二次函数在闭区间上的最值(详解)
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定
中考数学二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++23的最值。
解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]-11，上的二次函数，将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422 二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上。
二次方程根的分布情况以及二次函数在闭区间上的最值归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次函数在闭区间上的最值
O x=1
t t+1
x
3--1
（3）若对称轴x=1在区间[t,t+1]右侧时，有 t+1<1，即t<0,如图4--1所示： 当x=t+1时，函数取得最小值, 即 f(x)min=f(t+1)=t2+1。
y
1 t t+1 O x=1 x
4--1
2）最大值 ）
（1）若
时，如图5--1所示:
1 t + ( t + 1) t ≥ ≥ 1，即 2 2
3 −2 ∉ − , 2 2
，所以
a = −
1 不合题意； 2
y -2 -1.5 o
X=-2 2
x
9--1
线开口向上，对称轴为x=0，如图 10--1所示: 闭区间的右端点离对称轴较远，
1 所以 a = 2 符合题意；
1 （2）若f(2)=3，则 a = 2 此时抛物
（3）若
x=− 7 4
3 f − = 3，则 2
a=−
此时抛物线开口向下，对称轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 ，如图10--2所示:
2 3
闭区间的右端点离对称轴远， 所以 a = − 2 符合题意。
3
y y
2
-1.5 o -1.5 o
2
x
x
X=-1.75
10--1 1 a = 综上所述： 2
或
2 a=− 3
10--2
二次函数在闭区间上的最值
(高中数学） 高中数学） 高中数学
y
m 0 n x
X=a
马街中学---张天琼 马街中学 张天琼
前面我们学习了二次函数是确定的，并且定义域也是 确定的最值（即定函数在定区间上的最值）的情况， 如：已知f(x)=2x2-3x+1，x ∈[-2,1],求它的最值？
二次函数在闭区间上的最值问题
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。
否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。
(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。
变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。
变式3：求函数y x =+的最小值。
类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。
设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。
分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。
2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。
当a<0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。
例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。
二次函数在闭区间上的最值问题
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0 ，200]上的最大值100；
当 200<t≤300时，配方整理得
1 t 3502 100 ht 200
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5 综上，由100>87.5可知， h(t)在区间[0，300]上可以取最大值 100，此时，t=50 ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西 红柿纯收益最大。
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6 ∴ 当a≦-1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(a)=a2-2a+3
3 2 1 -2
1 2 3
1 2 1 175 t t , 0 t 200 , 200 2 2 ht 1 t 2 7 t 1025 , 200 t 300 . 2 2 200
当0≤t≤200时，配方整理得
1 t 502 100 ht 200
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（ II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
b 2a
（2）二次函数y=ax² +bx+c (a<0)
b 4ac b 2 顶点坐标 , 2 a 4 a 在（-∞， 2ba )上，单调递增；在（ 2ba ，+ ∞）上，单调递减。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳精讲温故知新1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a例1：1．（多选）若关于x 的方程2(1)+2=0x m x m ---的两根为正数(包含等根)，则m 的取值可以是（ ）A ．122--B．-C ．1.9 D ．1.99【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次函数零点的分布可得答案. 【详解】由题意，构建函数2()(1)2f x x m x m =--+-，因为关于x 的方程2(1)20x m x m --+-=的两根为正数(包含等根)， 所以()()()2Δ142010200m m m f ⎧=---⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩， 解得122m -+<， 故选：BCD. 2.已知函数()2()23f x x ax a a R =-+-∈．（1）若1a =时，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【分析】（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值； （2）由题意得(0)0f <，即可得到答案； 【详解】（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2x =∈，∴min ()(1)1f x f ==，15(),(3)524f f ==， ∴max ()5f x =。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
考点08 二次函数在闭区间上的最值(值域)问题的解法(解析版)
