①根据样本方差的定义进行判断，
②根据平均数的定义进行判断，
③根据系统抽样的定义求出样本间隔，解方程即可．
【解答】解：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；正确
②某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是
a、b，则这两个级部的数学平均分为
；故②错误
轴上方）两点，若 ＝m ，则实数 m 的值为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
5．（5 分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某校高三一级部和二级部的人数分别是 m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是
a，b，则这两个级部的数学平均分为
；③某中学采用系统抽样方法，从该校高
思想，是中档题．
5．（5 分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某校高三一级部和二级部的人数分别是 m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是
a，b，则这两个级部的数学平均分为
；③某中学采用系统抽样方法，从该校高
一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名学生从 001 到 800 进
D．3 个
6．（5 分）正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所
成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）
的部分图象如图所示，
若
，且 f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则 f（x1+x2）＝（ ）
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A．
B．
C．﹣
【考点】GO：运用诱导公式化简求值． 菁优网版权所有
第7页（共28页）
D．﹣
【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】由题意利用诱导公式求得 sinα，再利用同角三角函数的基本关系求得 cosα，再 利用二倍角的正弦公式求得要求式子的值． 【解答】解：∵cos（ +α）＝﹣sinα＝﹣ ，且 α∈（ ，π），即 sinα＝ ，∴cosα
A．
B．
C．
D．
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10．（5 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 C： ﹣ ＝1 的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的
对称点恰落在以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
11．（5 分）数列{an}满足 a1＝1，对任意 n∈N*的都有 an+1＝1+an+n，则
第4页（共28页）
（3）在选取的样本中，从 A，D 两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行调研，求至少 有一名学生是 A 等级的概率．
20．（12 分）已知椭圆 C：
的离心率为 ，右焦点 F2 到直线 l1：3x+4y
＝0 的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过椭圆右焦点 F2 斜率为 k（k≠0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点，A 为椭圆 的右顶点，直线 AE，AF 分别交直线 x＝3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k′，求证：k•k′为定值． 21．（12 分）设函数 f（x）＝ ﹣alnx．a∈R． （1）求函数 y＝f（x）的单调区间和极值． （2）若函数 f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，求 a 的取值范围． [选修 4-4：坐标系与参数方程]
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A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角． 【分析】取 BD 中点 O，连结 EO、FO，则 OF∥CD，OE∥AB，且 OF＝OE＝ ，从而
D．1﹣i
【考点】A5：复数的运算． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】求出 z，从而求出其共轭复数即可．
【解答】解：若（1+i）z＝1﹣i，
则 z＝
＝﹣i，
则 ＝i， 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是一道常规题． 3．（5 分）若 cos（ +α）＝﹣ ，且 α∈（ ，π），则 sin（π﹣2α）＝（ ）
+……+
＝（ ）
A．
B．2
C．
D．
12．（5 分）设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f'（x），若 f（x）+f'（x）＞1，f（0）
＝2018，则不等式 exf（x）＞ex+2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，0）∪（2017，+∞）
一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名学生从 001 到 800 进
行编号，已知从 497﹣512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组 001﹣
016 中随机抽到的学生编号是 007．其中命题正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
行编号，已知从 497﹣512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组 001﹣
016 中随机抽到的学生编号是 007．其中命题正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【考点】2K：命题的真假判断与应用． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
D．{x|﹣3＜x＜3}
2．（5 分）已知 i 为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则 ＝（ ）
A．i
B．﹣i
C．1+i
D．1﹣i
3．（5 分）若 cos（ +α）＝﹣ ，且 α∈（ ，π），则 sin（π﹣2α）＝（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
4．（5 分）已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，直线 y＝ （x﹣2）与 C 交于 A，B（A 在 x
，即
可求解．
【解答】解：设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B1， 过 B 作 BM⊥AA1 于 M．由抛物线的定义可得出 Rt△ABM 中，得∠BAM＝60°，
cos60°＝
，解得 m＝3．
故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的转化
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等级
A
B
C
D
规定：A，B，C 三级为合格等级，D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情 况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计． 按照[50，60）[60，70），[70，80），[80，90）[90，00]的分组作出频率分布直方图如图 1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （1）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级 的概率； （2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到 0.1）；
A．1
B．
C．
D．
8．（5 分）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •（ + ）
的最小值是（ ）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣
D．﹣1
9．（5 分）设函数 f（x）＝xcosx﹣sinx 的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为 k，若 k ＝g（x0），则函数 g（x）的大致图象为（ ）
腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
．
16．（5 分）在△ABC 中，已知 c＝2，若 sin2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，则 a+b 的取值范
围
．
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三、解答题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
【解答】解：集合 M＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，
N＝{x|1og3x＜1}＝{x|0＜x＜3}，
则 M∩N＝{x|0＜x＜3}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．（5 分）已知 i 为虚部单位，若（1+i）z＝1﹣i，则 ＝（ ）
A．i
B．﹣i
C．1+i
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（2）若关于 x 的不等式 f（x）≥a2﹣a﹣2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
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2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的
③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康 检查， 则样本间隔为 800÷50＝16， 已知从 497﹣﹣512 这 16 个数中取得的学生编号是 503， 则设在初始在第 1 小组 00l～016 中随机抽到的学生编号是 x． 则 503＝16×31+x，得 x＝7， ∴在第 1 小组 1～l6 中随机抽到的学生编号是 007 号，故③正确， 故正确的是①③， 故选：C． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大． 6．（5 分）正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所 成的角为（ ）
2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则 M∩N 等于（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|x＜3}
1．（5 分）已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|1og3x＜1}，则 M∩N 等于（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|x＜3}
D．{x|﹣3＜x＜3}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】化简集合 M、N，根据交集的定义写出 M∩N．
C．（2017，+∞）
D．（0，+∞）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
13．（5 分）已知函数 f（x）＝
，则不等式 f（f（1））＝
．
14．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 的取值范围为
．
15．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等
A．
B．3
C．2
D．
【考点】K8：抛物线的性质． 菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】作出抛物线的准线，设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B1，过 B 作 BM⊥AA1 于
M．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出 Rt△ABM 中，得 cos∠BAE＝
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
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（t 为参数）．在极
坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极 轴）中，圆 C 的方程为 ρ＝2 sinθ． （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1， ），求|PA|+|PB|的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2． （1）求不等式 f（x）≥6 的解集；