初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式
1、绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
a, a 0,
|a|0, a 0,
a, a 0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
2、绝对值不等式的解法
（1）含有绝对值的不等式
① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2
f (x) g(x) f (x)
g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．
③将分段求得解集，再求它们的并集．
例1. 求不等式3x 5 4的解集
例2. 求不等式2x 1 5的解集
例3. 求不等式x 3 x 2 的解集
例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．
1
例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．
例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．
练习
解下列含有绝对值的不等式：
（1）x 1 x 3 ＞4+x
（2）| x+1|<| x－2|
（3）| x－1|+|2 x+1|<4
（4）3x 2 7
(5) 5x 7 8
3、因式分解
乘法公式
（1）平方差公式 2 2
(a b)( a b) a b
（2）完全平方公式 2 2 2
(a b) a 2ab b
（3）立方和公式 2 2 3 3
(a b)(a ab b ) a b
（4）立方差公式 2 2 3 3
(a b)(a ab b ) a b
（5）三数和平方公式 2 2 2 2
(a b c) a b c 2(ab bc ac)
（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b
2
（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
2
（1）x －3x＋2；（2）
2
6x 7x 2
（3） 2 ( ) 2
x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．
2．提取公因式法
例2. 分解因式：
2 （2）x
3 9 3x2 3x （1）a
b 5 a 5 b
3．公式法
例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 2
3x 2y x y
2 4．分组分解法
2
例4. （1）x xy 3y 3x （2）
2 2
2x xy y 4x 5y 6
5．关于x 的二次三项式ax
2+bx+c( a≠0) 的因式分解．
若关于x 的方程 2 0( 0)
ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式
2 ( 0)
ax bx c a 就可分
解为a(x x )(x x ).
1 2
例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1） 2 2 1
x x ；（2）
2 4 4 2 x xy y ．
3
练习 （1） 2
5 6
x
x （2） 2
1 x a
x a
（3） 2 11 18
x
x （4）
2
4m 12m 9
（5）
2
5 7x 6x
（6） 2
2
12x
xy 6y
2
q p （ 7
） 6 2p q 11
2
3
（ 8 ）
3
5a 2
b 6ab
2
a
（ 9 ）
2
4 2 4 x
x
2
（10） x 4
2x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by
（12） a 2
4ab 4b 2 6a 12b 9
(13) x 2
－2x －1
（14） 3
1
a
；
（15）
4 2
4x 13x 9 ；
（16）
2 2
2 2 2
b c
ab ac bc ；
（17）
2 2
3x 5xy 2y x 9y 4
第二讲 一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程 (1) 根的判别式
2
对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:
（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根
x 1
，2
＝
，2＝
2
4 b
b
ac 2a
；
（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a
；
（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）
2
如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝
b a ，x 1· x 2＝
c a
．这一关系也被称为韦达 定理．
2、二次函数
2
y ax bx c 的性质
1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为 2
b
4ac b ， 。

2a 4a
当 x
b 2a
时，y 随 x 的增大而减小； 当 x b 2a 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x b 2a 时，y 有最小值 2
4ac b 4a。

4
2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b
2a
，顶点坐
标
为
2
b 4a
c b
，。

当
2a 4a
x
b
2a
时，y 随
x 的增大而增大；当x b
2a 时，y 随x 的增大而减小；当x
b
2a
时，y有最大值
2
4ac b
4a .
3、二次函数与一元二次方程：
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程 2 0
ax bx c 是二次函数
2
y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数：
①当 2 4 0
b a
c 时，图象与x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0 (x1 x2 ) ，其中的x1 ，x2 是一元二次方程
2 0 0
ax bx c a 的两根。

这两点间的距离AB x x
2 1
2
b 4ac
a
.
②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；
③当0 时，图象与x 轴没有交点.
1' 当a 0 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；
2' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 。