专题二函数考点8 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【方法点拨】一、知识梳理二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A ．22B 3C 2D 3【答案】B 【分析】由题设可得20(0)ax cx b x -+=≠，又()()f m f n c ==即,m n 为方程两个不等的实根，即有,c bm n mn a a+==，结合2||()4m n m n mn -=+-40a b c ++=得2||16()41b bm n a a-=⋅+⋅+.【解析】由题意知：当()bf x ax c x=+=有20(0)ax cx b x -+=≠， ∵()()f m f n c ==知：,m n 是20(0,0,0)ax cx b x a b -+=≠≠≠两个不等的实根.∴,c b m n mn a a +==，而2224||()4c ab m n m n mn a--=+-= ∵40a b c ++=，即4c b a =--，∴||m n -=b t a =，则||m n -==∴当18t =-时，||m n -故选：B 【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,m n ，结合韦达定理以及||m n -=.2．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)【答案】C 【分析】由题设知()f x 关于3x =对称且开口向上，根据二次函数的对称性(1)(1)f x f -<有115x <-<，求解集. 【解析】依题意，有二次函数关于3x =对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若(1)(1)f x f -<，即有115x <-<， ∴40x -<<. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由题设可得()f x 关于3x =对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可. 3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥， 利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【解析】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b的最小值为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．2+【答案】C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【解析】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-，当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-（舍)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：2+ 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．145B ．114C ．83D ．103【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得2nn a =．求得6m n +=，()19119191066m m n m n n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果. 【解析】解：22n n S a =-，可得11122a S a ==-，即12a =，2n ≥时，1122n n S a --=-，又22n n S a =-，相减可得1122n n n n n a S S a a =-=-﹣﹣，即12n n a a -=，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nn a =．64m n a a =，即2264m n ⋅=，得6m n +=，所以()191191911010666m m n m n m n m n n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 181663=⨯=， 当且仅当9n m m n=时取等号，即为32m =，92n =．因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 因为19196m n y m m +=+=-，在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以当2m =，4n =时，19m n+取得最小值为114．故选：B. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()11,021,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，()()()123f x f x f x ==，则()2312x f x x x +的最小值是（ ）.A ．58B ．516C ．532D ．564【答案】C 【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定123,,x x x 的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【解析】 如图：122x x += ，312112x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即312112x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()33112312111222x x x f x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+ 令311,2x t t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，,则()()2321212x f x t t x x =++ 当14t =时取得最小值532. 故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出123,,x x x 范围以及122x x +=；二是将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数x 、y 满足{24 2y xx y y ≤+≤≥-,若存在x 、y 满足()()22211(0)x y r r ++-=>，则r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．423D ．523【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线,24,2y x x y y =+==-围成的三角形区域， (),x y 到点()1,1-的距离最小值为2，所以r 的最小值为2考点：线性规划问题8．若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．51- B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D 【解析】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++()262551=-=- ，所以()()()()22a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()()()2=51a c a b ++-.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 10．已知函数()1ln ax f x xe x ax -=--，21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（） A ．