2009年江苏高考数学试卷及答案

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2009年全国高考数学试题——江苏卷(理科)含答案

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理科）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.若复数12429,69z i z i=+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3 【解析】232== a b 。

3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ★. 【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。

2009年江苏省高考数学试卷

2009年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为．2．（5分）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积=．3．（5分）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为．4．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=．5．（5分）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为．6．（5分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=．7．（5分）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=．8．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为．10．（5分）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f （n），则m，n的大小关系为．11．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．12．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）13．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．14．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．18．（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．19．（16分）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于m A、m B的表达式；当m A=m B时，求证：h甲=h乙；（2）设m A=m B，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取m A、m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．（16分）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．2009年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009•江苏）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为﹣20．【分析】把复数z1=4+29i，z2=6+9i，代入复数（z1﹣z2）i，化简，按多项式乘法法则，展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．【解答】解：∵z1=4+29i，z2=6+9i，∴（z1﹣z2）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，∴复数（z1﹣z2）i的实部为﹣20．故答案为：﹣202．（5分）（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积=3．【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．【解答】解：由题意知：=2×=3，故答案为：3．3．（5分）（2009•江苏）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为（﹣1，11）．【分析】要求函数的单调减区间可先求出f′（x），并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣30x﹣33=3（x2﹣10x﹣11）=3（x+1）（x﹣11）＜0，解得﹣1＜x＜11，故减区间为（﹣1，11）．故答案为：（﹣1，11）4．（5分）（2009•江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=3．【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．【解答】解：由图中可以看出：T=π，∴T=π=，∴ω=3．故答案为：35．（5分）（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为0.2．【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数有2.5和2.8，2.6和2.9，共2个∴所求概率为0.2．故答案为：0.2．6．（5分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=0.4．【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，这组数据的平均数是7，甲班投中次数的方差是，乙班的投中次数是6，7，6，7，9，这组数据的平均数是7，这组数据的方差是∴两组数据的方差中较小的一个为0.4，故答案为：0.47．（5分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=22．【分析】根据流程图可知，计算出S，判定是否满足S≥10，不满足则循环，直到满足就跳出循环，最后求出W值即可．【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，S=1；不满足S≥10第二次循环：T=3，S=32﹣1=8；不满足S≥10第三次循环：T=5，S=52﹣8=17，满足S≥10此时跳出循环，∴W=5+17=22．故答案为228．（5分）（2009•江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．9．（5分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣2，15）．【分析】先设切点P（x0，y0）（x0＜0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．【解答】解：设P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02﹣10=2，∴x02=4．∴x0=﹣2，∴y0=15．∴P点的坐标为（﹣2，15）．故答案为：（﹣2，15）10．（5分）（2009•江苏）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为m＜n．【分析】因为已知条件中对数函数的底数，即0＜a＜1，故函数f（x）=log a x在（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．【解答】解：∵∴0＜a＜1∴f（x）=log a x在（0，+∞）上为减函数若f（m）＞f（n）则m＜n故答案为：m＜n11．（5分）（2009•江苏）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．【分析】先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：412．（5分）（2009•江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．13．（5分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为e=2﹣5．【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N，易知直线A 1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，（负值舍去），易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．14．（5分）（2009•江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．【分析】根据B n=A n+1可知A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．【解答】解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），cos（α+β）=0，显然等式不成立∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．16．（14分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．【分析】（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；（2）要证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，通过证明A1D⊥面BB1C1C即可，利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）（2009•江苏）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．【分析】（1）先把已知条件用a1及d表示，然后联立方程求出a1，d代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求．（2）先把已知化简可得，然后结合数列a n的通项公式可寻求m满足的条件．【解答】解：（1）由题意可得联立可得a1=﹣5，d=2∴a n=﹣5+（n﹣1）×2=2n﹣7，（2）由（1）知=若使其为数列a n中的项则必需为整数，且m为正整数m=2，m=1；m=1时不满足题意，（a1=﹣5是最小值）故舍去．所以m=2．18．（16分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y ﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．【分析】（I ）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（II）根据题意，可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，分析可得圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即可以得到一个关于a、b的方程，整理变形可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4与圆C1不相交，故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0圆C1圆心（﹣3，1）到直线的距离，直线l被圆C1截得的弦长为，则=1，联立以上两式可得k=0或，故所求直线l方程为y=0或．（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l1：y﹣b=2（x﹣a），l2：，因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，故圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．19．（16分）（2009•江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于m A、m B的表达式；当m A=m B时，求证：h甲=h乙；（2）设m A=m B，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取m A、m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件m A=m B时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．（3）先写出结论：不能由（2）知h0=h0=．因为h甲h乙≤，不能取到m A，m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．【解答】解：（1）甲：买进A的满意度为h A1=，卖出B的满意度为h B1=；所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h==；甲乙：卖出A的满意度为：h A2=，买进B的满意度为：h B2=；==；所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h乙当m A=m B时，h甲=，h乙=，所以h甲=h乙（2）设m B=x（其中x＞0），当m A=m B时，h甲=h乙==≤；当且仅当x=，即x=10时，上式“=”成立，即m B=10，m A=×10=6时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；（3）不能由（2）知h0=．因为h甲h乙≤因此，不能取到m A，m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．20．（16分）（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．【分析】（1）f（0）≥1⇒﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，∴．综上所述：．（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；当﹣＜a＜时，△＞0，得：即进而分2类讨论：当﹣＜a＜﹣时，a＜，此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当﹣≤x≤时，＜a＜；此时不等式组的解集为[，+∞）．综上可得，当a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．。