2
例1. 若x1 和x2 分别是一元二次方程2x ＋5x－3＝0 的两根．
（1）求| x 1－x2| 的值；（2）求
1 1
2 2
x x
1 2
3 ＋x 3．
的值；（3）x
1 2
2 2
y mx x m m x
例2. 函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）
Ａ．0 个Ｂ．1 个Ｃ．2 个Ｄ．1 个或 2 个
2 5 2 5
x y mx mx m x
例 3. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴mx mx m
m 必然相交于点，此
时．
2 (2 1) 6
y x m x m x
例4 . 抛物线与轴交于两点(x，0) 和(x2，0)，若x1x2 x1 x2 49，要使抛物线
1
个单位．
平移
经过原点，应将它向右
x y 2mx2 (8m 1)x 8m x m
例5. 关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）
1 1 1 1
m m≥m 0 m m m 0
Ａ．Ｂ．且Ｃ．Ｄ．且
16 16 16 16
5
练习
3. 一元二次方程ax 1 和x2．求：
2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x
x x （1）| x 1－x2| 和 1 2
2
3 3 ；（2）x1 ＋x2
．
2
y (k 2)x 7x (k 5) x
4. 如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标x ．
2
5. 已知抛物线y ax bx c与y 轴交于C 点，与x轴交于A( x，0)，B(x，0)( x x ) 两点，顶点M 的
1 2 1 2
2 2( 1) 2 7 0
2 2
4 x1 x2 x m x m x1 x2 10 纵坐标
为，若，是方程的两根，且．
（1）求A，B两点坐标；
C
（2）求抛物线表达式及点坐标；
y ax2 c x
x x x
6. 若二次函数，当取x、x （）时，函数值相等，则当取x x 时，函数值为
1 2 1 2 1 2
（）
a c a c c c
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
1 1
2 2
y x bx c x
5、已知二次函数，关于的一元二次方程x bx c 0 的两个实根是1和 5 ，
2 2
则这个二次函数的解析式为
第三讲一元二次不等式的解法
1、定义：形如ax
2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式
做关于x 的一元二次不等式。

2 、一元二次不等式的一般形式：
ax
2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）
3 、一元二次不等式的解集：
2 -4 ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
Δ=b
y
y y
2+bx+c＞ 0
y=ax
（a＞0）的图象x
1 O x
2
x
O
x
x1 (x2) O
x
6
ax2+bx+c=0 2+bx+c=0 x1= 2
4
b b ac
2a
（a＞0）的根x
2=
2 4
b b ac
2a
x1= x 2=- b
2a
没有实数根
ax2+bx+c＞0
2+bx+c＞0 （a＞0）的解集x＜x1 或x＞x2
（x1＜x2）
x≠- b
2a
全体实数
ax2+bx+c＜0
2+bx+c＜0
x1＜x＜x2
无解无解（a＞0）的解集（x1＜x2）
4、解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将原不等式化成一般形式ax
2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；
（2）计算
Δ=b
2-4 ac；
（3）如果Δ≥0，求方程ax
2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；
（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。

例1. 解下列不等式：
（1）4x
2-4 x＞15；（2）- x2-2 x+3＞0；（3）4x2-4 x+1＜0
2
x在什么范围取值时，函数y=-3 x +12x-12 的值等于0？大于0？小于0？例2. 自变量
7
例3. 若关于x 的方程x
2- （m+1）x- m=0 有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

练习
7. 解下列不等式：
（1）4x
2-4 x＜15；（2）- x2-2 x+3＜0；（3）4x2-4 x+1＞0
2 2
（3）4x -20 x＜25；（4）-3 x +5x-4 ＞0；（5）x（1- x）＞x（2x-3 ）+10
8
8. m是什么实数时，关于x 的方程mx2- （1- m）x+m=0 没有实数根？
9. 已知函数y= 1
2
2－3x－
x
3
4
，求使函数值大于0 的x 的取值范围。

含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.
1. 二次项系数含参数a（按 a 的符号分类）
例1. 解关于x的不等式： 2 ( 2) 1 0.
ax a x
9
例2. 解关于x的不等式： 2 5 6 0( 0)
ax ax a a
10. 按判别式的符号分类
例3. 解关于x的不等式： 2 4 0.
x ax
例4. 解关于x的不等式： 2 2
(m 1)x 4x 1 0.(m为任意实
数)
10
WORD文档
11. 按方程
2 0
ax bx c 的根x1 ,x2 的大小分类。

