人教版初中数学2020年中考复习专题 垂径定理(23张ppt)
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中考·数学
2020版
第二部分 中考专题复习
专题6 垂径定理
考点解读
垂径定理是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相 等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所 以它在教材中处于非常重要的位置，几乎在中考中年年出现，作为单一知识 点或在大题中结合其他知识综合考查，重在考查学生对知识应用的能力．垂 径定理在圆的有关计算和证明中广泛应用，由垂径定理可得到线段、角、弧 等的相等关系，和线段的垂直关系，结合勾股定理、射影定理等知识通常能 顺利解决问题，常见的有：(1)得到推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．(2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形， 可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法， 这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. ∴C 是 的中点． ∴OC⊥BD.∴BE＝DE. ∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠AFC＝∠ABD. ∴BD∥CF. ∴OC⊥CF. ∵OC 是半径，∴CF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)①设 OC＝R.∵DE＝2CE＝2，∴BE＝DE＝2，CE＝1.∴OE＝R－1.在 Rt△OBE 中，(R－1)2＋22＝R2，解得 R＝52.∴OE＝52－1＝32.由(1)得，OA＝OB， BE＝DE，∴AD＝2OE＝3.
课堂精讲
【解】(1)∵DF 过圆心，且 AF＝BF，∴DF⊥AB，
.Baidu Nhomakorabea
∴∠ACD＝∠EAD.又∠ADC＝∠EDA，∴△DAC∽△DEA. (2)连接 OA，如图，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFE＝90°.
在 Rt△AOF 中，OA＝OD＝3，AF＝ 5，根据勾股定理，得 OF
＝ OA2－AF2＝2，∴DF＝OD＋OF＝3＋2＝5.在 Rt△ADF 中，AF＝ 5，DF＝5，
已知 sin∠CDB＝35，BD＝5，则 AH 的长为( B )
A.235
B.136
C.265
D.166
课后精练
2．如图，坐标平面上，A，B 两点分别为⊙P 与 x 轴，y 轴的交点，
有一直线 l 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 l 与 y 轴的交点．若 A，B，
C 的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中 a＜0，则 a 的值为( A )
(2)证明：∵F 为 BC 的中点，△BPC 为直角三角形，∴FP＝FC. ∴∠C＝∠CPF.又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE.∵∠A ＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°.∴EF⊥AD.
(3)作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 PO，易证 四边形 MONP 是矩形，∵OM2＝(2 5)2－42＝4，ON2＝ (2 5)2－32＝11，∴OP＝ OM2＋ON2＝ 15.
(1)求证：△DAC∽△DEA； (2)求出 DA，AC 的长度．
课堂精讲
【分析】(1)由 DF 过圆心，且 AF＝BF，利用垂径定理的逆定理得到 DF 垂直 于 AB，且 D 为优弧 ADB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等 可得出一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似 可得出△DAC 与△DEA 相似；
课后精练
6．(2019·乐山)如图，直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，与⊙O 相交于点 P，OA＝5.C 是直线 l 上一点，连接 CP 并延长交⊙O 于另一 点 B，且 AB＝AC.
(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 3，求线段 BP 的长．
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OB，则 OP＝OB，∴∠OBP ＝∠OPB＝∠CPA.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.而 OA⊥ l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB＋∠CPA＝90°，即∠ABP＋ ∠OBP＝90°.∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故 AB 是⊙O 的切线．
课堂精讲
例 2 (2019·绥化)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 平分∠BAD，交 弦 BD 于点 G，连接半径 OC 交 BD 于点 E，过点 C 的一条直线交 AB 的延长线于点 F，∠AFC＝∠ACD.
(1)求证：直线 CF 是⊙O 的切线； (2)若 DE＝2CE＝2. ①求 AD 的长； ②求△ACF 的周长．(结果可保留根号)
课后精练
5．如图，半径为 2 5的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB，CD 相交 于点 P.
(1)求证：PA·PB＝PC·PD； (2)设 BC 的中点为 F，连接 FP 并延长交 AD 于 E，求证：EF⊥AD； (3)若 AB＝8，CD＝6，求 OP 的长．
课后精练
解：(1)证明：∵∠A＝∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB.∴ACPP＝PPDB. ∴PA·PB＝PC·PD.
