第一重要极限
第六节极限存在准则
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
第一个重要极限的推广及应用探析
教育与培训第一个重要极限的推广及应用探析杨家平(安徽职业技术学院，安徽合肥230011)摘要I u0空=1在高等数学极限知识点中是重要知识点之一，依此主要介绍第一个重要极限的推广，并x'0#且简单介绍在极限计算、微分学、常数项级数等中的应用。
关键词：第一极限;极限推广；极限应用中图分类号：G4文献标识码：A doi!0.19311/ki.16723198.2020.12.087lm#=1第一个重要极限在极限中是相当重要L0#的,是可以 来直接计算极限，此公式要是运用得当,将可以简化极限计算。
对于公式的证明各：中主要利用夹逼、拉中值识明过，在此我就明了，因于学生在专升本中，还是应用第一重要极限解际问题的比多。
1第一重要极限的推广推广1!im i#=1这是第一个重要极限的最原始#'0#形式，如果的极限计算中现这样最i 的式，的,我们要看变形的，下也能运用公式，他的本质其实是个0形式极限未定式,我们把#看成一个，可以把#看作统一符号,其他的变量也可以看成一个代数式的形式，只要 保证形式不变，即可以写成lim0#=1,对于整个变形#'0#两点注意:①三个统一，即三个方框里面的式都向于小“0”；②保式中分子方框中的式一致，若式致,直接运用，因向于0的速度样。
推广2:i#m!#=1,即自变量变化过程不管是趋向有限值还是无限值,但是保证分子分母是0未定•1sin—式，此时等式也成立，例如，lm—#=1$注意#'k丄sin#lim(1k#推广3：①设lim?(#)=0,lim u(#)=lim?(#)lim A#'#0#'#0#'#0#'#0 (#),且lim A(#)=-,贝I],lim[sn?(#)6=丄$②lm #'#0##0ulz)a#'0sir#]+sir#2F---sin#“(■—i、—丄,%—丄,2・•B)#1+#2+#B2重要极限的应2.1证径为R圆的面积公式识传授说，可以步学生代割圆问题、利用第一重要极限简化函数运算的掌握程度。
1-16第一个重要极限
重要极限1sin lim .10=→xx x 重要极限首先看看在计算机上进行的数值计算结果：01sin lim .1=→xx x 重要极限xx xsin→1→0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.9999998333333416367097 0.00010.9999999983333334174773 0.000010.9999999999833332209320 0.0000010.9999999999998333555240 0.0000001 1.0000000000000000000000 0.000000011π2-π2ππ-xx y sin =xyO 1 .sin 的图形然后看xx y =运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.x O 1D B A x y, 作一单位圆20 π<<x 先令从图中可看出:, x AOB =∠设面积面积扇形面积DOB AOB AOB ∆<<∆x sin x tan . )2(0 tan 2121sin 21 π<<<<x x x x 即证xx x cos 1sin 1<<由sin x 与cos x 的奇偶性可知：, 2||0 时当π<<x . 1sin cos 成立<<x x x 1sin lim 0=→xx x 得及夹逼定理由 , 11lim , 1cos lim 00==→→x x x , 20 时故当π<<x , 1sin cos <<xx x 即有一般地其中, a ≠0 为常数.)() (sin lim)(a xxax=→ϕϕϕ.)()(的极限为零表示在某极限过程中xxϕϕ→=→xx x 5sin lim 0x x x 5sin lim 0→求x x x 55sin 5lim 0→)5( . 5sin lim 50x u uu u ===→ : )0( )()(sin lim 0)(≠=→a a x x a x ϕϕϕ或直接用公式 . 55sin lim 0=→xx x 例1解=→xx x tan lim 01cos 1lim sin lim 00==→→xx x x x x x x tan lim 0→求x x x x cos 1sin lim 0→例2解x →a 时,ϕ(x ) = x -a →0 ,. 3)(3sin lim =--→a x a x a x a x a x a x --→)(3sin lim 求故例3解20cos 1lim xxx -→求2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x =-→20cos 1lim x x x 22022sin 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 2202sin 2lim xxx →例4解, π-=x t 令=-→ππx xx sin lim ππ-→x xx sin lim求故1sin lim 0-=-=→tt t , 时则π→x0→t tt t )sin(lim0π+→例5解⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 1sin sin 1lim 0(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x xx 1sin sin 1lim 求(1)例6(1)=→x x x sin 1lim 0 01sin lim 0=→xx x )11sin (是有界量≤x⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴→x x x x x 1sin sin 1lim 01sin lim 0=→x xx 11sin