例5. 解关于x的不等式： 2 1
x (a )x 1 0(a 0)
a
例6. 解关于x的不等式： 2 5 6 2 0( 0)
x ax a a
练习
2 a x a
2. 解关于x的不等式：x ( 2) 0.
2 a x
3. 解关于x的不等式：ax ( 1) 1 0.
2 ax
4. 解关于x的不等式： 1 0.
5.ax
2 x ax
2
6. 解关于x的不等式：( 1) 3 3 0
a
第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法
1. 一元高次不等式的解法
1. 可解的一元高次不等式的标准形式
11
(x x )( x x ) (x x n) 0( 0)
1 2
（1）左边是关于x 的一次因式的积；
（2）右边是0；
（3）各因式最高次项系数为正。

12. 一元高次不等式的解法
穿根法：
（1）将高次不等式变形为标准形式；
（2）求根x x x ，画数轴，标出根；
1, 2, , n
（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。

(4) 写出所求的解集。

例1. ( x 1)( x 2)( x 3) 0
例2. 2
x(x 1) (x 2)( x 1) 0
例3. ( x 1)( x 2)(3 x) 0
12
例4. 2
( x 2)(x 3)(x 2x 1) 0
例5. 2
( x 1)(x 2)(x 4x 5) 0
例6. 3 2
2x x 2x 1 0
练习
13. 2
(x 1)(x 3)( x 6x 8) 0
14. 2 2
(3x 2x 8)(1 x 2x ) 0
15. 2 2
(x 2x 3)(x 6x 7) 0
16. 2 2
(x 4x 5)( x x 1) 0
17. 2 3
(x 2)( x 3) (x 6) (x 8) 0
13
18. 4 2 3 2 0
x x x
19. 3 3 2 3 0
x x x
7. 分式不等式的解法
例1. （1）x
x
3
2
0与x 3 x 2 0 解集是否相同，为什
么？
（2）x
x
3
2
0与 3 2 0 解集是否相同，为什么？
x x
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
f x
（1）0 f x g x 0
g x
（2）
f x
g x
f x
g x g x
解题方法：穿根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。

例2. 解不等式：
2
x 3x 2
2
x 7x12
14
例 3. 解不等式： 2
x
9x 11 2
x
2x 1
7 例 4. 解不等式： 2
x
5x 6 2
x
3x 2
0( 0) 例 5. 解不等式：
2x 1 2x 1 x 3
3x 2
2 3x 例 6. 解不等式： 2
x x
1
3 练习 解不等式：
20. x 2 3 x
0 21. 2x 1 x 3
1
15
22.
2 x 3x 2 2
x
2x 3
0 23. 2 2 1 x
x x 2
0 24.
3 2
x 1
x x 6
2
x 3
25. x x 9 3 2
x
26.
1
0 x
1 x
8. 无理不等式的解法 1、无理不等式的类型：
f (x) 0
f (x)
g (x)型
g( x) 0 ①
f (x) g( x)
②
g(x) 0
g (x) f (x) g( x)型
或
f (x) 0
2
f (x)
f (x) [ g(x)]
0 0
16
f (x) 0
③ f (x) g( x)型
g (x) 0
2
f (x) [g( x)] 例1. 解不等式3x 4 x 3 0
2
例2. 解不等式x 3x 2 4 3x
2 x x 例3. 解不等式2x
6 4 2
17
第五讲集合的含义与表示
27. 集合的含义
28. 集合元素的三个特性
29. 元素与集合的关系
30. 常用的数集及其记法
31. 集合的表示方法
32. 集合的分类、空集
例1. 判断下列对象能否构成一个集合
（1）身材高大的人
（2）所有的一元二次方程
（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点
（4）细长的矩形的全体
（5） 2 的近似值的全体
（6）所有的数学难题
例2. 已知集合 2
A a, a b, a 2b ,
B a, ac,ac ,若A B,求实数c的
值。

例3. 已知集合S 中三个元素a, b, c是ABC的三边长，那么ABC一定不是三角形。

例4. 用适当的方法表示下列集合。

（1） 2 9 0
x 的解集；
（2）不等式2x 1 3 的解集：
18
（3）方程组
x y
x y 2
4
的解集；
（4）正偶数集；
例5. 已知集合 2 2 0, ,
A x x x a a R x R 若A中至多有一个元素，求 a 的取值范
围。