1- B ．1e-C ．0D ．31e-【答案】C 【分析】求得()()11'1ax f x ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，先证明110ax e x --≤，可得当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，(),f x 单调递增，则()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(2210,,1ln t e M t e t a -⎤-=∈=-+⎦，()()22ln 10,t h t t t e e=-+<≤可证明()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ≥=，从而可得结果.【解析】 求得()()()1111111'11ax ax ax ax ax f x eaxe a e ax ax e x x x ----+⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭ 考察11ax y ex -=-是否有零点，令0y =， 可得1ln x a x -=，记()1ln xx xϕ-=，()2ln 2'x x xϕ-=,()x ϕ在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增， 所以()min x ϕ= ()2e ϕ 21e =-，即21ln 1x x e-≥-， 因为21a e ≤-,所以11ln 10ax x a e x x--≤⇔-≤， 故可知，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +>≤单调递减， 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +<≥单调递增，从而由上知()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(()222210,,1ln 10t t e M t e t lnt t e a e -⎤-=∈=-+=-+<≤⎦， 记()()()22211ln 10,'0,t h t t t e h t e e t=-+<≤=-≤()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ∴≥=，M ∴的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数()f x 最值步骤：(1) 求导数()f x '；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意，110sin cos aaφφ+=++ 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－（φ+4π） ∵φ∈（4π，2π）， ∴φ+4π∈（2π，34π），∴sin （φ+4π）∈（2，1）（φ+4π）∈（1∴-2a ∈（1∴a ∈12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学 鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。
影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。
本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。
类型一 定轴定区间例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =-变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。
分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数，min ()(2)0f x f ∴==变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值.分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。
max ()(3)3f x f ∴==例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。
解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。
很明显，其顶点横坐标在区间[]-41，内。
x①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。
当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去图1 图2②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去综上可知：函数f x ()在区间[]-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。
谈二次函数在闭区间上的最值估计
分别将 、 和一 ／ 带人 上式得 ： ／ 、 ’ （ ／ 、 － ： （ ／ ）Ｔ 、， ＼ ‘ 一 ／２ ） ｓ ｘ ＋ （／２）① 芝 （ 、 乏一 ／Ｙ） ： （ ， ２）Ｔ 一 ／ ）② 一 厂 一 ｘ － ｓ 一／－ ＋ （ 、 一
冈 为 Ｓ（ ） 奇 函 数 ， ｘ） 偶 函 数 ， 以 （ ／ ｘ是 Ｔ（ 是 所 一、 一
Ｘ — Ｘ
例３ 设等 差 数 列 ｛ ｝ 前ｎ 和 为Ｓ ， 知 （ ４ １ ＋ ０ ７ ａ ． ａ的 ｎ 项 已 ａ－ ） ２ ０ （
一
１ ＝１ （２Ｈ ）＋ ０ ７ ａｏ — ） 一１ Ｓ］２ ＝ ） ，ａ（一１ ２ Ｈ （ ２４ １ ＝ ． Ｊ ∞７ Ｋ ０ ０ Ｓ
— —
．
的 平 衡 ． 过 设 【 减 少 了 变 元 ， 而 为 构 造 数 ｆｔ 铺 了 通 察 两个 已知 等式 郜有 相 似 的结 构 特 征 ， 妨 构 造 斤观 不
甬 数 ｆｘ ＝ 一２ ０ ｘ， 后 利 用 此 函 数 的 性 质 寻 找 突 破 口 。 （ ） ｘ＋ ０ ７ 然
道路。 五 、 关 于 二 项 式 定 理 的 问 题 解
解 ： （ ） ｘ＋ ０ ７ 易 知ｆｘ） 设ｆ ｘ ＝ ２ ０ ｘ， （ 为奇 函数 ， 是 Ｒ上 的 单 ｉｌ 且 ｌ 占 增 函数 ．
４ ４ — Ｘ ２
南① 、 得Ｓ 、 ）一 ， 一 ２ ． ③ （／ ： ２ 即ｓ 注 ： （－ ／ ） 表 示 成 一 个 奇 函 数 与一 个 鸺 函 数 之 将 ｘ 、
一 —一 —— ０ — ＝２ ０７
注： 南题 目中 已知 等 式 的 结 构 特 征 灵 活 构 造 函数 ， 答过 解 程简洁明 了。
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理
中考热点,二次函数区间范围的最值问题
中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。
二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。
中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。
