苏教版几种常见的平面变换(反射变换与旋转变换)

温故知新
2.伸压变换矩阵 M
a
0
0 1
N
1
0
0
b
伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x
y
x
y
x
y
2
伸压变换——
1
0
0
2
3 0
0
1
1 0
0
0
.5
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变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
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22
例2求圆C：(x2)2(y2)22
绕原点逆时针旋转300的旋 转变换所得的曲线，并写 出变换矩阵.
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23
练习1：矩阵
1
2
3
2
3 1
2
2
将平面上的点作怎样的变换？
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24
练习2：点（1，y）在旋转变换矩阵
的作用下得到点(x,2),求m,n,x,y的值
q r P(x，y)
a
O
x
思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？
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构建数学 旋转变换
旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转θ
的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.
P(x, y)
r q r P(x, y)
a
x r cosa
y
r
sin
a
x rc o s ( a q) rc o s a c o s q r s in a s in q x c o s q y s in q y r s in ( a q) r s in a c o s q rc o s a s in q y c o s q x s in q
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5
问题1：若将一个平面图形 F 在矩阵M 1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形，则如何来求出这个矩阵呢？
x x x
T1 :y y y
1 0x
0
1 y
变换矩阵为 M
1
1
0
0
1
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6
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M
2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
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8
数学应用
例1 求出曲线 yx2 (x0) 在矩阵
1
M
0
0 1
作用下变换所得的图形.
y
yx2 (x0)
退化情况.
因此，在研究平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察 顶(端)点的变化结果即可.
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13
课堂反馈
1
1、求平行四边形ABCD在矩阵
0
0
1
作用下变换得
到的几何图形，并给出图示，其中 A(0,0),B(3,0),
C(4,2),D(1,2)
2、求出曲线 y
x 在矩阵
高中数学选修4-2矩阵与变换
2.2几种常见的平面变换 —反射变换与旋转变换
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1
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵) E
1 0
0
1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
矩阵
1
0
0
1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
0
1
y
y
x x x T:yyy
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2
对应的
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17
问题情境
y
O
x
假设大风车的叶片在同一平面内转动，以 旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图.
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18
问题情境
已知大风车上一点 P(x，y)，它围绕旋转中 心O逆时针旋转q角到另 外一点P’(x’，y’).
因此，旋转前后叶 片上的点的位置变化可 以看做是一个几何变换.
y P’(x’，y’)
3
问题情境
求圆C：(x2)2(y2)22在矩阵
M
1
0
0
1
作用下变换所得的曲线.
y
(x2)2(y2)22
(x2)2(y2)22
(2, 2)
(2,2)
O
x
两个几何图形有何特点？
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4
问题情境
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
M
0 1
1
0
作用下
变换得到的曲线.
1
3、求出△ABC在矩阵
2 3
2
3 2 1
作用下变换得到的图形,
2
并给出图示，其中 A(0,0),B(1, 3),C(0,2)
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变式训练
1.设 a,b R , 若M
a
1
0 b
所定义的线性变
换把直线 l:2xy70变换成另一直线
l:xy70
求a，b的值.
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15
变式训练
2.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别变换成(5,7)与(-3,6)
（1）求矩阵M （2）求直线 l:xy4在此变换下所变成的
直线 l 的解析式.
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变式训练
3.求直线x=2在二阶矩阵 M 变换下所变成的图形.
1 1
0 0
心对称与么旋异转1同800点是同？一变换, 要注意旋转变换中旋转方向
为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形
的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋
转中心和旋转角度决定.
绕定点旋转1800的变换相当于关于定点作中心反射变换.
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21
数学应用
例1.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做
线性变换.
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的
性变换.
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12
建构数学
当a=b=c=d=0时,
0 0
0 0
把平面上所有点
都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的
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27
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co sqsinqx xco sqysin q x sinq co sq y xsinqyco sq y
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旋转变换
M=
cosq sin q
sinq
cosq
0 1
1
0
,
0 -1
1
0
0 1
1 x
0
y
y x
T:xyxyyx
旋个数转互变为换相矩反旋阵数转主,且对变每角行换线、上与每的列反两的个射两数个变相数等换的，平有副方对什和角为线1.上另的外两中
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25
本课小结
矩阵
cosq sinq
பைடு நூலகம்
sin q cosq
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换.
其中的角q做旋转角.
点O叫做旋转中心. 本节内容中心为坐标原点
旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状.
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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作业：
P34 6、8
1
(2) M 3
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 原点对称的图形；
(3) M
4
0
1
1
0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x 对称的图形；
0 1把一个几何图形变换为与之关于
(4) M 5 1 0 直线 y x对称的图形；
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7
构建数学
一般地，称形如 M 1,M2,M3,M4,M5
1
O
1
x
-1
yx2 (x0)
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9
数学应用
例2.求出直线 y 4 x 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
0
1
1
0
变: ylgx(x0)
y 10x y
ylgx (x0)
1
O
1
x
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10
数学应用
例3.求直线l:2xy70在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
3
1
0
1
思考1：若矩阵M
3
1
0 1
改为矩阵
A
3
1
1
1
则变换得到的图形是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？ 或点
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A (1 α 2 β )1 A α 2 A β
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建构数学
M(1a2b) 1Ma2Mb
上式表明，在矩阵M的作用下，直线
1a2b 变成直线 1Ma2Mb.