例6. 下列关系中，正确的有
1
(1) R;(2) 2 Q;(3) 3 N;(4) 3 Q.
2
练习
33. 已知集合 A 1,2,3, 4,5 ,B (x ,y) x A,y A,x y A , 则 B 中所含元素的个数为（）
A.3
B.6
C.8
D.10
34. 已知集合 A 0,1,2 ,则集合B x-y x A, y A 中元素的个数是（）
A.1
B.3
C.5
D.9
35. 已知A 1,2,3 ,B 2,4 ,定义A、B间的运算 A B x x A且x B , 则集合
A B 等于（）
A. 1,2,3
B. 2,4
C. 1,3
D. 2
36. 若集合 2 1 0
A x R ax ax 中只有一个元素，则a=( )
A.4
B.2
C.0
D.0 或4
37. 设集合A 1,2,3 ,B1,3,9 ,x A且x B,则x （）
A.1
B.2
C.3
D.9
38. 定义集合运算： A B z z xy (x y, x A, y B) . 设A 0,1 , B 2,3 ,
则集合 A B 的所有元素之和为（）
A.0
B.6
C.12
D.18
39. 下列各组对象中不能构成集合的是（）
A. 某中学高一（2）班的全体男生
B. 某中学全校学生家长的全体
B. 李明的所有家人 D. 王明的所有好朋友
40. 已知a,b 是非零实数，代数式a b ab
a b ab
的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（）
A. 0 M
B. 1 M
C.3 M
D.1 M
19
41. 已知A 1, 2,0,1 , B x x y , y A ，则B=
42. 集合 2
A a 2, 2a 5a,12 ,且 3 A,则a =
43. 设集合 A x x 2k 1,k Z ,a 5，则有（）
A a A B. a A C. a A D. a A .
44. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（）
A.x x 1 2
B. x x 1
C. 1
2 D. y ( y 1) 0
45. 已知集合 2 3 2 0
A x ax x ，若A中至多有一个元素，则 a 的取值范围
是
b
46. 集合1, , 0, , ,则=
a b a b a b
a
47. 已知集合 2 1 0, .
A x x ax a R
（1）若 A 中只有一个元素，求 a 的值；
（2）若 A 中有两个元素，求 a 的取值范围.
第六讲集合间的基本关系
9. 子集的概念
10. 集合相等的定义
11. 真子集的定义
12. 子集的性质
13. 确定集合子集与真子集个数
例1. 判断集合 A 是否为集合 B 的子集。

（1）A 1,3,5 , B 1,2,3,4,5,6
（2）A 1,3,5 , B 1,3,6,9
（3） 2
A 0 ,
B x x 2 0
（4）A a,b, c, d ,B d,b,c, a
例2. 写出集合a,b , a, b,c 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

例3. 判断下列写法是否正确。

20
（1） A (2) A (3) A A (4) A A
例4. 已知 2 2 3 0 , 1 0 , ,
A x x x
B x ax 若B A 求a 的
值。

例5. 已知集合 2 3 2 0 , 0,1,2 ,
M x x x N 则M与N的关系正确的是
（）
A.M N
B.M N
C.M N
D.N M
例6. 已知集合 A x 2 x 5 , B x m 1 x 2m 1 。

（1）若B A , 求实数m的取值范围；
（2）若x Z, 求A 的非空真子集的个数。

练习
48. 已知集合 2 3 2 0, , 0 5, ,
A x x x R
B x x x N 则满足条件A
C B 的集合C的个数（）
A.1
B.2
C.3
D.4
49. 集合1,0,1 共有个子集。

50. 已知集合 A 1,3, m ,B1,m , B A, 则m= 。

51. 已知集合A 1,0,1 ,则下列关系式中正确的是（）
A.A A
B.0 A
C. 0 A
D. A
52. 设A x 1 x 3 ,B x x a ,若A B,则a 的取值范围是（）
A. a a 3
B. a a 1
C. a a 3 B. a a 1
y
53. 设x,y R, A (x, y) y x ,B ( x, y) 1 ,
x
则A,B 的关系是
54. 已知集合 2
A 2,3, 4m 4 ,集合B= 3，m .若
B A, 则实数
m=
55. 集合
2 6, ,
A x x y x N y N 的真子集的个数为（）
A.9
B.8
C.7
D.6
56. 已知集合 A 2,0,1 , 集合 B x x a,且x Z , 则满足 A B 的实数 a 可以取的一个值是（）
21
A.0
B.1
C.2
D.3
57. 已知集合 A 1,2 , B x ax 2 0 ,若B A , 则a 的值不可能是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
58. 若集合 2 6 0 , 1 0 , ,
A x x x
B x mx B A 求m的值。

