1.4 阶跃函数和冲激函数

▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t) 1.4-23
f (t)
(t) f (t)d t f (0) 1.4-24
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
δ(n)(t)的定义：
(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)
1.4-17
δ’(t)的平移：
( t
t0)
f
(t )d t
f
(t0)
1.4-32
③ t (t)d t t
例
(t
2)2 '(t) d t
d dt
[(t
2)2 ]
t 0
2(t
2)
t 0
4
▲
■
第 15 页
(t) d t
1
(t)dt
0 (t )d t
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零； ➢ 积分面积为1；
δ(t)
(1)
➢ t =0 时， t ，为无界函数。 o
t
▲
■
第6页
2.函数定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γn
11
n pn(t)
2
2
1 o 1
n
n
求导
2
1 o 1
t
0, t 0
n
n
(t)
def
lim
n
n
(t
)
1, 2 1,
t 0 t 0
(t)
1
O
t
▲
■
第2页
2. 延迟单位阶跃信号
(t)
1
(t
t0
)
0 1
0
(t t0 ) 1
O
t
t t0, t t0
t0 0
(t t0 ) 1
O
t0
t
t t0, t t0
t0 0
(t t0 ) 1
冲激偶取样性证明
证明1 f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
[ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t)
= f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
▲
■
第 25 页
P14
s(t )
1
o
τ↓
s(t )
t
0
(t)
(1)
O
t
(t)
1
2
O
t
1 2
t
O
'(t) d t 0
▲
■
第 14 页
冲激偶的性质
① f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
②
'(t) f (t) d t f '(0)
证明
证明 1.4-25 1.4-26
4 24 2 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
#
▲
■
第 22 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f (t) (t) f (0) (t)
f (t) (t)d t f (0)
（2）奇偶性
(t) (t)
（3）比例性
(at) 1 t
a （4）微积分性质
(t) d (t)
积分结果为0
当t = 0 时，δ(t) ≠ 0， f(t)δ(t)= f(0)δ(t) ，(注意：当t =0 时)
积分为 0 f (0) (t)dt f (0) 0 (t)dt f (0)
0
0
即
(t) f (t)dt f (0)
■
第 12 页
取样性质举例
sin( t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
f '(t) d t
-2
o2 t
-4
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
-2 o 2 t
▲
■
第 21 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t 2 4] 1 d [ (t 2 4)] 1 [ (t 2) (t 2)]
2t d t
2t
1 (t 2) 1 (t 2) 1 (t 2) 1 (t 2)
22
22
4
4
n
一般地， [ f (t)]
i 1
f
1 ' (t i
)
(t
ti
)
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
f
1 ' (t
i
)的n个冲激
(4t 2 1) 1 (t 1) 1 (t 1)
t0 O
t
▲
■
第3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t) -3ε(t-1) +ε(t-2)
f (t) 2
o 12
t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间 -1
f (t)
f(t)ε (t)
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
to
t (b)
（3）积分
(n)
(t)
推论: (1) (at) 1 (t)
|a|
δ(2at)=t00).5δ|
1a(t|)
(t
t0 a
)
(2) 当a = –1时 (n) (t) (1)n (n) (t)
所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲
■
第 17 页
冲激信号尺度变换的证明
举例
1.4-29
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
1.4-30
▲
■
第 11 页
冲激函数取样性质证明
证明： (t) f (t) f (0) (t)
(t) f (t)d t f (0)
分t = 0和t ≠0 两种情况讨论
当t ≠0 时， δ(t)= 0， f(t)δ(t)= 0，(注意：当t ≠0 时)
(2)
请画出f (t)的波形。
t O 123
f(t) (4)
-1O 1 2 3
t 6
■ 第 19 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4
求导，得g(t) (4)
g(t) = f '(t)
-2
o
2
t
-2
o
-1
2 t
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1 o
1 t
sin(
t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0
sin(
t
)
(t
1)
d
t
?
0
3
4
9
sin( t
) (t) d t
?
2
1
4
2
t
(
1)2 ( ) d
?
ε(t)
1
d e2t (t) e2t (t) 2 e2t (t) (t) 2 e2t (t)
dt
■ 第 13 页
2.冲激偶 δ(t)的一阶导数δ’(t)称为冲激偶。
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异函数或奇异信
号。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
11
dt
δ(t)
(1)
o
t
▲
■
第8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t) 2
求导
-1 o 1 t
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f '(t)
(2) 1t
-1 o
(-2)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
▲
■
第9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
1. 单位(样值)序列δ(k)
•定 义
(k
)
def
1, 0,
k 0 k 0
•取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
δ(k)
1
-1 o 1 k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
f (k) (k) f (0)
k
•例
(k) ?
(k 5) (k) ?
k
k
(k i) ?
i
▲
■
第 24 页
2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义
def 1, k 0
(k) 0, k 0
•ε(k)与δ(k)的关系
ε (k)
1 …
-1 o 1 2 3 k
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
k
(k) (i)
或
i
(k) (k j)
j0
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
t def
1 o 1 t
n
n
(t)
Hale Waihona Puke Baidulim
n
pn
(t)
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
▲
■
第7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γn
11
2
1 o 1
n
n
求导
n pn(t) 2
t
pn (t)
d n (t)
dt
1 n
o
1 n
t
n→∞
ε(t)
1
o
t
t
(t) ( ) d
求导
(t) d (t)
证明2
'(t) f (t) d t f '(0)
利用分部积分运算
(t) f (t)dt f (t) (t)
f (t) (t)dt f (0)
■ 第 16 页
3. 对(t)的尺度变换
at 1 t 证明 举例
a
at 1 1 t
aa
(n)
(at)
|
1 a
|
1 an
从 (t)定义看： pt
pat
1
1
O
2
t
2
2a
O
a
p(t)面积为1， t 强度为1
1
1
p(at)面积为 a ， at 强度为 a
0时,
p(t) (t),
p(at) 1 (t)
a
t
2a
■ 第 18 页
冲激信号尺度变换举例
例1
(5t)(t 2)2 dt ?
4 5
f(5-2t)
例2 已知信号f (5 2t)的波形，
t
( ) d t (t)
o t1 t2
t
(c)
▲
■
第4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短的物理量的一种理想化模型。
狄拉克(Dirac)定义
函数序列定义δ(t)
冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t) 0 t 0
-1
▲
■
第 20 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其
中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根 ti ( i=1，2，…，n)
f (t)
d {[ f (t)]} [ f (t)] d f (t)
dt
dt
[ f (t)] 1 d {[ f (t)]}
t
( ) d (t)
dt
（5）冲激偶
f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
f (t) (t)d t f (0) t (t)d t (t) (t) (t) (t)d t 0
▲
■
第 23 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。