江苏高考数学试卷

2009江苏高考数学试卷2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位.......置上...1.若复数12429,69z i z i =+=+,其中i 是虚数单位,则复数12()z z i -的实部为 .2.已知向量a 和向量b 的夹角为30,||2,||==a b ,则向量a 和向量b 的数量积=a b .3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .4.函数sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数,0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示,则ω= .5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= .7.右图是一个算法的流程图,最后输出的W = .8.在平面上,若两个正三角形的连长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在宣传部,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为9.在平面直角坐标系xoy中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 .10.已知12a -=,函数()x f x a =,若实数,m n 满足()()f m f n >,则,m n 的大小关系为 .11.已知集合{}2|log 2A x x =≤,(,)B a =-∞,若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞,其中c = .高考资源网12.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行,则l 和α平行;(3)设α和β相交于直线l ,若α内有一条直线垂直于l ,则α和β垂直;(4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题...的序号 .(写出所有真命题的序号).13.如图,在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .14.设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中,则6q = .二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.(本小题满分14分)设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c (1)若a 与2-b c 垂直,求tan()αβ+的值;(2)求||+b c 的最大值;(3)若tan tan 16αβ=,求证:a ∥b .16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A BC -中,E,F 分别是11A B,AC 的中点,点D 在11B C 上,11A D B C ⊥求证:(1)EF ∥ABC 平面(2)111A FD BBC C ⊥平面平面ABCABCEFD设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足2222234577a a a a ,S +=+=(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(2)试求所有的正整数m ,使得12m m m a a a ++为数列n S 中的项.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xoy 中,已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=(1)若直线l 过点(4,0)A ,且被圆1C截得的弦长为l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和,它们分别与圆1C 和圆2C 相交,且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为mm a+;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ,则他对这两种交易现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当3 5A B m m =时,求证:h 甲=h 乙;设35AB m m =,当 A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。

2009江苏高考数学试卷排版精编答案详解

2009江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2、答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3、请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4、作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5、如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i ii i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为______ 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b __________ .3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____4.函数s i n ()(y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=_______ .5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________ .6.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7 乙班6767911 π-23π-3π-O xy则以上两组数据的方差中较小的一个为2s=________ .7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W=________ .8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________.10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ________. 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________ .12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________.xyA1 B2A2 OTM开始0S ← 1T ←2S T S ←-10S ≥2T T ←+W S T ←+输出W 结束YN14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ________二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2009江苏高考