(2)由(1)知，∠ABO＝90°，而 OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得 AB＝4.过 O 作 OD⊥PB 于 D，则 PD＝DB.∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝ ∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP.∴PPAD＝OCPP.又∵AC＝AB＝4，AP＝OA－ OP＝2，∴PC＝ AC2＋AP2＝2 5.∴PD＝OPC·PPA＝35 5.∴BP＝2PD＝65 5.
∴△ACF 的周长＝AC＋FC＋AF＝10＋2 5.
课堂精讲
【方法归纳】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径 定理，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定 理等，熟练掌握定理和推论内容是解本题的关键．
课后精练
1．(2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，
②如图，连接 BC.∵BD∥CF，∴BFCE＝OOCE＝OOBF.∵BE＝2， OE＝32，R＝52，∴CF＝130，OF＝265.∴AF＝OF＋OA＝230.在 Rt△BCE 中，CE＝1，BE＝2，∴BC＝ CE2＋BE2＝ 5.∵AB
是直径，∴△ACB 为直角三角形．∴AC＝ AB2－BC2＝2 5.
A．－2 14
B．－2 5
C．－8
D．－7
课后精练
3．(2019·威海改编)如图，⊙P 与 x 轴交于点 A(－5，0)，B(1，0)， 与 y 轴 的 正 半 轴 交 于 点 C. 若 ∠ ACB ＝ 60°， 则 点 C 的 纵 坐 标 为 2 2＋ 3 ．
课后精练
4．如图，以 G(0，1)为圆心，2 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于 C，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于点 F，则弦 AB 的长度为 2 3 ；点 E 在⊙O 上运动的过程中，线段 FG 的长度 的最小值为 3－1 ．
根据勾股定理，得 DA＝ AF2＋DF2＝ 30.又 EF＝FB＋BE＝FB＋AB＝3 5，AE
＝AF＋EF＝4 5.在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，得 DE＝ EF2＋DF2＝ 70，
∵△DAC∽△DEA，∴AACE＝ADDE，即4AC5＝
30，则 70
AC＝4
105 7.
课堂精讲
【方法归纳】此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以 及相似三角形的判定与性质，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平 分于弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握定理是解本题的关键．
方法提炼
垂径定理的运用在于五个条件中知二推三的不断变化．垂径定理的巧用 主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．
(1)利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角．如图 1，∠ABD＝∠ C→△BAD∽△CAB.
(2)利用垂径垂直平分弦，构成等分线段，利用平行线分线段成比例解 决问题．如图 2，OOAB＝MMEF→ME＝MF，OOAB＝HHEF→HE＝HF.
图1
图2
方法提炼
(3)利用垂径垂直于弦，构造特殊的四边形．如图 3，四边形 OFEG 为正方形．
(4)利用垂径垂直于弦，构造特殊三角形．如图 4，△ONC，△OMA 为直角三角形．
图3
图4
课堂精讲
例 1 已知：如图，圆内接四边形 ABCD 的两边 AB，DC 的延长 线相交于点 E，DF 经过⊙O 的圆心，交 AB 于点 F，AB＝BE，连接 AC，且 OD＝3，FA＝FB＝ 5.
单击此处编辑母版标题样式
课堂精讲
【分析】(1)根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得 OC ⊥CF，即可证得结论；
(2)①利用勾股定理求得半径，进而求得 OE，根据三角形中位线定 理即可求得；
②由平行线分线段成比例定理得到BFCE＝OOCE＝OOBF，求得 CF＝130， OF＝265，即可求得 AF＝OF＋OA＝230，然后根据勾股定理求得 AC， 即可求得三角形 ACF 的周长．
(2)连接 OA，由第一问得出 DF 与 AB 垂直，得到△AOF 为直角三角形，根据 OA 及 AF 的长，利用勾股定理求出 OF 的长，再由 DF＝OD＋OF 求出 DF 的长， 在 Rt△ADF 中，由 AF 及 DF 的长，利用勾股定理即可求出 DA 的长；由 AB＝BE ＝2AF＝2BF，根据 FB 的长求出 EF 的长，在 Rt△DEF 中，由 DF 及 EF 的长，利 用勾股定理求出 DE 的长，同时根据 AF＋EF＝AE 求出 AE 的长，由第一问的相 似三角形，根据相似的性质得出比例式，将各自的值代入即可求出 AC 的长．
2020版
第二部分 中考专题复习
专题6 垂径定理
考点解读
垂径定理是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相 等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所 以它在教材中处于非常重要的位置，几乎在中考中年年出现，作为单一知识 点或在大题中结合其他知识综合考查，重在考查学生对知识应用的能力．垂 径定理在圆的有关计算和证明中广泛应用，由垂径定理可得到线段、角、弧 等的相等关系，和线段的垂直关系，结合勾股定理、射影定理等知识通常能 顺利解决问题，常见的有：(1)得到推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．(2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形， 可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法， 这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. ∴C 是 的中点． ∴OC⊥BD.∴BE＝DE. ∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠AFC＝∠ABD. ∴BD∥CF. ∴OC⊥CF. ∵OC 是半径，∴CF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)①设 OC＝R.∵DE＝2CE＝2，∴BE＝DE＝2，CE＝1.∴OE＝R－1.在 Rt△OBE 中，(R－1)2＋22＝R2，解得 R＝52.∴OE＝52－1＝32.由(1)得，OA＝OB， BE＝DE，∴AD＝2OE＝3.
