初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式

1、绝对值

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a, a 0,

|a|0, a 0,

a, a 0.

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

2、绝对值不等式的解法

（1）含有绝对值的不等式

① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2

f (x) g(x) f (x)

g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．

③将分段求得解集，再求它们的并集．

例1. 求不等式3x 5 4的解集

例2. 求不等式2x 1 5的解集

例3. 求不等式x 3 x 2 的解集

例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．

1

例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．

例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．

练习

解下列含有绝对值的不等式：

（1）x 1 x 3 ＞4+x

（2）| x+1|<| x－2|

（3）| x－1|+|2 x+1|<4

（4）3x 2 7

(5) 5x 7 8

3、因式分解

乘法公式

（1）平方差公式 2 2

(a b)( a b) a b

（2）完全平方公式 2 2 2

(a b) a 2ab b

（3）立方和公式 2 2 3 3

(a b)(a ab b ) a b

（4）立方差公式 2 2 3 3

(a b)(a ab b ) a b

（5）三数和平方公式 2 2 2 2

(a b c) a b c 2(ab bc ac)

（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3

(a b) a 3a b 3ab b

2

（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3

(a b) a 3a b 3ab b

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

2

（1）x －3x＋2；（2）

2

6x 7x 2

（3） 2 ( ) 2

x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．

2．提取公因式法

例2. 分解因式：

2 （2）x

3 9 3x2 3x （1）a

b 5 a 5 b

3．公式法

例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 2

3x 2y x y

2 4．分组分解法

2

例4. （1）x xy 3y 3x （2）

2 2

2x xy y 4x 5y 6

5．关于x 的二次三项式ax

2+bx+c( a≠0) 的因式分解．

若关于x 的方程 2 0( 0)

ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式

2 ( 0)

ax bx c a 就可分

解为a(x x )(x x ).

1 2

例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1） 2 2 1

x x ；（2）

2 4 4 2 x xy y ．

3

练习 （1） 2

5 6

x

x （2） 2

1 x a

x a

（3） 2 11 18

x

x （4）

2

4m 12m 9

（5）

2

5 7x 6x

（6） 2

2

12x

xy 6y

2

q p （ 7

） 6 2p q 11

2

3

（ 8 ）

3

5a 2

b 6ab

2

a

（ 9 ）

2

4 2 4 x

x

2

（10） x 4

2x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by

（12） a 2

4ab 4b 2 6a 12b 9

(13) x 2

－2x －1

（14） 3

1

a

；

（15）

4 2

4x 13x 9 ；

（16）

2 2

2 2 2

b c

ab ac bc ；

（17）

2 2

3x 5xy 2y x 9y 4

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程 (1) 根的判别式

2

对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:

（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根

x 1

，2

＝

，2＝

2

4 b

b

ac 2a

；

（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a

；

（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）

2

如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝

b a ，x 1· x 2＝

c a

．这一关系也被称为韦达 定理．

2、二次函数

2

y ax bx c 的性质

1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为

x

b 2a

，顶点坐标为 2

b

4ac b ， 。 2a 4a

当 x

b 2a

时，y 随 x 的增大而减小； 当 x b 2a 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x b 2a 时，y 有最小值 2

4ac b 4a

。