2009年普通高等学校夏季招生考试数学（江苏卷）一、填空题 ( 本大题共 14 题, 共计 70 分)1、(5分)若复数z1＝4+29i,z2＝6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1－z2)i的实部为_______.2、(5分)已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|＝2,,则向量a和向量b的数量积a·b＝_________.3、(5分)函数f(x)＝x3－15x2－33x+6的单调减区间为________________.4、(5分)函数y＝Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A＞0,ω＞0)在闭区间［－π,0］上的图象如图所示,则ω＝______________________.5、(5分)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为_____________________.6、(5分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________________________.7、(5分)右图是一个算法的流程图,最后输出的W＝_____________________8、(5分)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为_____________________.9、(5分)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y＝x3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为___________________.10、(5分)已知,函数f(x)＝a x,若实数m,n满足f(m)＞f(n),则m,n的大小关系为_______________________.11、(5分)已知集合A＝{x|log 2x≤2},B＝(－∞,a),若A B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c＝______________________.12、(5分)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是__________________(写出所有真命题的序号).13、(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆(a＞b＞0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为____________________.14、(5分)设{a n}是公比为q的等比数列,|q|＞1,令b n＝a n+1(n＝1,2,…),若数列{b n}有连续四项在集合{－53,－23,19,37,82}中,则6q＝___________________.二、解答题 ( 本大题共 9 题, 共计 139 分)1、(14分) 设向量a＝(4cosα,sinα),b＝(sinβ,4cosβ),c＝(cosβ,－4sinβ).(1)若a与b－2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tanαtanβ＝16,求证:a∥b.2、(14分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.3、(14分)设{a n}是公差不为零的等差数列,S n为其前n项和,满足a22+a32＝a42+a52,S7＝7. (1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n;(2)试求所有的正整数m,使得为数列{a n}中的项.4、(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y－1)2＝4和圆C2:(x－4)2+(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.5、(16分)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品的单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为m A元和m B元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.(1)求h甲和h乙关于m A、m B的表达式;当时,求证:h甲＝h乙.(2)设,当m A、m B分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为h0,试问能否适当选取m A、m B的值,使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.6、(16分)设a为实数,函数f(x)＝2x2+(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)＝f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.7、(20分)(选做题)在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.A.选修4—1:几何证明选讲如图,在四边形ABCD中,△ABC≌△BAD.求证:AB∥CD.B.选修4—2:矩阵与变换求矩阵.C.选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为(t为参数,t＞0).求曲线C的普通方程.D.选修4—5:不等式选讲设a≥b＞0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.8、(19分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x 轴上.(1)求抛物线C的标准方程;(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;(3)设过点M(m,0)(m＞0)的直线交抛物线C于D,E两点,ME＝2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式.9、(10分)对于正整数n≥2,用T n表示关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0有实数根的有序数组(a,b)的组数,其中a,b∈{1,2,…,n}(a和b可以相等);对于随机选取的a,b∈{1,2,…,n}(a和b可以相等),记P n为关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0有实数根的概率.(1)求T n2及P n2;(2)求证:对任意正整数n≥2,有P n＞.。

