反比例函数论文

《反比例函数》教法探讨

广州市第十六中学 付娟

一、类比的思想贯穿整个章节的教学

（1） 求反比例函数解析式的方法和正比例函数的方法类似，通过函数自变量x 、y 的一组数值，或者图

象上一个点的坐标,就可以求出函数解析式；

（2） 反比例函数图象的特征，可以与正比例函数的情况进行对比。k ＞0时，反比例和正比例函数的图

象都在第一、三象限；k ＞0时，反比例和正比例函数的图象都在第二、四象限。但是两种函数的增减性不同，而且反比例函数的图象必须分开在每个象限讨论增减性。

（3） 将一次函数中的数形结合的思想应用在反比例函数相关的习题中。例如函数与方程（组）、函数与

不等式方面的应用。

二、反比例函数的几个知识点的处理

（1）图象的对称性

在反比例函数的图象和性质第1课时，用描点法绘制反比例函数x y 6=的图象的时候，我会花足够的时间让学生仔细体会反比例函数图象的对称性，比如还可以具体到一些点的坐标特征。反比例函数既是一个轴对称图形，也是一个中心对称图形。而且，x k y =

与x k y -=的函数图象关于坐标轴对称。 例1：反比例函数 x

y 1=的图象的对称轴有_______条． 析：反比例函数图象关于直线y ＝x 和y ＝－x 对称，有2条对称轴。

例2：如图1，直线y ＝k 1x 与双曲线x

y k 2=相交于点A 、B 若点A 的坐标为

（－2，3），则点B 的坐标为_________．

析：反比例函数关于原点中心对称，A 、B 两点的横纵坐标都互为相反数。

例3：直线y=kx （k ＞0）与双曲线x

y 4=相交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 两点，如图2，则2 x 1 y 2－7 x 2 y 1＝________。

析：反比例函数关于原点中心对称，A 、B 两点的横纵坐标都互为相反数。

则x 2＝－x 1，y 2＝－y 1，x 1 y 2＝－x 1 y 1＝－4，x 2 y 1＝－x 1 y 1＝－4.即得到答案。

例4：如图3，反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，过

点A 作AC ⊥x 轴于点C ．若△ABC 的面积是4，则这个反比例函数的解

析式为_____________________。

析：这里由A 、B 两点关于O 点中心对称，可得△AOC 和△BOC 以

OC 为底边上的高相等，所以S △ABC ＝k ，可得k ＝4。

变式：下面两个坐标系中的图形的面积均要利用中心对称的特征。

图1 图2

图3

例5：（2011•眉山）如图4，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线 x

k y =（x ＞0）交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，AM ⊥y 轴于M ， BN ⊥x 轴于N ；有以下结论：①OA=OB ； ②△AOM ≌△BON ；

③若∠AOB=45°，则S △AOB =k ；

④当AB= 2时，ON －BN=1； 其中结论正确的个数为（ ）

(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 析：反比例函数图象是轴对称图形，第一象限的曲线关于直线y ＝x 对称，而一次函数b x y +-=的图象也是关于直线y ＝x 对称的，所以此题的整个图象关于直线y ＝x 轴对称，所以很快可以得到①②正确。过O 点作OH ⊥AB 交AB 于H 点，由对称性可得△AOM ≌△AOH ，则得到S △AOB ＝S △AOM + S △BON ＝k ，③正确。④是错误的，作辅助线后图中出现了一个以AB 为斜边的等腰直角三角形，可得当AB= 2时，ON －BN=2。

（2）函数的增减性

反比例函数的图象是两支分开的曲线，和一次函数不一样，这里我们要分别对每个象限的增减性分开进行描述。这里是学生容易出错的地方。这方面的考题方法也比较灵活。

例1：判断：关于反比例函数x

y 2-=，无论x 取何值时，y 随x 的增大而增大。（ ） 析：这句话是错误的，应该改成，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 例2：若点A （－3，y 1）、B （－2，y 2）、C （1，y 3）在反比例函数 x y 2=

的图象上，则下列结论正确的是 （ ）

(A)y 1＞y 2＞y 3 (B) y 2＞y 1＞y 3

(C) y 3＞y 1＞y 2 (D) y 3＞y 2＞y 1

析：如果这一题认为A 、B 、C 三点的横坐标在增大，所以纵坐标在

减小，就会选到错误的答案。这里可以通过解析式求出y 1、y 2、y 3三个数

的值来比较大小，也可以通过数形结合的方法在图形上大概描出三个的位 置，来判断它们纵坐标的大小，特别注意A 、B 两点在第三象限，C 点在第一象限。可得正确答案是C 。 例3：已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数x y 5-

=的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有 （ ）

(A)y 1＜0＜y 2 (B) y 2＜0＜y 1 (C) y 1＜y 2＜0 (D)y 2＜y 1＜0

析：这里不能求出x 1、y 1、 x 2、y 2的值，但是可以用特殊值法，假

设x 1为某一个负数（例如－1），x 2为一个正数（例如5），求出纵坐标就

可以比较大小了。这里还可以根据图象，大致描出A 、B 两个点的位置，

A 点在第二象限，

B 点在第四象限，得出y 2＜0＜y 1。

注意这题的条件x 1＜0＜x 2，如果这里稍作修改，就可以得到不同的答案了。比如改成x 1＜x 2＜0，或者0＜x 1＜x 2，得到的答案是y 1＜y 2。

例4：已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点在反比例函数x

y 4=

的图象上，则当x 1、x 2满足__________________时，y 1＞y 2。

析：这一题非常容易出错，典型的错误有x 1＜x 2。因为不知道A 、B 两点是否在同一个象限，所以填 图4