东华大学多元微积分A(下)(09-10)答案
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= 1π 5
4、解： 由对称性 ∫ xyds = 0KK(2分) l
KK（2 分） KK（2 分） KK（2 分）
KK（3 分）
KK（2 分） KK（1 分）
∫ ∴原式 = 12 ( x2 + y 2 )dsKK(3分) l4 3
= 12∫ ds = 12lKK(1分) l
5、解：
⎧dx = −a sin tdtKK(1分) ⎪⎨dy = a costdtKK(1分) ⎪⎩dz = bdtKK(1分)
∫ 原式 = 2π [a sin t ⋅ (−a sin t) + bt ⋅ a cost + a cos⋅ tb]dtKK(2分) 0 = −πa2 KK(1分)
6、解：
z在xoy面投影为：Dxy：x 2 + y 2 ≤ 2ax
ds =
1 + x 2 + y 2 dxdy = x2 + y2 x2 + y2
=2
KK（1 分） KK（1 分）
2、解：QD 关于 x, y 轴对称
∴ ∫∫(x + 5y)dσ = 0 D
∴原式 = ∫∫2dσ = 2πa2 D
⎧0 ≤ θ ≤ 2π
3、解：用球面坐标：
Ω
:
⎪⎪⎨0 ⎪
≤
ϕ
≤
π 2
⎪⎩0 ≤ r ≤ 1
π 2π 2 1
∴原式 = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r2 cosϕ.r2 sinϕdr 000
=
1 4
π
KK(1分)
五、解： 用截面法：
原式
=
1
∫0
z3dz
∫∫
dxdyKK(3分)
DZ
∫= 1z3(πz2 )dzKK(3分) 0
∫ = π
1 z 5dz
0
=
π 6
KK(1分)
六、解：球面坐标曲面
⎧r = 5
⎨ ⎩r
=
4
cscϕ
cotϕ
0 ≤ ϕ ≤ arctan arctan 2 ≤ ϕ ≤
2 π 2
2009 -- 2010 学年第二学期期终试题A卷参考答案及评分标准 课程名称：几何与多元微积分学A（下） 使用专业：全校各专业
一、1、2 e
x
y
+ −
y x
；
2、 29 ； 13
→→→
3、（3，-2，-6）或 3 i − 2 j − 6 k
； 4、6x + 3y + 2z −18 = 0
∫ ∫ 5、大；
0
arctan 2
o
6、
2πab ；
7、πa ；
8、
3
dx
x
3 f (x, y)dy ；
9、π ； 10、 4a
00
3π
二、试解下列各题（每题 6 分，共 36 分）：
1、解：D:
⎧0 ⎩⎨0
≤ ≤
y x
≤ ≤
x π
KK（2 分）
∫ ∫ ∴原式 = π sin xdx x dy
0x
0
KK2 分）
π
= ∫sin xdx 0
= + ∫∫ dxdyKK(2分) Dxy
=
1 2
KK(1分)
四、解：
添加辅助曲面Σ1：z = 1(取下侧)KK(1分)
则Σ + Σ1构成封闭曲面，用高斯公式：P = x3z + x，Q = −x2 yz，R = −x2z2
⎧ ∂P
⎪ ⎪
∂x
=
3x2z
+ 1KK(1分)
⎪ ∂Q
⎨ ⎪
∂y
=
− x 2 z KK(1分)
⎪⎬⎫LLL（1分） ⎪⎭
∴ ∫∫∫ f（x, y, z）dxdydz Ω
∫ ∫ ∫ =
2π dθ
ϕ arctan 2 d
5 f (r cosθ sinϕ, r sinθ sinϕ, r cosϕ)r2 sinϕdrKK(1分)
0
0
o
∫ ∫ ∫ +
2π dθ
π 2
dϕ 4cscϕ cotϕ f (r cosθ sinϕ, r sinθ sinϕ, r cosϕ)r 2 sinϕdrKK(1分)
⎪ ∂R ⎪⎩ ∂z
=
−2 x 2 z KK(1分)
∴I = ∫ − ∫∫
Σ+Σ1 Σ1
= ∫∫∫dxdydz − (−1) ∫（∫ − x2）dxdyKK(1分)
Ω
D xy
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 用柱坐标 2π dθ
1
rdr
2−r 2
dz −
2π cos2 θdθ
1 r 3dr KKBaidu Nhomakorabea1分)
0
0
1
0
0
2dxdyKK(2分)
∴原式 = ∫∫ 2dxdyKK(2分) Dxy
= 2 ∫∫ dxdyKK(1分) Dxy
= 2πa 2 KK(1分)
三、解：
z在xoy面投影：z = 1 − x − yKK(1分)
→
