中考数学总复习 第7讲 一元二次方程教学案

第7讲一元二次方程

陕西《中考

说明》

陕西2012～

2014年中考

试题分析

考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重

一元二次方

程及其解法

理解配方

法，会用因

式分解法、

公式法、配

方法解简单

的数字(有

理数)系数

的一元二次

方程

2014 选择题8 3

一元二次方

程的解的定

义

2013 填空题12 3

一元二次方

程的解法

1.7%

由表格呈现内容可看出陕西历年中考对一元二次方程的考查主要是一元二次方程解的意义及解一元二次方程，如2014年第8题考查了一元二次方程解的意义，2013年第12题考查了解一元二次方程，题型主要以选择题和填空题为主，分值为3分，设题较为简单，预计在2015年的中考中，一元二次方程解的意义及其解法仍是本节考查的重点内容，题型为选择或填空，分值为3分，难度不大．

1．定义

只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．

2．解法

首先考虑__直接开平方法__，__因式分解法__；其次考虑__配方法__，__公式法__．3．公式：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：

__x＝

－b±b2－4ac

2a

(b2－4ac≥0)__．

4．一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：

(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个__不相等__的实数根；

(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个__相等__的实数根；

(3)b2－4ac＜0⇔方程__没有__实数根．

5．一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝__－

b

a

__，x1x2＝__

c

a

__．

转化思想

一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式

法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．

一个注意

注意：(1)根的判别式“b 2

－4ac”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使

用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax 2

＋bx ＋c ＝0，以便确定a ，b ，c 的值．

一个防范

正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．

1．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52

ax ＋a 2

＝0的一个根，则a

的值为( B )

A ．1或4

B ．－1或－4

C ．－1或4

D ．1或－4

2．(2013·陕西)一元二次方程x 2

－3x ＝0的根是__x 1＝0，x 2＝3__．

一元二次方程的解法

【例1】 解下列方程：

(1)x 2

－2x ＝0；

(2)(2014·徐州)x 2

＋4x －1＝0；

(3)(1997－x)2＋(x －1996)2

＝1.

解：x 2

－2x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2

(2)原式可化为(x 2＋4x ＋4－4)－1＝0，即(x ＋2)2

＝5，两边开方，得x ＋2＝±5，解

得x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5 (3)解法一：(1997－x)2＋(x －1996)2－1＝0，(1997－x)2

＋(x －1997)(x －1995)＝0，(x －1997)[(x －1997)＋(x －1995)]＝0，2(x －1997)(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996

解法二：因为(1997－x)2＋(x －1996)2＝[(1997－x)＋(x －1996)]2

－2(1997－x)(x －1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x)(x －1996)＝1，2(1997－x)(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996

【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．

1．用指定的方法解下列方程：

(1)(2x －1)2

＝9；(直接开平方法)

(2)x 2

＋3x －4＝0；(配方法)

(3)x 2

－2x －8＝0；(因式分解法) (4)x(x ＋1)＋2(x －1)＝0.(公式法)

解：(1)(2x －1)2＝9，2x －1＝±3，∴x ＝1±32

，x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 2

＋3x －4＝0，(x

＋32)2＝254，x ＋32＝±52，∴x 1＝1，x 2＝－4 (3)x 2

－2x －8＝0，(x －4)(x ＋2)＝0，x 1＝4，x 2＝－2 (4)x(x ＋1)＋2(x －1)＝0，x 2

＋3x －2＝0，x ＝－3±172×1，∴x 1＝－3－172，x 2＝

－3＋17

2

一元二次方程根的判别式