多边形及内角和知识点汇总

边:组成多边形得各条线段叫做多边形得边.

顶点:每相邻两条边得公共端点叫做多边形得顶点。

内角:多边形相邻两边组成得角叫多边形得内角,一个n边形有n个内角。ﻫ外角:多边形得边与它得邻边得延长线组成得角叫做多边形得外角。

(2)在定义中应注意:ﻫ①一些线段(多边形得边数就是大于等于３得正整数);

②首尾顺次相连,二者缺一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目得就是为了排除几个点不共面得情况,即空间

多边形、

2、多边形得分类:ﻫ (1)多边形可分为凸多边形与凹多边形,画出多边形得任何一条边所在得直线,如果整个多边形都在这ﻫ条直线得同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1)。本章所讲得多边形都就是指凸ﻫ多边形。

ﻫ凸多边形凹多边形ﻫ图1 ﻫ (2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角ﻫ形就是边数最少得多边形.ﻫ知识点二:正多边形

各个角都相等、各个边都相等得多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。ﻫﻫ正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形ﻫ要点诠释:各角相等、各边也相等就是正多边形得必备条件,二者缺一不可、如四条边都相等得四边形不一定就是正方形,四个角都相等得四边形也不一定就是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等得四边形才就是正方形ﻫ知识点三:多边形得对角线

多边形得对角线:连接多边形不相邻得两个顶点得线段,叫做多边形得对角线. 如图2,BＤ为四边形ＡBCD得一条对角线。

要点诠释:ﻫ (1)从ｎ边形一个顶点可以引(ｎ-3)条对角线,将多边形分成(n-２)个三角形、

(2)n边形共有条对角线、

证明:过一个顶点有n－3条对角线(ｎ≥3得正整数),又∵共有n个顶点,∴共有n(n—3)

条对角线,但过两个不相邻顶点得对角线重复了一次,∴凸n边形,共有条对角线。ﻫ知识点四:多边形得内角与公式

1。公式:边形得内角与为.ﻫ2。公式得证明:

证法1:在边形内任取一点,并把这点与各个顶点连接起来,共构成个三角形,这个三角形得内角与为,再减去一个周角,即得到边形得内角与为、

证法2:从边形一个顶点作对角线,可以作条对角线,并且边形被分成个三角形,这个三角形内角与恰好就是边形得内角与,等于、

证法3:在边形得一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形,边形内角与等于这个三角形得内角与减去所取得一点

处得一个平角得度数,ﻫ即.ﻫ要点诠释:

(1)注意:以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决得基础思想。ﻫ (2)内角与定理得应用:

①已知多边形得边数,求其内角与;

②已知多边形内角与,求其边数、

知识点五:多边形得外角与公式

1.公式:多边形得外角与等于3６０°。ﻫ

2.多边形外角与公式得证明:多边形得每个内角与与它相邻得外角都就是邻补角,所以边形得内角与加外角与为,外角与等于、注意:n边形得外角与恒等于3６0°,它与边数得多少无关。要点诠释:ﻫ (1)外角与公式得应用:

①已知外角度数,求正多边形边数;

②已知正多边形边数,求外角度数。ﻫ(２)多边形得边数与内角与、外角与得关系:

①n边形得内角与等于(n—2)·180°(n≥3,n就是正整数),可见多边形内角与与边数n有关,每增加ﻫ

1条边,内角与增加1８0°、

②多边形得外角与等于3６0°,与边数得多少无关。

知识点六:镶嵌得概念与特征ﻫ1、定义:用一些不重叠摆放得多边形把平面得一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里得多边形可以形状相同,也可以形状不相同。ﻫ2、实现镶嵌得条件:拼接在同一点得各个角得与恰好等于３6０°;相邻得多边形有公共边。

3、常见得一些正多边形得镶嵌问题:

(1)用正多边形实现镶嵌得条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形得内角之与为3６0°。ﻫ (２)只用一种正多边形镶嵌地面ﻫ对于给定得某种正多边形,怎样判断它能否拼成一个平面图形,且不留一点空隙？解决问题得关键在于正多边形得内角特点。当围绕一点拼在一起得几个正多边形得内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就能铺成一个平面图形。

事实上,正ｎ边形得每一个内角为,要求ｋ个正n边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面,这样3６0°=,由此导出k=＝2＋,而ｋ就是正整数,所以n只能取3,4,6。因而,用相同得正多边形地砖铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形得地砖可以用。ﻫ注意:任意四边形得内角与都等于36０°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则得四边形地砖也可以铺成无空隙得地板,用任意相同得三角形也可以铺满地面。ﻫ (3)用两种或两种以上得正多边形镶嵌地面ﻫ用两种或两种以上边长相等得正多边形组合成平面图形,关键就是相关正多边形“交接处各角之与能否拼成一个周角”得问题、例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌,见下图:

又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,因为它们得交接处各角之与恰好为一个周角360°。ﻫ规律方法指导1 ﻫ。内角与与边数成正比:边数增加,内角与增加;边数减少,内角与减少、每增加一条边,内角得与ﻫ就增加１8０°(反过来也成立),且多边形得内角与必须就是１8０°得整数倍。ﻫ２、多边形外角与恒等于360°,与边数得多少无关。

3.多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);多边形得外角中最多有三个钝角,最少ﻫ没有钝角.

4、在运用多边形得内角与公式与外角得性质求值时,

常与方程思想相结合,运用方程思想就是解决本节

问题得常用方法.ﻫ５.在解决多边形得内角

与问题时,通常转化为与三角形相关得角来解决、三角

形就是一种基本图形,就是ﻫ研究复杂图形得基

础,同时注意转化思想在数学中得应用.ﻫ经典例题透

析

类型一:多边形内角与及外角与定理应用

1.一个多边形得内角与等于它得外角与得5倍,它就是

几边形?ﻫ总结升华:本题就是多边形得内角与

定理与外角与定理得综合运用、只要设出边数,根据条

件列出关于得方程,求出得值即可,这就是一种常用得

解题思路.

举一反三:ﻫ【变式1】若一个多边形得内角与与外角与得总度数为18００°,求这个多边形得边数。

【ﻫ【变式2】一个多边形除了一个内角外,其余各内角与为2750°,求这个多边形得内角与就是多少? ﻫ【答