59. 已知A x k 1 x 2k , B x 1 x 3 , A B, 求实数k 的取值范围。

60. 已知集合 A x 2 x 7 , B x m 1 x 2m 1 ,若B A, 求实数m的取值范围。

第七讲集合的基本运算
14. 并集的定义及性质
15. 交集的定义及性质
16. 全集、补集的定义及性质
例1. 设A4,5,6,8 ,B 3,5,7,8 ,求A B
例2. 设集合 2
A 1,0,1 ,
B a,a ,则使A B A成立的 a 的值
为
22
例3. 已知 A x x 4 , B x x a , 若A B R,求实数 a 的取值范围。

例4. 设A x x 2 , B x x 3 ,求A B.
例5. 已知集合M (x, y) x y 2 , N (x, y) x y 4 , 那么集合M N 为（）
A x y B.(3, 1) C. 3, 1 D. (3, 1)
. 3, 1
例6. （1）若S2,3,4 , A 4,3 ,则C A
S
(2) 若 2
U 1,3, a2a 1 , A 1,3 ,C U A 5 , 则a=
例7. 已知A 0,2,4 ,C U A 1,1 ,C U B 1,0,2 ,求B
例8. (1) 已知集合 2 2
M 2,3, a 4a 2 , N 0,7, a 4a 2,2 a ,
且M N 3,7 , 求实数 a 的值。

（2）设全集 2
U 1,3, a 2a 3 , A 2a 1 ,2,C U A 5 , 求实数 a 的值。

例9. 已知集合 2 4 2 6 0, , 0, ,
A x x mx m x R
B x x x R 若A B , 求实数m的取
值
范围。

练习
61. 若集合A 1,2,3 ,B1,3,4 ,则A B 的子集个数为
62. 已知全集U R, A x x 0 ,B x x 1 ,则集合C U (A B)
63. 已知集合 A 1,3, m , B 1,m , A B A,则m （）
A.0 或 3
B.0 或3
C.1 或 3
D.1 或3
64. 已知集合 2 1 , . ,
P x x M a 若P M P 则a 的取值范围是
（）
A. , 1
B. 1,
C. 1,1
D. , 1 1,
65. 设
2
U 0,1,2,3 , A x U x mx 0 ,若C U A 1,2 , 则实数m=
66. 已知M x x 2或x 3 , N x x a 0 ,若N C R M (R 为实数集) ，则 a 的取值范围是
67. 若
2 1
A x x x
B x A B
2 0 , 1 ,则
x
23
68. 已知集合 2
M 0,1,2,3 ,N x x 3x 0 ,则M
N
69. 集合A x 1 x 3 ,B x 2x 4 x 2 ，
（1）求A B.
（2）若集合 C x 2x a 0 满足B C C, 求实数 a 的取值范围。

70. 已知非空集合 A x 2a 1 x 3a 5 , B x 3 x 22 .
（1）当a=10 时，求 A B, A B ;
（2）求能使A A B 成立的a 的取值范围。

71. 已知全集 3 2
U 1,3, x 3x 2x , A 1, 2x 1 ,若C U A 0 ,求x 的
值。

72. 设全集U x x 0 , A x 2 x 4 ,B x 3x 7 8 2x , 求
（1）A B, A B,C ( A B),( C A) B;
U U
（2）若集合 C x 2x a 0 ,满足B C C,求实数 a 的取值范围。

73. 已知集合 A x 2 a x 2 a , B x x 1或x 4 .
（1）当a=3 时，求 A B;
（2）若a 0,且A B ,求实数a 的取值范围。

第八讲函数的概念
17. 函数的定义
18. 函数三要素
19. 函数定义域及函数值域的求法
20. 区间的概念
24
例1. 下列图像中不能作为函数y f x 的图像的是（）
A．B．C．D．例2. 判断下列对应 f 是否为从集合A到集合B的函数。

