初中数学完全平方公式课件PPT

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《完全平方公式(1)》参考课件

2023
《完全平方公式(1)》参考课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。

完全平方公式课件(共15张PPT) 2024-2025学年人教版初中数学八年级上册

=362 − 60 + 25 2
=42 − 4 + 1
2：如果 + + 是一个完全平方式，则x的值为多少？
解：因为 + +
=（） + ∙ ∙ + (±)
所以 x 的值为±
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
“口诀”：首平方，尾平方，积的两倍在中央。
想一想：
你能根据图 1 和图 2 中的面积解释完全平方公式吗?
b
b
a
a
a
b
图1
ห้องสมุดไป่ตู้
a
图2
b
( − ) =?
你是怎样做的？
（ − )2 = ( − )( − )
=2 − 2 +
2
（ − )2 = + (−)
2
=2 + 2(−) + (−)2
(a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，
完
全
平
方
公
式
加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式的特征：
你有什么收获？
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2. ×
4x2 + 4xy + y2
(2)
(x－y)2
=
x2－y2；
x2 + 2xy + y2
1：利用完全平方公式计算：
(1)（6 + 5)2
(2)(2 − 1)2
解：原式=（6)2 − 2 ∙ 6 ∙ 5 + (5)2 解：原式=（2)2 − 2 ∙ 2 ∙ 1 + 12

初中数学教学课件：14.2.2完全平方公式(第1课时)(人教版八年级上)

子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ b2
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给
了这些孩子多少块糖？（a+b）2
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的
糖果总数哪个多？多多少？（a+b）2-（a2+b2）
（a+b）2 -（a2+b2）
14.2.2 完全平方公式
第1课时
b ab
b²
(a+b a a²)² ab
ab
1.经历完全平方公式的推导过程、几何解释，进一步发展符号感和推理能力． 2.理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
4.计算：(1)(x+2y)2 (2)(a+b+c) 2.
【解析】(1) (x+2y) (x+2y) = x2+2×x× 2y+(2y)2 = x2+4y2+4xy.
(2)(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

苏科版七年级数学下册乘法公式—完全平方公式课件

解： (1) 原式＝(1000 -2)2 ＝10002- 2×1000×2＋22 ＝1000000－4000+4 ＝996004
(2) 原式＝(2000 ＋1)2 ＝20002＋2×2000×1＋12 ＝4000000＋4000＋1＝4004001
【练一练】
1.用简便方法计算: 992.
2.如图所示,内外两个均为正方形, 则小正方形的边长为多少厘米?大正方形的面积比小正方形大多少?
试一试计算: (a + b + c)2
【练一练】 1.用完全平方公式计算：
(1) (1＋x)2；
(2) (y－4)2；
(3) (－3x＋2)2;
4
3
x
4
2
y
2 3
【练一练】 2.下面计算对不对?如果不对，应当怎样改正?
(1) (x＋y)2 ＝ x2＋y2；
(2) (－a－b)2 ＝ a2－2ab＋b2；
【练一练】
3.填空：
(1) (a +
)2 ＝ a2 + 4ab + 4b2；
(2) (2a +
)2 ＝4a2 + 4ab + b2；
(3) (3x -
)2 ＝ 9x2 - 12xy +
；
(4) ( - x -
)2 ＝x2 +
+ 1.
例题讲授
例2 用简便方法计算：(1) 9982；
(2) 20012.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推理
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2

人教版《完全平方公式》PPT完美课件

八年级上册 RJ
14.2.2 完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ，(a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
2.计算：
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
a+(b+c)=_______；
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例1 运用乘法公式计算：
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．解：(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
3.当x2-xy=18，xy-y2=-15时，求x2-2xy+y2的值. 解：x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2). 因为x2-xy=18，xy-y2=-15，所以x2-2xy+y2 =18-(-15)
=18+15 =33.
=x2-(2y-3)2
=(a+b) +2(a+b)c+c 2 a+(b+c)=_______；
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用Байду номын сангаас式.
2
[x+(2y-1)]2