lim sin 1lim 00=+=→→xx x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 1sin sin 1lim 0解=∞→x x x 1sin lim 0sin 1lim =∞→x xx ) 1 |sin | (是有界量≤x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴∞→x x x x x 1sin sin 1lim (2)111sinlim=∞→xx x 11sin lim sin 1lim =+=∞→∞→xx x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 1sin sin 1lim由三角函数公式33232sin 2cos 2cos 2cos 2x x x x === nn xx x 2cos 2cos 2cos lim 2 ∞→求2222sin 2cos 2cos 2x x x =2cos 2sin 2x x =x sin nn nx x x x 2sin 2cos 2cos 2cos 22 故原式x x x xnn n sin 2sin 2lim ∞→=n n nx x2sin 2sin lim ∞→=x xsin =例7解。
高职大一应用数学两个重要极限教学设计
学科
应用数学
教 学 内 容 1.7 两个重要极限（第一重要极限） （课名）
该内容总课时 共讲 2 讲 一、学习内容分析
翻转课时 第 1 讲
两个重要极限在整个学期的授课共 2 时节，在第一模块函数的极限与连续中学完极限的运算
法则后的内容。
这堂翻转课教学内容特色：两个重要极限在内容上是两特殊的极限，重点是让学生掌握应用，
40%，组间互评 占 30%，组内互 评占 30%。这部
打分
间互评。
分成绩记入过
程考核中的作
业成绩。
学生总结所学
3 总结
内容并谈学习 答疑补充 学生总结
10
感受
下次课要
4 求·
巡回答疑
辅导答疑 提出问题
5
六、教学设计反思 在课前学习中学生必须要认真进行学习，课堂上的翻转才能真正实施，所以课前任务设计是 关键，要想办法调动学生学习积极性。对于课上翻转部分，学生的分组也是很关键的，一个 小组中成员应该是基础好的和基础差的搭配，如果某个组成员基础都很差就有可能课前任务 完成不了。
有点类似于掌握两个公式的应用。
重点：第一重要极限的形式及变形
难点：第一重要极限的形式及变形的应用
二、学习目标分析 学习目标：第一重要极限的形式及变形的应用 通过学生做巩固练习题的正确率来判断学生是否达到了目标
三、学习者特征分析 学生基础薄弱，运算能力不强；对极限的运算性质掌握不牢固；
四、课前任务设计 学生通过课前导学指导观看视频 1.7.1，完成在线测试 1.7.1，并以小组为单位形成一篇学习笔 记（要体现出课前学习过程中不理解的地方） 课前导学内容：第一步观看视频 1.7.1，掌握第一重要极限的形式、第一重要极限的变形及应 用。第二步完成在线测试 1.7.1。第三步以小组为单位形成一篇学习笔记。 在线测试占课前学习成绩的 60%，学习笔记在线测试占课前学习成绩的 40%. 课前导学、视频、在线测试学习笔记通过学校教学平台发给学生
第一重要极限
第一重要极限
第一个重要极限是lim((sinx)/x)=1(x->0)。
“极限”是数学中的分支微积分的基础概念，广义的“极限”是指
“无限靠近而永远不能到达”的意思。
大数定律简介:
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平
均值收敛的定律。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律
就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试
验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
偶然中包含着其中一种必然。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律。
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
第一章：1.9两个重要极限
0 (" "型, 三统一) 0
必须是一个与分子 方框处完全相同的 无穷小
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例1. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
2 x
lim(1 3x) lim (1 3x) e6 . x 0 x 0
2 x
1 3x
6
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例8. 求
x2 x 3 5 lim 1 5 lim 解: x lim x x 3 x 3 x x 3 5x x3 x3 5 5 5 5 lim 13 lim 1 /x x e . e x x 3 x x 2 x 2 1 1 x2 x x 另解: lim lim lim x 1 3 x x x 3 3 x 1 x
第九节
第一章
两个重要极限
一、第一个重要极限 二、 第二个重要极限
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本节教学目的
掌握重要极限 它求极限 难点 掌握重要极限 用它求极限 ，并能熟练运用 ，并能熟练运
重点
机动
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一、 第一个重要极限
必须是一个无穷小
sin lim 1 x x0 ( x)
第一个重要极限
sin x lim 1 x 0 x
说 明：
0 函数极限为 型且含有三角函数 0 公式中出现的变量x（其它的代数式）相同且该变量趋 向于零.