完整word版2009年江苏省高考数学试卷答案与解析

2009年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009?江苏）若复数z=4+29i，z=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z﹣z）i2112的实部为﹣20．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z=4+29i，z=6+9i，代入复数（z﹣z）i，化简，按多项式乘法法则，展2112开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．【解答】解：∵z=4+29i，z=6+9i，21∴（z﹣z）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，21∴复数（z﹣z）i 的实部为﹣20．21故答案为：﹣20【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．0，则向量，江苏）已知向量和和向量的夹角为2．（5分）（2009?30．3向量的数量积=【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．×=3，【解答】解：由题意知：=2故答案为：3．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积．32）．的单调减区间为（﹣1，11=x（5分）2009?江苏）函数f（x）﹣15x﹣33x+6．3（【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．的不等式求出解，并令其小于零得到关于x′（x）f【分析】要求函数的单调减区间可先求出集即可．22﹣11）（30x﹣33=3x﹣10x﹣（【解答】解：f′x）=3x ，）＜x﹣110（=3（x+1））．，＜1＜x11，故减区间为（﹣111解得﹣，111）（﹣故答案为：此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．【点评】14．（5分）（2009?江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．【解答】解：由图中可以看出：=，T=πT=π，∴∴ω=3．故答案为：3【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基础题．5．（5分）（2009?江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为0.2．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数有2.5和2.8，2.6和2.9，共2个∴所求概率为0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．6．（5分）（2009?江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学7 7 8 7 6甲班7 6 7 9 6乙班2．0.4则以上两组数据的方差中较小的一个为S=【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把根据表中所给的两组数据，【分析】方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．，8，7，，，解：由题意知甲班的投中次数是【解答】677 ，这组数据的平均数是72，甲班投中次数的方差是，6，7，9乙班的投中次数是6，7，，这组数据的平均数是7这组数据的方差是，∴两组数据的方差中较小的一个为0.40.4故答案为：这种问题一旦出现是比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，【点评】本题考查方差，一个必得分题目，注意运算过程中不要出错．．江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=227．（5分）（2009?【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．，不满足则循环，直到满足就跳10，判定是否满足S≥S【分析】根据流程图可知，计算出值即可．出循环，最后求出W10≥S=1；不满足S【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，210≥；不满足ST=3，S=3﹣1=8第二次循环：210 S≥S=5﹣8=17，满足T=5第三次循环：，W=5+17=22．此时跳出循环，∴22故答案为当型循环结构和直到型循循环结构有两种形式：本题主要考查了直到型循环结构，【点评】环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．，则它们的面积比为：21分）（2009?江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为．8（5 则它们的体积比8，：若两个正四面体的棱长的比为类似地，41：，在空间内，12【考点】类比推理．立体几何．【专题】3【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．3上，且在10x+3y=x﹣P在曲线C：（5分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xOy中，点9．．2，15）P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣C第二象限内，已知曲线在点【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．处的）在x=xf（x）y（x＜0），根据导数的几何意义求出函数【分析】先设切点P（x，0000导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．2，=3x﹣10=20），由题意知：y′|x=x＜【解答】解：设P（x，y）（x000002．∴x=40，=﹣2∴x0．∴y=150．15）∴P点的坐标为（﹣2，），15故答案为：（﹣2本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，【点评】本题属于基础题．x）（m，n满足f，函数f（x）=log，若正实数200910．（5分）（?m江苏）已知a＞f（n），则m，n的大小关系为m＜n．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．x在=logx）＜1，故函数f（【分析】，即因为已知条件中对数函数的底数0＜a a（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．解：∵【解答】∴0＜a＜1x∴f（x）=log在（0，+∞）上为减函数a若f（m）＞f（n）则m＜n故答案为：m＜n4x时，指数函数和对数函数在其定义域上均1，在底数a＞【点评】函数y=a和函数y=logx a）x 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣0＜a＜1为增函数，当底数x﹣，在底x）轴对称，其单调性相反，故函数y=a和函数y=log（﹣与f（x）的图象关于Y a时，指数函数1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜a数＞1 和对数函数在其定义域上均为增函数．的取aA?B则实数，≤2}，B=（﹣∞a），若（11．5分）（2009?江苏）已知集合A={x|logx2．c= 4值范围是（c，+∞），其中集合的包含关系判断及应用．【考点】集合．【专题】A 先化简集合，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．【分析】【解答】解：A={x|logx≤2}={x|0＜x≤4} 2而B=（﹣∞，a），∵A?B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：4【点评】本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型．