类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．2．（2019•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，∴1≤m≤2．故选：C．3．（2019•郑州模拟）二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．4．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/4（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时3/4（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，3/4（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝﹣2或m＝2/3，∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。
一元二次函数在闭区间上的最值问题
一元二次函数在闭区间上的最值问题作者：魏常安来源：《新课程·上旬》 2013年第21期一元二次函数在闭区间上的最值问题文/魏常安摘要：针对部分中学生对二次函数最值问题的困惑，从方法上给予了归纳，结合具体的例题讲解，希望能解除学生对这类问题的困惑，提高学生学好数学的信心。
关键词：二次函数；闭区间；最值一元二次函数在闭区间上的最值是函数中最常见、最基本、最重要的一类问题。
它不完全由顶点的纵坐标决定，需要根据抛物线的对称轴与区间的位置关系以及开口方向采用分类讨论的方式解决。
首先是弄清对称轴与区间的相互位置，进而利用图象，结合单调性求解。
图像的指导性在这里显得尤为突出，是数形结合解决问题的一个典范。
一、方法归纳设f （x）=ax2+bx+c=0（a＞0），则二次函数在闭区间［m，n］上的最大、最小值有如下的分布情况：对称轴在区间内的情况，比较端点m、n与对称轴的距离，距离越远，函数值越大。
在解题中，为了让主体更加突出，清晰明了，可隐藏坐标系，直接画示意图见例题。
二、类型归纳基于以上分析，分为四种类型，分别为定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间和动轴动区间四种基本类型。
由于定轴定区间比较简单，动轴动区间情况太复杂，这里就不做详细说明了，重点探讨另外两种情况。
1．定值定区间例1．函数f （x）=ax2-2ax+2+b（a≠0）在［2，3］上有最大值5和最小值2，求a，b的值。
解：对称轴x0＝1?埸［2，3］，故函数f （x）在区间［2，3］上单调。
（1）当a＞0时，草图为：函数f （x）在区间［2，3］上是增函数，故（2）当a＜0时，草图为：函数f （x）在区间［2，3］上是减函数，故2.动轴定动区间如果我们把对称轴比喻成一个人，区间比喻成一列火车，这种情况就像一个人从一列火车旁边经过，从接近火车到见到火车到走到火车中间再慢慢地离开火车。
类似的，这种类型二次函数图象也有如下几种情况：例2．求函数f （x）=x2-2ax+1，x∈［1，3］的最小值。
含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策略
含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策
略
含参二次函数在闭区间上最值问题是高中数学中比较常见的一类
应用题型，解题需要一定的技巧和策略。
以下是解决这类问题的步骤
和方法：
一、列出含参二次函数的解析式
在解决含参二次函数在闭区间上最值问题前，首先要列出函数的
解析式。
一般来说，含参二次函数可表示为 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）。
其中，a、b、c为常数，x为自变量，f(x)为函数值。
二、确定闭区间
在这一步骤中，需要根据问题描述，确定函数所在的闭区间，常
见的闭区间如[0,1]，[1,2]等，不同的闭区间对所求的解有直接影响。
三、确定函数的最值
确定函数的最值是整个求解过程中最重要的一步，需要按照以下
几个步骤来处理：
1. 求出函数的极值点
通过求导数并将函数的导数等于0来计算函数的极值点。
即
f'(x)=2ax+b=0。
解出x的值，即可得到函数的极值点。
2. 判断极值点是否在所求的闭区间内
将极值点带入原函数来计算函数值，判断函数的最值是否在所求
的闭区间内。
3. 比较区间端点和极值点的函数值
求出闭区间端点的函数值f(a)和f(b)，并将它们与极值点的函
数值进行比较。
找出函数值最大或最小的点，即为所求的最值。
四、解答问题
最后，将求得的函数最值带入题目中，解答出最终问题。
总结：在解决含参二次函数在闭区间上最值的问题时，需要先列
出含参二次函数的解析式，确定闭区间，进而求出函数的最值，最后将所求的函数最值带入题目中进行解答。
二次函数在闭区间上最值
二次函数在闭区间上的最值一．知识点精讲1 二次函数的三种形式（1）一般式 c bx ax x f ++=2)(； （2）交点式))(()(21x x x x a x f --=； （3）顶点式k h x a x f +-=2)()( 2．二次函数的基本性质（1）开口方向 0>a 时，开口向上， 0<a 时，开口向上，（2）对称轴方程ab x 2-= （3）02=++c bx ax 根的判别式 ac b 42-=∆（4）02=++c bx ax 的求根公式 aac b b x 2422,1-±-=（5）02=++c bx ax 两根和，两根积 a b x x -=+21 ac x x =21 3 解决二次函数问题的常用方法——数形结合法二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。
结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。
因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。
4 二次函数c bx ax x f ++=2)(在区间［p ，q ］上的值域求法方法：讨论或分析对称轴和区间的位置关系。
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。
二 典型例题1 求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最小值 解析：二次函数的对称轴为1=x ，（1）当11<+m 时，即0<m ，12m in +=m y（2）当1>m 时，1)1(2m in +-=m y （3）当10≤≤m 时，1m in =y变式1：求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最大值 解析：（1）当21≤m 时，1)1(2m ax +-=m y （2）当21>m 时，12max +=m y变式2 求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最小值 解析：二次函数的对称轴为a x =， （1）当1-<a 时， 12m in +=a y （2）当1>a 时，1)1(2m in +-=a y （3）当10≤≤a 时，1m in =y变式3：求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最大值 解析：（1）当0≤a 时， a y 24m ax -=（2）当0>a 时，a y 24m ax +=二次函数是个筐，什么东西都能往里装变式4求124)(1+-=+x xx f ，]2,1[-∈x 的值域解析：xt 2=]4,21[∈t ，22)1(12)(-=+-=t t t t g ，当1=t 时，即0=x ，0)(m in =t g 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]9,0[∈y变式5 求1log log )(222++=x x x f ]2,81(∈x 的值域 注意：22)(log log x x a a =解析：x t 2log =，]1,3(-∈t ，43)21(1)(22++=++=t t t t g ，当21-=t 时，即22=x 时，43)(min =t g 当3-=t 时，即81=x ，7)(m ax =t g ，∴]7,43()(∈t g 即]9,0[∈y 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]7,43[∈y变式6 （2009福建理）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