课堂精讲
【解】(1)∵DF 过圆心，且 AF＝BF，∴DF⊥AB，
.Baidu Nhomakorabea
∴∠ACD＝∠EAD.又∠ADC＝∠EDA，∴△DAC∽△DEA. (2)连接 OA，如图，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFE＝90°.
在 Rt△AOF 中，OA＝OD＝3，AF＝ 5，根据勾股定理，得 OF
＝ OA2－AF2＝2，∴DF＝OD＋OF＝3＋2＝5.在 Rt△ADF 中，AF＝ 5，DF＝5，
已知 sin∠CDB＝35，BD＝5，则 AH 的长为( B )
A.235
B.136
C.265
D.166
课后精练
2．如图，坐标平面上，A，B 两点分别为⊙P 与 x 轴，y 轴的交点，
有一直线 l 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 l 与 y 轴的交点．若 A，B，
C 的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中 a＜0，则 a 的值为( A )
(2)证明：∵F 为 BC 的中点，△BPC 为直角三角形，∴FP＝FC. ∴∠C＝∠CPF.又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE.∵∠A ＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°.∴EF⊥AD.
(3)作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，连接 PO，易证 四边形 MONP 是矩形，∵OM2＝(2 5)2－42＝4，ON2＝ (2 5)2－32＝11，∴OP＝ OM2＋ON2＝ 15.
(1)求证：△DAC∽△DEA； (2)求出 DA，AC 的长度．
课堂精讲
【分析】(1)由 DF 过圆心，且 AF＝BF，利用垂径定理的逆定理得到 DF 垂直 于 AB，且 D 为优弧 ADB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等 可得出一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似 可得出△DAC 与△DEA 相似；
课后精练
6．(2019·乐山)如图，直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，与⊙O 相交于点 P，OA＝5.C 是直线 l 上一点，连接 CP 并延长交⊙O 于另一 点 B，且 AB＝AC.
(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 3，求线段 BP 的长．
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OB，则 OP＝OB，∴∠OBP ＝∠OPB＝∠CPA.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC.而 OA⊥ l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB＋∠CPA＝90°，即∠ABP＋ ∠OBP＝90°.∴∠ABO＝90°，OB⊥AB，故 AB 是⊙O 的切线．
课堂精讲
例 2 (2019·绥化)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 平分∠BAD，交 弦 BD 于点 G，连接半径 OC 交 BD 于点 E，过点 C 的一条直线交 AB 的延长线于点 F，∠AFC＝∠ACD.
(1)求证：直线 CF 是⊙O 的切线； (2)若 DE＝2CE＝2. ①求 AD 的长； ②求△ACF 的周长．(结果可保留根号)
课后精练
5．如图，半径为 2 5的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB，CD 相交 于点 P.
(1)求证：PA·PB＝PC·PD； (2)设 BC 的中点为 F，连接 FP 并延长交 AD 于 E，求证：EF⊥AD； (3)若 AB＝8，CD＝6，求 OP 的长．
课后精练
解：(1)证明：∵∠A＝∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB.∴ACPP＝PPDB. ∴PA·PB＝PC·PD.