（1）A R,B N ,对于任意的x A,x x 2 ;
（2）A N,B R,对任意的x A, x x;
（3）A1,2,3 , B R, f 1 f (2) 3, f 3 4;
例3. 已知
1
2
f x (x R且x 1),
g x x 2(x R),求
1 x
（1）f 2 , f a 1 ,g 2 的值；
（2） f g 2 的值。

例4. 求下列函数的定义域：
1
（1） f x
x
2
（2）f x 2 4x
（3） f x x 1
（4）y 2x 3
1 1
x 2 x
例5. 求下列函数的值域：
（1）y2x 1, x 1,2,3,4,5 ;
（2） 2 4 6, 1,5 ;
y x x x
（3）y x x;
（4）y 2x 1 x 1
例6. 下列各组函数中， f x 与g x 表示同一函数的是（）
25
2
A.f x x 1与g x x 2x 1
B.f x x g x
与
2 x x
3 3
C. f x x与g x x
2 4
x
D.f x 与g x x 2
x 2
例7. （1）已知函数 f x 的定义域为1,3 ，求函数 f 2x 1 的定义域；
（3）已知函数 f 2x 1 的定义域为1,3 ，求函数f x 的定义域。

练习
74. 下列图像中不能作为函数y f x 的图像的是（）
A．B．C．D．
75. 求下列函数的定义域。

（1）f x x 1 4 x 2
x 1
（2）y
x x
1
（3） f x x 3
x
2
76. 判断下列各组函数是否是相等函数。

（1） 2 1, 2 1;
f x x x
g t t t
（2） 2
f x x 1 x 1,
g x x 1.
77. 已知函数 f x 的定义域为1,0 ，则函数 f 2x 1 的定义域为。

78. 已知函数 f x x 1,若f a 3,则实数a= 。

79. 已知
1
2
则， f g 2 = 。

f x ,
g x x 2, f 2
1 x
26
80. 已知函数 f 2x 1 的定义域为2, 1
2
，则f x 的定义域为。

81. 若函数 2 3 4
y x x 的定义域为
25
0, , 4
m 值域为，- ，则m的取值范围是（）
4
A. 0,4
B. 25，- 4
C. 3,3
4 2 D. 3,
2
82. 函数f x 的定义域是4,1 ，则函数y
2
f x
2 1
x
的定义域为。

83. 已知函数y f 2x 1 的定义域为1,1 ，求函数y f x 2 的定义域。

84. 求下列函数的值域。

（1）y x 1
（2） 2 2 3, 0,3
y x x x
（3）y 2x 1 x 3
（4）y 2x x 1
85. 已知函数
1
f x x
x 6
4 。

（1）求f x 的定义域。

（2）求f 1 , f 12 的值。

86. 已知函数 2 2 1 0,1
f x x ax a在x 上有最大值2，求 a 的
值。

27
第九讲函数的表示方法
87. 函数的三种表示方法
88. 分段函数
89. 映射
例1. 已知函数f x ,g x 分别由下表给出
x 1 2 3
f x 1 3 1
x 1 2 3
g x 3 2 1
则 f g 1 的值为；g f 2 的值为。

2x 3,x ,0
例2. 已知f x 2
2x 1,x 0, ，求的值。

f 0 , f f 1
例3. (1) 作出函数y x 1 的图像。

（2）图中的图像所表示的函数的解析式为（）
A.
3
y x 1 0 x 2 B.
2
3 3
y x 1 0 x2
2 2
B.
3
y x 1 0 x 2 D. y 1 x 1 0 x 2 2
例4. （1）
1
A 0,1,2 ,
B 0,1, , f ：取倒数，可以构成映射吗？
2
（2）有一个映射 f : A B, 使集合 A 中的元素x, y ，映射成 B 中的元素x y,x y ，则在映射的作用下：①2,1 的象是；②2,1 的原象是。

2
x 2,x 2
例5. 函数f x 2x,x 2 ，若f x0 8,则
x0 。

例6. 直线y 1与曲线 2
y x x a 有四个交点，则 a 的取值范围是。

练习
28。