完全平方公式公开课ppt课件

应用示例
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛应用，还能够帮助解决实际生活中的问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自由落体问题，通过建立数学模型，求出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简中具有重要作用，能够简化复杂的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的二次项和一次项组合转化为简单的平方形式，从而简化代数表达式的结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数，但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

人教版初中数学八年级上册精品教学课件第14章整式的乘法与因式分解 14.2.2 完全平方公式

14.2.2 完全平方公式
快乐预习感知
1.完全平方公式:(a+b)2= a2+2ab+b2 ,
(a-b)2= a2-2ab+b2
.
2.两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和 ,加上(或减
去)它们的积的 2倍 .这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式 .
3.计算:(x+3)2= x2+6x+9
,(x-3)2= x2-6x+9 .
4.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号 .
即是:遇“加” 不变 ,遇“减” 都变 . 5.在下列去括号或添括号的变形中,错误的是( C ). A.a3-(2a-b-c)=a3-2a+b+c
B.3a-5b-1+2c=-(-3a)-[5b-(2c-1)]
互动课堂理解
互动课堂理解
2.乘法公式的综合运用【例2】计算:(1)(2a+b-c)2; (2)(a-2b-3c)(-a-2b+3c). 分析(1)将2a+b-c中任意两项结合添加括号,便可应用完全平方公式;(2)观察发现两个因式中的项是:一项相同,两项相反,故应在相反项即a-3c和-a+3c项添括号,以便利用乘法公式,达到简化运算的目的. 解: (1)原式=[(2a+b)-c]2 =(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2 =4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2 =4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc. (2)原式=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)] =(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2) =4b2-a2-9c2+6ac.

初中数学人教版八年级上册《14.完全平方公式》课件

完全平方公式
(a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
知识点1 完全平方公式
(2) 借助几何图形推导完全平方公式
如图(1) ，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
（a b）2 （- a - b）2 4ab
（a b）2 （a - b）2 （ 2 a2 b2）
ab 1（a b）2 （a2 b2）（a b）2 （a b）2
2
2
2
（a b c）2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
知识点1 完全平方公式
重点：(1)完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式； (2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”； (3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2 = a2±b2 .
计算下列式子： (1) (4m+n)2 ;
(2) (y- 1)2 .
2
解： (1) (4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2 ;
(2) (y-1 )2=y2-2·y1· +1( )2 =y2-y1+ .
2
22
4
计算下列式子： (1) (-2m-n)2 ;
(2) (2x+3y)(-2x-3y) .

完全平方公式.ppt

4
（１） (mn+3)2=( C )
(A) mn2+9
(B) m2n2+9
(C) m2n2+6mn+9 (D) mn2+6m+9
（２）下列计算中正确的是（ D）
(A) (p+q)2=p2+q2 (B) (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (C) (a2+1)2=a4+2a+1 (D) (-s+t)2=s2-2st+t2
(2)中间一项的符号错误
(3)首项被平方时, 未添括号;
6
(1)( 3x +3y )2=
(2)(Байду номын сангаас 1)2 2
(3)x2 12 xy ___ (x __)2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(x+y)2＝x2+2xy + y2 ；
+
(2) (−2x−y)2＝(2x)2 − 2 (2x) (y) + y2;
(3) (0.5x−3y)2＝0.5x2− 2(0.5x)(3y)+(3y)2
(x/2)2
解:(1) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项):2xy
1
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用完全平方公式计算:
(1) (x + 3 )2
(2) (2a+3b)2
（3）(2a 1)2 2
(4) (a - b)2
利用完全平方公式计算:

《完全平方公式》优质课件

平方公式的学习做准备。
02
通过提问和练习，检查学生对已有知识的掌握情况。
课程目标
• 明确本节课的学习目标和主要内容，让学生了解完全平方公式的重要性和应用价值。
02
新知探究
完全平方公式的推导
01 运用乘法分配律
完全平方公式是由乘法分配律引申而来，通过对乘法分配律的运用，可以推导出完全平方公式。
03 培养了观察、分析、推理和归纳的能力。
需要加强的部分
01 对于公式的具体应用还需要进一步加强。
02 在解决实际问题时，还需要提高对题目的理解和分析能力。
03 需要进一步巩固和加深对完全平方公式的理解。
下节课的预习建议
提前预习完全平方公式的证明过程和应用实例。
提前了解下节课要学习的内容，以便更好地参与课堂讨论和互动。《完全源自方公式》优质课件汇报人：
日期:
目录
• 引入部分 • 新知探究 • 实例分析 • 课堂练习 • 总结与反思 • 课后作业
01
引入部分
情境引入
介绍完全平方公式的背景和意义，激发学生对新知识的兴趣。
通过实际例子引导学生思考完全平方公式的结构特点。
知识回顾
01 回顾因式分解、平方差公式等基础知识，为完全
02 平方差公式
平方差公式是乘法分配律的逆运算，通过平方差公式可以推导出完全平方公式。
03 完全平方公式的证明
通过具体的证明过程，可以让学生更加深入地理解完全平方公式的推导过程。
完全平方公式的形式与意义
01 完全平方公式的形式
完全平方公式包括三项，分别是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
多做练习题，加深对公式的理解和应用。
06

沪教版(上海)初中数学七年级第一学期2完全平方公式课件

2
2
2
（第x 1题1）2 （第x 2题5）2 （第a 3题1）2
看比谁？一比快
（第3 4题a）2 （x第52题y）2 （1第x 6题3x）2
3
练习2：判断下面的计算对不对？若不对，请指明错误原因，并改正.
（1）（x y）2 x2 y2 错 x2 2xy y2
（2）（x y）2 x2 2xy y2 错 x2 2xy y2
4x2 12xy 9 y 2
(a b)2 a 2 2ab b 2
（2） (6x 5)2 (6x)2 2(6x) 5 52
36x2 60x 25
(a b)2 a 2 2ab b 2
例题解析
例1：计算
（3）(2a b)2
（4）(3a 2b)2
完全平方公式结构的再认识
(2x 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9 y2 (6x 5)2 = 36x2- 60x + 25 (2a b)2 = 4a2 - 4ab + b2 (3a 2b)2 = 9a2 + 12ab + 4b2
1.等式的左边都是两个数的_和__或_差___的平方，右边是一个_____三项式.
乘法公式
知识点回顾
（a b）(m n) am an bm bn
多项式与多项式相乘
（a b）(a b) a2 b2 平方差公式
（a b）(a b) （a b）(a b)
学习新课
探究公式（a b）(a b) a2 a b b a b2
a2 2ab b2 （a b）(a b) a2 ab ba b2
(a 2b)(a 2b)
(a 2b)2
(2x 5y)(2x 5y) (2x 5y)2 (2x)2 2 (2x) (5y) (5y)2

初中课件-八上数学八年级数学第十四章14.2.2乘法公式(完全平方公式)_ppt课件

（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项；即丢了中间项： 2•(2x)•(3y) ; （3）中间项漏乘了2.
比一比赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2
3、多项式的乘法法则是什么？用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
4、探究计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________;
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
14.2.2完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2

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完全平方公式的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
议一议
4、解题时常用结论： (-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
2、比较下列各式之间的关系： (1) (-a -b)2 与(a+b)2
相等 (2) (a - b)2 、 (b - a)2 、
(-b +a)2 与(-a +b)2 相等
3、填空：公 a2+2ab+ b2 =(a+b)2