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二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设fx a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b a m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最值。
例3. 已知2()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值．对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++23的最值。
例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。
（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
例8.已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值。
二次函数在闭区间上的最值专题演练1．函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）)(A 1 ,3 )(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 23．函数5482+-=x x y 的最值为 （ ）)(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________5．已知函数f xa x ax a ()()()[]=+---22130322≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为_____________.6．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞7．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值.8. 已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围。
9. 若函数2()(2)2(2)40f x a x a x x R =-+--<∈对一切恒成立，则a 的取值范围（ ）A.(,2]-∞B.[2,2]-C.(2,2]-D.(,2)-∞- 10.. 已知函数2()442f x x ax =++∞在(-,0]内单调递减，则a 取（ ）A.3a ≥B.3a ≤C.a <-3D.a 3≤- 11. 已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求k 的取值范围。
12. 已知函数2()23f x x x =-+在[0,m]上有最大值是3，最小值是2，求m 的取值范围。
13. 已知函数()f x =M ，最小值为m ，则M+m=________.14. 已知函数22()44f x x ax a =-+-2a+2在[0,2]上的最小值为3，求a 的值。
15.求函数2()2f x x x =-++3的单调区间。
16. 已知函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：（1）定义域为{x Z ∈︱03}x ≤≤ （2）定义域为[-2,1].17. 已知函数2()3,f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
18. 已知函数2()f x x =，2,x a -≤≤其中2a ≥，求该函数的最大值与最小值。
19已知二次函数2()6f x x x a =-++的函数值总为负数，求a 的取值范围。
20. 已知二次函数2()(6)2(1)1f x m x m x m =++-++的图像与x 轴总有交点，求m 的取值范围。
21. 已知二次函数2()(1)3f x x m x m =+-++顶点在y 轴上，求m 的值。
22. 已知函数22()()2f x mx m m x =+-+的图像关于y 轴对称，求m 的值。
23. 已知函数2()(2)2(2)40f x a x a x =-+--<对一切x 恒成立，求m 的取值范围。
24. 已知函数2()4,(13)f x x ax x =-≤≤是单调增函数，求实数a 的取值范围。
25. 已知函数2()1f x x ax =-+有负值，求a 的取值范围。
26. 已知函数2()(2)32f x m x m =---的图像在x 轴下方，求m 的值。
27. 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立，求a 的取值范围。
28. 已知函数2()23f x x mx =-+，当(,1]x ∈-∞-时是减函数，求m 的取值范围。
29已知函数()f x =R ，求a 的取值范围。
30.已知函数2()426()f x x ax a x R =-++∈的值域为[0,]+∞，求a 的值。
31. . 已知函数2()4f x x x m =-≥对于(0,1]x ∈恒成立，，求m 的取值范围。
32. . 已知函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上是单调函数，则b 的取值范围。
33.已知函数2()2(2)2(2)f x x a x a a =-++>，求在[0,2]上的最小值。
34. .已知函数2()2(2)2f x x a x a =-++，在[0,2]上是单调函数，求a 的取值范围。
35.已知函数2()2(2)2f x x a x a =-++，在[,2]t t +上是偶函数，求a 的取值范围。
36.当a=-2时，求.函数2()2(2)2f x x a x a =-++在[,2]t t +上的最小值。
37. 已知函数()f x =R ，求a 的取值范围。
38. 已知函数2()21f x x ax =++，求[2,1]x ∈-上的最值。
39. 已知函数2()21f x x x =+-，求[,1]x m m ∈+上的最值。
41. 已知函数2()22f x x x =++：（1）若x R ∈，求f(x)的最小值。
（2）若[1,3]x ∈，求f(x)的最小值。
（3）若[,2],x a a a R ∈+∈，求f(x)的最小值。
42. 已知函数2()23f x x kx =-++，求[1,2]x ∈-上的最大值。
43. 已知函数2()21f x kx kx =++，求[3,2]x ∈-上的最值。
44. 已知函数221()334f x x x b =--++，求[,],(0)x b b b ∈->上的最值。
45. 已知函数()()1f x x x t =--+，求[1,1]x ∈-上的最值。
46. 已知函数2()(21)3f x ax a x =+--，求3[,2]2x ∈-上的最大值。
47. 已知函数2()3f x x ax =++，求[0,1]x ∈上的最值。
48. 已知函数()()f x x x a =--，求[1,]x a ∈-上的最大值。
49. 已知函数2()21f x x ax =++，在[1,2]x ∈-上的最大值为4，求a 的值。