第二节：对坐标的曲线积分

沿 L 所作的功 W L P( x, y)d x LQ( x, y)d y
简记为
若记
d
r
dx
i
dy
j,
L
则
P( x, W
y)d x
L F (
Q( x, y)
x, y) d r
d
y
n
L P( x,
y)d x
lim
0
P(i
i 1
,i
)
xi
n
L
Q(
x,
y
)dy
lim
0
Q( i
i 1
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k,
则
Pdx Qdy Rd z
A(
x,
y,
z)
dr
三、第二类曲线积分的性质
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L F( x, y) dr
,i
)
yi
.
n
L f ( x, y)ds
几点说明：
lim
0
i 1
f
(i
,i
)
si
.
（1）所谓“对坐标的曲线积分”，有两个特征：
• 积分和是在有向曲线弧 L 上作出的； • 积分和中的微元素是有向小弧段所对应的关于 坐标 x 和 y 的增量。
即被积表达式中的微分是关于坐标 x 和 y 的微分。
n
L P( x,
lim
0
R(i
i 1
,i
,
i
)
zi
B
M n1
Pd x Qd y Rd z
(i ,i , i ) Mi
简记为
Pdx Qdy Rd z
0
M2 Mi1
A M1
y
x
简记为
Pd x Qd y Rd z Pdx Qdy Rd z
若记
d r dx i dy j d z k,
i 1
i 1
n
L P( x,
y)d x
lim
0
P(i
i 1
,i
)
xi
如果当 0 时,
n
Q(i ,i ) yi
的极限总存在
i 1
且与 L 的分法及点 (i ,i ) 的取法无关， 则称此极限
y 为 Q (x , y) 在 有向曲线弧 L 上对
B
坐标 y 的曲线积分 记为
n
LQ( x,
y)d
x
n
n
求和 W Wi [P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
i 1
取极限 用 表示所有小弧段的最大长度 近似值
n
W
lim
0
[
i 1
P
(
i
,i
)
xi
Q(i ,i ) yi ]
n
n
lim
0
P(i
i 1
,i
)
xi
lim
0
Q( i
i 1
,i
)
yi
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
i
x
分别作乘积表达式 P(i ,i ) xi , Q(i ,i ) yi ,
n
n
并分别作和 P(i ,i ) xi , Q(i ,i ) yi ,
i 1
i 1
用 表示所有小弧段的最大长度，
n
如果当 0 时, P(i ,i ) xi 的极限总存在
i 1
且与 L 的分法及点 (i ,i ) 的取法无关， 则称此极限
Mi1Mi (xi )i (yi ) j .
F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j ,
Wi F (i ,i ) Mi1Mi ,
y
F (i ,i ) B
L (i ,i )
Myii Mn1
M i 1xi
M2
A M1
即 Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi . o
L1
F ( x,
y)
dr
L2
F ( x,
y)dr
o
L1 L2 x
（4）推广至空间的情形
P( x, y, z)在空间有向曲线弧 上对坐标 x的曲线积分为
n
P( x, y, z)dx
lim
0
P
i 1
(i
,i
,
i
)
xi
.
n
同理
Q( x,
y, z)dy
lim
0
Q( i
i 1
,i
,
i
)
yi
.
n
R( x, y, z)dz
y
lim
0
Q( i
i 1
,i
)
yi
A o
L Mn1
(
M2
M1
i
,i ) M
yi
M i1xi
i
x
n
L P( x,
y)d x
lim
0
P(i
i 1
,i
)
xi
被积函数
n
L
Q(
x,
y)dy
lim
0
Q(
i 1
i
,i
)
yi
.
积分和式
积分弧段 坐标微分
对坐标的曲线积分统称为第二类曲线积分
平面变力
F( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j
Mi1Mi , i 1, 2, , n, M0 A, Mn B
设 xi xi xi1, yi yi yi1, y
B
任取 (i ,i ) Mi1Mi , 分别作乘积表达式 P(i ,i ) xi , Q(i ,i ) yi ,
A o
L Mn1
(
M2
M1
i
,i ) M
yi
M i1xi
x
的作用下从 A 沿 L 移动到 B ，计算变力所作的功。
规定 L 的方向为 L : A B,
常力沿直线所作的功
W
F AB.
分割 A M0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), Mn B.
源自文库
Mi1Mi (xi )i (yi ) j .
xi xi xi1, yi yi yi1,
第二节 对坐标的曲线积分
• 一、问题的提出 • 二、对坐标的曲线积分的概念 • 三、对坐标的曲线积分的计算 • 四、小结 思考题
一、问题的提出
y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
一 质点在平面变力
F( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j
L
Myii Mn1
M i 1xi
M2
A M1
o
定义 设 L 为 xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑曲线弧, 函数 P(x , y ) ，Q (x , y) 在 L 上有界,
在 L 上沿 L的方向依次插入 n 1 个分点
M1( x1, y1), M2( x2, y2 ), , Mn1( xn1, yn1),
将 L 分成 n 个小有向弧段
y)d x
lim
0
P(i
i 1
,i
)
xi
n
L
Q(
x,
y
)dy
lim
0
Q( i
i 1
,i
)
yi
.
（2）当 P (x , y) , Q (x , y) 在有向光滑曲线弧 L 上
连续时，第二类曲线积分都存在
（3）L 处处光滑的情形可以推广到分段光滑的情形
L
L1
L2
y
L F ( x, y) dr
为 P (x , y) 在 有向曲线弧 L 上对 y
B
坐标 x 的曲线积分 记为
L Mn1
n
L P( x, y)d x
lim
0
P
i 1
(
i
,i
)
xi
A
(
M2
M1
i
,i ) M
yi
M i1xi
i
o
x
分别作乘积表达式 P(i ,i ) xi , Q(i ,i ) yi ,
n
n
并分别作和 P(i ,i ) xi , Q(i ,i ) yi ,