( ) →0
lim
sin
( )= 1 ()
x 公式的等价形式为 lim 1 x 0 sin x
sin （） sin （） sin （） lim 1 lim lim 1 （） 0 （） （） 0 （） （） 0 （）
关键是：
例4：计算
sin 3 x lim x 0 sin 2 x
sin 3 x 3x sin 3 x lim 3 x lim x 0 sin 2 x x 0 sin 2 x 2x 2x sin 3 x 3 lim 31 3 x 0 3 x sin 2 x 2 1 2 2 lim x 0 2x
注意几个类似极限的区别： sin x 1 lim 0 lim x sin 0 x x 0 x x
例1：计算
tan x lim x 0 x
tan x lim x 0 x sin x 1 lim 利用第一个 x 0 x cos x 重要的极限 sin x 1 lim lim 1 1 1 x 0 x x 0 cos x
谢谢！
3 例5：计算 lim x sin x x
3 sin 3 3 x lim( x ) lim x sin x x 3 x x x 3 sin x 3 lim x 3 x 31 3
例6：计算 lim sin( x 1) 2
x 1
x 1
sin( x 1) sin( x 1) lim lim 2 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 1
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
论第一个重要极限的地位
后面的一样，即变成 sinx，所以此题的思路就是分子分 母同乘以 sinx，再变成两个极限相乘，这两个极限都运 用第一个重要极限来计算，即可得出结果。
三、重要极限 I 与等价无穷小 重要极限 I 的形式，实质上就是无穷小与无穷小之 比的问题。在等价无穷小的定义中，当两个无穷小之比 的极限等于 1 时，它们就互为等价无穷小，而等价无 穷小在乘积和相除的运算中是可以相互替换的。这就给 极限运算带来了极大的方便，而这个方法的基础就是 重要极限 I。在《实用高等数学》中给出了当 x → 0 时 arcsinx，arctanx 都与 x 互为等价无穷小，但并没有给 出证明，下面通过一个例题来说明。 例 2 求 lxi→m0— arctxanx 解 令 arctanx=u，则 x=tanu，则 lxi→m0— arctxanx =uli→m0— taunu =lim— siunu ·cosu=1 这样就得到了 arctanx 与 x 互为等价无穷小了。此 题采用了换元法，当 x → 0 时，arctanx 也是趋于 0，通 过换元，就把反三角函数与幂函数之比的极限问题变成 了三角函数与幂函数之比的极限问题，这样就可以使用 重要极限 I。另外，此题也运用了此极限的一个变形式： lxi→m0— s ixnx = 1 ，即原极限的倒数形式。 总之，重要极限 I 在极限运算的教学中是必不可少 的一环，没有掌握这个极限运算，就很难把极限的商式 运算从幂函数过渡到其他各类函数之中，也会让整个高 等数学的学习在逻辑上不太完整。
参考文献： [1] 吴赣昌 . 实用高等数学 [M]. 北京：中国人民大学出
1-6 极限存在准则
n
19
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铃
作 业
习题12 (P44): 21. 24.双号 25.
20
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铃
e (a(x)0)
e
法 设 lim u( x) 0, lim v( x) , 则有
lim( 1 u ) lim[( 1 u ) ] e
v
1 u uv
lim uv
.
x2 例7 求 lim . x x 1
x
x
x 1 3 3 x 2 1 解 lim lim x x 1 x x 1 3x exp( lim ) e3 . x x 1
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn a
n
例1 求 lim n 3n 4n 5n .