n = (−1,−1,1)KK(1分)
原式 = ∫（∫ x + y + z）dxdyKK(2分) ∑
4、解： 由对称性 ∫ xyds = 0KK(2分) l
KK（2 分） KK（2 分） KK（2 分）
KK（3 分）
KK（2 分） KK（1 分）
∫ ∴原式 = 12 ( x2 + y 2 )dsKK(3分) l4 3
= 12∫ ds = 12lKK(1分) l
5、解：
⎧dx = −a sin tdtKK(1分) ⎪⎨dy = a costdtKK(1分) ⎪⎩dz = bdtKK(1分)
∫ 原式 = 2π [a sin t ⋅ (−a sin t) + bt ⋅ a cost + a cos⋅ tb]dtKK(2分) 0 = −πa2 KK(1分)
6、解：
z在xoy面投影为：Dxy：x 2 + y 2 ≤ 2ax
ds =
1 + x 2 + y 2 dxdy = x2 + y2 x2 + y2
=2
KK（1 分） KK（1 分）
2、解：QD 关于 x, y 轴对称
∴ ∫∫(x + 5y)dσ = 0 D
∴原式 = ∫∫2dσ = 2πa2 D
⎧0 ≤ θ ≤ 2π
3、解：用球面坐标：
Ω
:
⎪⎪⎨0 ⎪
≤
ϕ
≤
π 2
⎪⎩0 ≤ r ≤ 1
π 2π 2 1
∴原式 = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r2 cosϕ.r2 sinϕdr 000
=
1 4
π
KK(1分)
五、解： 用截面法：
原式
=
1
∫0
z3dz
∫∫
dxdyKK(3分)
DZ
∫= 1z3(πz2 )dzKK(3分) 0
∫ = π
1 z 5dz
0
=
π 6
KK(1分)
六、解：球面坐标曲面
⎧r = 5
⎨ ⎩r
=
4
cscϕ
cotϕ
0 ≤ ϕ ≤ arctan arctan 2 ≤ ϕ ≤
2 π 2
2009 -- 2010 学年第二学期期终试题A卷参考答案及评分标准 课程名称：几何与多元微积分学A（下） 使用专业：全校各专业
一、1、2 e
x
y
+ −
y x
；
2、 29 ； 13
→→→
3、（3，-2，-6）或 3 i − 2 j − 6 k
； 4、6x + 3y + 2z −18 = 0
∫ ∫ 5、大；
0
arctan 2
o
6、
2πab ；
7、πa ；
8、
3
dx
x
3 f (x, y)dy ；
9、π ； 10、 4a
00
3π
二、试解下列各题（每题 6 分，共 36 分）：
1、解：D:
⎧0 ⎩⎨0
≤ ≤
y x
≤ ≤
x π
KK（2 分）
∫ ∫ ∴原式 = π sin xdx x dy
0x
0
KK2 分）
π
= ∫sin xdx 0
= + ∫∫ dxdyKK(2分) Dxy
=
1 2
KK(1分)
四、解：
添加辅助曲面Σ1：z = 1(取下侧)KK(1分)
则Σ + Σ1构成封闭曲面，用高斯公式：P = x3z + x，Q = −x2 yz，R = −x2z2
⎧ ∂P
⎪ ⎪
∂x
=
3x2z
+ 1KK(1分)
⎪ ∂Q
⎨ ⎪
∂y
=
− x 2 z KK(1分)
⎪⎬⎫LLL（1分） ⎪⎭
∴ ∫∫∫ f（x, y, z）dxdydz Ω
∫ ∫ ∫ =
2π dθ
ϕ arctan 2 d
5 f (r cosθ sinϕ, r sinθ sinϕ, r cosϕ)r2 sinϕdrKK(1分)
0
0
o
∫ ∫ ∫ +
2π dθ
π 2
dϕ 4cscϕ cotϕ f (r cosθ sinϕ, r sinθ sinϕ, r cosϕ)r 2 sinϕdrKK(1分)
⎪ ∂R ⎪⎩ ∂z
=
−2 x 2 z KK(1分)
∴I = ∫ − ∫∫
Σ+Σ1 Σ1
= ∫∫∫dxdydz − (−1) ∫（∫ − x2）dxdyKK(1分)
Ω
D xy
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 用柱坐标 2π dθ
1
rdr
2−r 2
dz −
2π cos2 θdθ
1 r 3dr KKBaidu Nhomakorabea1分)
0
0
1
0
0
2dxdyKK(2分)
∴原式 = ∫∫ 2dxdyKK(2分) Dxy
= 2 ∫∫ dxdyKK(1分) Dxy
= 2πa 2 KK(1分)
三、解：
z在xoy面投影：z = 1 − x − yKK(1分)
→
n = (−1,−1,1)KK(1分)
原式 = ∫（∫ x + y + z）dxdyKK(2分) ∑