(2)由(1)知，∠ABO＝90°，而 OA＝5，OB＝OP＝3，由勾股定理，得 AB＝4.过 O 作 OD⊥PB 于 D，则 PD＝DB.∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝ ∠CAP＝90°，∴△ODP∽△CAP.∴PPAD＝OCPP.又∵AC＝AB＝4，AP＝OA－ OP＝2，∴PC＝ AC2＋AP2＝2 5.∴PD＝OPC·PPA＝35 5.∴BP＝2PD＝65 5.
∴△ACF 的周长＝AC＋FC＋AF＝10＋2 5.
课堂精讲
【方法归纳】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径 定理，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定 理等，熟练掌握定理和推论内容是解本题的关键．
课后精练
1．(2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，
②如图，连接 BC.∵BD∥CF，∴BFCE＝OOCE＝OOBF.∵BE＝2， OE＝32，R＝52，∴CF＝130，OF＝265.∴AF＝OF＋OA＝230.在 Rt△BCE 中，CE＝1，BE＝2，∴BC＝ CE2＋BE2＝ 5.∵AB
是直径，∴△ACB 为直角三角形．∴AC＝ AB2－BC2＝2 5.
A．－2 14
B．－2 5
C．－8
D．－7
课后精练
3．(2019·威海改编)如图，⊙P 与 x 轴交于点 A(－5，0)，B(1，0)， 与 y 轴 的 正 半 轴 交 于 点 C. 若 ∠ ACB ＝ 60°， 则 点 C 的 纵 坐 标 为 2 2＋ 3 ．
课后精练
4．如图，以 G(0，1)为圆心，2 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于 C，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于点 F，则弦 AB 的长度为 2 3 ；点 E 在⊙O 上运动的过程中，线段 FG 的长度 的最小值为 3－1 ．
根据勾股定理，得 DA＝ AF2＋DF2＝ 30.又 EF＝FB＋BE＝FB＋AB＝3 5，AE
＝AF＋EF＝4 5.在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，得 DE＝ EF2＋DF2＝ 70，
∵△DAC∽△DEA，∴AACE＝ADDE，即4AC5＝
30，则 70
AC＝4
105 7.
课堂精讲
【方法归纳】此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以 及相似三角形的判定与性质，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平 分于弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握定理是解本题的关键．
方法提炼
垂径定理的运用在于五个条件中知二推三的不断变化．垂径定理的巧用 主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．
(1)利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角．如图 1，∠ABD＝∠ C→△BAD∽△CAB.
(2)利用垂径垂直平分弦，构成等分线段，利用平行线分线段成比例解 决问题．如图 2，OOAB＝MMEF→ME＝MF，OOAB＝HHEF→HE＝HF.
图1
图2
方法提炼
(3)利用垂径垂直于弦，构造特殊的四边形．如图 3，四边形 OFEG 为正方形．
(4)利用垂径垂直于弦，构造特殊三角形．如图 4，△ONC，△OMA 为直角三角形．
图3
图4
课堂精讲
例 1 已知：如图，圆内接四边形 ABCD 的两边 AB，DC 的延长 线相交于点 E，DF 经过⊙O 的圆心，交 AB 于点 F，AB＝BE，连接 AC，且 OD＝3，FA＝FB＝ 5.
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课堂精讲
【分析】(1)根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得 OC ⊥CF，即可证得结论；
(2)①利用勾股定理求得半径，进而求得 OE，根据三角形中位线定 理即可求得；
②由平行线分线段成比例定理得到BFCE＝OOCE＝OOBF，求得 CF＝130， OF＝265，即可求得 AF＝OF＋OA＝230，然后根据勾股定理求得 AC， 即可求得三角形 ACF 的周长．
(2)连接 OA，由第一问得出 DF 与 AB 垂直，得到△AOF 为直角三角形，根据 OA 及 AF 的长，利用勾股定理求出 OF 的长，再由 DF＝OD＋OF 求出 DF 的长， 在 Rt△ADF 中，由 AF 及 DF 的长，利用勾股定理即可求出 DA 的长；由 AB＝BE ＝2AF＝2BF，根据 FB 的长求出 EF 的长，在 Rt△DEF 中，由 DF 及 EF 的长，利 用勾股定理求出 DE 的长，同时根据 AF＋EF＝AE 求出 AE 的长，由第一问的相 似三角形，根据相似的性质得出比例式，将各自的值代入即可求出 AC 的长．