n
解
5 n 3n 4n 5n 5 n 3,
n
而 lim 5 n 3 5， lim n 3n 4n 5n 5. n
2
6
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铃
定理(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域 内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应 的函数值数列{f(xn)}必收敛 且
n
lim f (xn ) lim f (x)
x x0
14
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上页x e x x
4两个重要极限第一次课
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
《两个重要极限》课件
两个极限的联系与应用举例
在这一节中，我们将探讨第一个和第二个极限之间的联系以及它们在实际问题中的应用。通过生 动的例子和详细的解析，帮助您更好地理解和运用这些概念。
两个极限的证明过程
本节将深入讨论两个极限的证明过程。我们将通过严谨的数学推导和逻辑推 理，展示这些极限的数学原理和证明方法。
解决问题的思路和方法
在这一节中，我们将分享解决问题的思路和方法。通过分析和归纳，培养您 的问题解决能力和的学习，您将全面掌握《两个重要极限》的概念和应用。未来， 您可以将所学知识运用到更广泛的数学和科学领域。
《两个重要极限》
在这个PPT课件中，我们将介绍两个重要极限的概念和应用。通过丰富的内容 和精美的图片，让您轻松理解和掌握这些重要概念。
第一个极限的定义和解释
第一个极限是在函数逼近某个值时的极限值。它在数学和科学领域中具有广 泛的应用，我们将通过例子和图表来说明其原理和特点。
第二个极限的定义和解释
第一个重要极限的推广及应用探析
第一个重要极限的推广及应用探析1. 引言1.1 引言概述极限是微积分中的重要概念，它在数学和其他学科领域中具有深远的影响。
在数学中，极限可以帮助我们理解函数在某个点的变化趋势，揭示函数的性质和特点。
第一个重要极限是极限定义，通过极限定义我们可以准确地描述函数在某个点的极限值。
本文将围绕第一个重要极限展开探讨，从其定义推广至应用，深入分析极限在数学建模和实践中的意义。
我们将通过具体案例分析和数学模型建立来阐述极限在实际问题中的应用和重要性。
我们将结合已有研究成果对未来的研究方向和发展趋势进行展望，以期为相关领域的研究提供新的思路和启示。
【200字】1.2 研究目的研究目的是对第一个重要极限进行深入探究，掌握其定义及推广规律，从而能够更好地应用和理解数学知识。
通过对重要极限的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的极限概念，拓展数学思维，提高数学解决问题的能力。
深入研究重要极限的推广可以为数学领域的发展提供新的思路和方法，拓展数学应用的领域和范围。
本文旨在通过对第一个重要极限的推广及应用进行探析，为数学爱好者和研究者提供更深入的数学知识和思维交流平台，促进数学研究的进步和发展。
通过本文的研究，希望能够揭示重要极限在数学领域中的重要性和应用价值，为数学研究贡献新的思想和理论。
2. 正文2.1 重要极限的定义与推广重要极限的定义与推广是微积分中的重要概念，它们为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
我们来看一下重要极限的定义。
在数学中，极限的概念描述的是一个函数在某一点附近的行为。
具体来说，给定函数f(x)，当x趋近于某个数a时，如果f(x)的值接近于一个确定的常数L，那么我们说f(x)当x趋近于a时的极限是L，记作lim(x→a) f(x) = L。
重要极限的推广包括一些常见的极限形式，如无穷小、无穷大、洛必达法则等。
无穷小是指在x趋近于某个数时，函数值趋近于0的情况。
无穷大是指在x趋近于某个数时，函数值趋近于无穷大的情况。
极限第一重要公式
极限第一重要公式在咱们学习数学的这个大“战场”上，有一个堪称“神器”的公式，那就是极限第一重要公式。
你要问我为啥说它重要？嘿，这可有的说了！就拿我之前辅导的一个学生小明来说吧。
小明这孩子，脑袋瓜挺灵，就是一遇到极限问题就犯迷糊。
有一次，课堂上老师讲了一道用极限第一重要公式求解的题目。
那道题是这样的：求当 x 趋近于 0 时，(sin x) / x 的极限。
老师在黑板上一顿操作，又是画图，又是推导，最后得出答案是 1 ，用的就是这个极限第一重要公式。
可小明呢，瞪着眼睛看了半天，愣是没搞明白。
下了课就来找我，一脸苦恼地说：“老师，这咋回事啊，我怎么就看不明白呢？”我就耐心地给他从头开始讲。
“小明啊，你看这个 sin x ，当 x 趋近于 0 的时候，它和 x 是近似相等的。
”我一边说一边在纸上画着简单的图像。
“那为啥近似相等啊？”小明眨巴着眼睛问。
“你想想啊，咱们把单位圆拿出来看。
”我随手画了个单位圆，“当角度 x 很小很小的时候，对应的弧长和线段长度是不是就很接近啦？”小明皱着眉头，似懂非懂地点点头。
我继续给他解释：“所以啊，当 x 趋近于 0 ，(sin x) / x 的极限就是1 ，这就是极限第一重要公式的厉害之处。
”经过我这么一番细致地讲解，小明总算是有点开窍了。
那到底啥是极限第一重要公式呢？其实就是当 x 趋近于 0 时，sin x / x 的极限等于 1 ，还有当 x 趋近于 0 时，(1 + x) ^ (1 / x) 的极限等于 e 。
这两个公式别看简单，用处可大了去了。
比如说，在求一些复杂的函数极限时，只要能把式子变形，凑成这两个公式的形式，那答案往往就能呼之欲出。
就像咱们解数学题，有时候就像是在走迷宫。
如果没有这些重要的公式作为指引，那很容易就迷失在那些复杂的式子和运算里。
但有了极限第一重要公式，就好像手里有了一把万能钥匙，能打开很多难题的锁。
再比如说，在物理的学习中，涉及到一些变量的变化趋势，极限的概念和这些重要公式也能派上大用场。