3a

1

0,
求：a

1 a
,
a2

1 a2
,
(a

1 a
)2
.
例4.已知a+b=7，ab=12，求
a2+b2 , a2-ab+b2 , (a-b)2 的值
例5.已知 a
(1)a2
1
1a a2

4
，求
(2) a4

1 a4
例6.若x-2y=15，xy=-25，求
x2+4y2-1的值
例2.已知b2=ac，求证： (a+b+c)(a-b+c)(a2-b2+c2)=a4+b4+c4
你会了吗
1.(-x-y)2=
2.(-2a2+b)2=
完全平方公式：
(a＋b)2=a2＋2ab+b2
(a－b)２=a2－2ab+b2
平方差公式和完全平方公式统称为乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a＋b)2=a2＋2ab+b2
它们有什么区别？
(a－b)２=a2－2ab+b2
(3) ( a2 + b3)2
解：原式= ( b3 a2)2
=( b3 )2 - 2× b3 ×
a2 + ( a2)2
= b6 - 2 a2 b3+ a4
(-a+b)2 =(b-a)2 （口诀：首项为负换位置）
( a2 + b3)2 = ( b3 - a2)2
(4)(- x2y - )2
(-a-b)2 =(a+b)2 (口诀：两项为负都变正)
拓展与迁移 (1) 若不论x取何值，多项式 x3-2x2- 4x-1
与 (x+1)(x2+mx+n)都相等, 求m.n
(2) 求使 (x2+px+8)(x2-3x+q)的积中不含 x2与x3项 p、q的值
(3) 求证：x(x+a) =(x+a/2)2-a2/4
例5.计算
1997 19972 19981996
例3已知:若(z-x)2-4(x-y)(y-z) =0 求证: X-2y+z=0
简单应用
(a-b)2 =(b-a)2 (-a-b)2 =(a+b)2
1.(-2x-y)2 =(2x+y)2
2.(-2a2+b)2 =(2a2 － b)2
3、公式的逆向使用； a2+2ab+ b2 =(a+b)2 a2－2ab+b2 =(a－b)2
你能口答吗?
(1) (-3a+2b)2 ；
1
3 (2) (-4x- y)2 ;
完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍乘积在中央
终极提高
例4.已知a+b=7，ab=12，
求 a2+b2 , a2-ab+b2 , (a-b)2 的值

3 2
b3
2
解：原式=

3 2
b3

2 3
a
2
2
9 b6 2a2b3 4 a4
4
9
(a-b)2 =(b-a)2
（2）（ - 3 x2y 1)2
2
4
解：原式= ( 3 x2y 1)2 24
9 x4y2 3 x2y 1
4
4 16(-a-b)2 =Fra biblioteka+b)2
例6.已知x2-y2=8，x+y=4，求x与y的值例7.化简(a+1)(a2+1)(a4+1)…(a2000+1)
能力提高
5. x

1 x

m, 则x2

1 x2

____;
x

1 x

m, 则x2

1 x2

__;
6.

x
2
y
2

x
2
y
2

_____;
7.已知a2
例5:已知 a 1 1, a
求：a 2

1 a2
, a4

1 a4
例6.若x-2y=15，xy=-25，
求x2+4y2-1的值
例7.已知 (a+b)2=4, (a-b)2=6, 求(1) a2+b2 (2) ab 的值
例8.已知a-b=2, ab=1, 求(a+b)2的值
例4. 运用乘法公式计算
如何计算 (a+b+c)2
解: (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
利用完全平方公式计算：
1012= 8.92=
1992=
例3 计算：
(1)

2 3
a
2
(1) (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)
(2) (3a2+1/2b)(3a2-1/2b)(9a2-1/4b)2
(3). 1 y 2 1 x y 2 1 x 2 2x 2
2 2 2

练习
• (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)
解：原式= ( x2y + )2 = ( x2y)2+2× x2y× + = x4y2 + x2y +
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
要灵活运用哦！
变式训练比一比谁做的快？
(1) (-a+3)2 ；
(2) (-m-n)2 ;
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
式的逆向使用；a2－2ab+b2 =(a－b)2
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2+2x+1=( x+1)2 a2-4ab+4b2=( a-2b)2 x2-4x +4=( x-2 )2
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复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？用一个多项式的每一项乘以另一
个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
算一算：
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab+b2
(a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2 - ab - ab +b2 = a2 - 2ab+b2