静电场计算题 习题库

静电场计算题

1.如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．

解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：

()204d d x d L q E -+π=ε()

2

04d x d L L x

q -+π=ε 2分

总场强为 ⎰+π=

L

x d L x

L

q E 0

2

0)

(d 4－ε()

d L d q +π=

04ε

3分

方向沿x 轴，即杆的延长线方向．

2.一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，所示．试求圆心O 处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π

它在O 处产生场强 θεεd 24d d 2

02

2

0R

Q R

q E π=

π=

2分

按θ角变化，将d E 分解成二个分量：

θθεθd sin 2sin d d 2

02

R

Q E E x π=

= θθεθd cos 2cos d d 2

02

R

Q E E y π-

=-= 3分

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-π=

⎰⎰π

ππθθθθ

ε2/2

/0

2

02

d s i n d s i n 2R Q E x ＝0 2分 2022/2/0202d c o s d c o s 2R Q

R Q

E y εθθθθεπ

πππ-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰ 2分 所以

j R

Q

j E i E E y x 2

02

επ-=+= 1分

L

q

O

3.如图所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

解：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为

E =σ / (2ε0) 2分

以图中O 点为圆心，取半径为r →r ＋d r 的环形面积，其电量为

d q = σ2πr d r 2分

它在距离平面为a 的一点处产生的场强

()

2

/32

2

02d r

a a r d r E +=

εσ 2分

则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为

()

⎰

+=

R

r a

r

r a

E 0

2

/32

2

d 2εσ

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

+-=

2

2012R

a a

εσ 2分

由题意,令E =σ / (4ε0)，得到R ＝a 3

2

分

4.电荷线密度为λ的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．

解：以O 点作坐标原点，建立坐标如图所示．

半无限长直线A ∞在O 点产生的场强1E ， ()j i R

E

--π=

014ελ

2分

半无限长直线B ∞在O 点产生的场强2E ， ()j i R

E +-π=

024ελ

2分 半圆弧线段在O 点产生的场强3E

，

i R

E

032ελ

π=

2分

由场强叠加原理，O 点合场强为

0321=++=E E E E

2分

5. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．

B

∞

∞

O

B

A

∞

∞

解：在O 点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A ∞在O 点产生的场强：

()j i R E -π=014ελ 2分 半无限长直线B ∞在O 点产生的场强：

()j i R E +-π=0

24ελ

2分 四分之一圆弧段在O 点产生的场强： ()j i R E +π=034ελ 4分

由场强叠加原理，O 点合场强为：

()j i R E E E E +π=++=03214ελ 2分

6.图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分

布为： E x ＝bx ， E y ＝0， E z ＝0． 高斯面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求该闭

合面中包含的净电荷．(真空介电常数ε0＝8.85×10-12

C 2·N -1·m -2 )

解：设闭合面内包含净电荷为Q ．因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：

-E 1S 1+ E 2S 2=Q / ε0 ( S 1 = S 2 =S ) 3分

则 Q = ε0S (E 2- E 1) = ε0Sb (x 2- x 1)

= ε0ba 2(2a －a ) =ε0ba 3 = 8.85×10-12 C 2分

7.真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0．

常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量．

解： 通过x ＝a 处平面1的电场强度通量 Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3

1分 通过x = 2a 处平面2的电场强度通量

Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3 1分

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

Φ = Φ1+ Φ2 = 2b a 3-b a 3 = b a 3 =1 N ·m 2

/C 3分

B A ∞

y

x