12．（5分）（2009?江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题．13．（5分）（2009?江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A，A，B，B为椭圆2112的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T，112．OTMOT线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 5【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．，联立的方程为，直线B【分析】解法一：可先直线ABF的方程为112的坐标，代入椭圆的方程即可解出离的坐标，进而表示出中点M两直线的方程，解出点T 心率的值；'2'2根），F'．（解法二：，对椭圆进行压缩变换，0，，椭圆变为单位圆：x+y=1 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．T与x据题设条件求出直线BT方程，直线直线B11的方程为，的方程为直线BF【解答】解法一：由题意，可得直线AB112（M）T（，则），由于此点在椭圆两直线联立则点上，故有22=0﹣c10ac，整理得3a﹣2 +10e﹣，解得3=0即e故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，'2'2．，0+y=1，F'）（椭圆变为单位圆：x ，TM=MO=ON=1，AB斜率为1，交圆延长TOO于N，易知直线21′+1，′），则，y′=x，T设（x′y，×TN由割线定理：TB×TA ，=TM12，（负值舍去）方程：T1（B0，﹣），直线B易知：11=0令y′F，即横坐标6e=．即原椭圆的离心率故答案：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）（2009?江苏）设{a}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b=a+1（n=1，2，…），nnn若数列{b}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．n【考点】等比数列的性质；数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据B=A+1可知A=B﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}nnnn中，则可推知则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述n数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项，求得q，进而求n得6q．【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B=A+1 A=B﹣1nnnn则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中n{A}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项n等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除﹣=﹣=﹣=﹣=很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项n﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）q= ﹣或q=﹣q= ∴∴6q=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009?江苏）设向量与垂直，求tan（α+β）的值；1（）若的最大值；2（）求7∥．，求证：）若tanαtanβ=16（3【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．【专题】平面向量及应用．与与先根据向量的线性运算求出，的再由【分析】（1）垂直等价于数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．||，然后根据向量的求模运算得到的关系，最后根据正（2）先根据线性运算求出弦函数的性质可确定答案．∥β，正是α）?（4cosβ）=sinαsin（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cos 的充要条件，从而得证．垂直，β，4cosβ+8sinβ）与（【解答】解：1，）∵=（sinβ﹣2cos∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），cos（α+β）=0，显然等式不成立∴tan（α+β）=2．）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣（24sinβ），||=∴，=．||1β=﹣时，取最大值，且最大值为sin2∴当，即sinαsin β=16，∴β=16cosαcosβ，α（3）∵tantan 4cosα∴（4cos）?（β）=sin，sinβα）共线，，sinsin，α=）与（β4cosβα（即=4cos∥．∴求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和【点评】本题主要考查向量的线性运算、三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．的分别是ABA，CFE中，CB﹣江苏）如图，在直三棱柱2009分）（16．14（?ABCA，11111在中点，点DB⊥．求证：BCDA上，C1111（∥平面EF1）；ABC 2（）平面CBB⊥平面FD．AC1118直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【考点】立体几何．【专题】即可；∥BCEF ∥平面ABC，证明EF【分析】（1）要证明即可，利用平面与平面CBBC，通过证明AD⊥面）要证明平面（2AFD⊥平面BBCC111111垂直的判定定理证明即可．C的中点，A分别是B，A 【解答】证明：（1）因为E，F11 ABC；ABC，所以EF∥平面EF?面ABC，BC?面所以EF∥BC，又D，BB⊥A，所以BB⊥面ABC，ABC（2）因为直三棱柱﹣ABC111111111⊥FD所以平面A，D?面AFD⊥面BC=B，所以ADBBCC，又AB又AD⊥C，BB∩11111111111．CC平面BB11本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，【点评】是中档题．项和，满足为其前nS?江苏）设a是公差不为零的等差数列，17．（14分）（2009nn2222=7，Sa+a=a+a72435 S；的通项公式及前n项和（1）求数列a nn中的项．，使得为数列（2）试求所有的正整数ma n数列的求和；等差数列的性质．【考点】等差数列与等比数列．【专题】代入等差数列的通项da，）先把已知条件用a及d表示，然后联立方程求出【分析】（111 n项和公式可求．公式及前ma2的通项公式可寻求）先把已知化简可得，然后结合数列（n满足的条件．）由题意可得【解答】解：（1d=2 ﹣5，=联立可得a1，×）2=2n﹣71n5+=a∴﹣（﹣n（2中的项a=1）由（）知若使其为数列n9为正整数必需为整数，且m则；，m=1m=2 是最小值）故舍去．﹣5时不满足题意，（a=m=11．所以m=2解题的重点是要熟练掌握项和的公式，本题主要考查了等差数列的通项公式及前n【点评】基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．22和﹣1）=4C：（x+3）+（y18．（16分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆122=4 ﹣5）x﹣4）+（yC圆：（2，求直线l0），且被圆C的方程；截得的弦长为I（）若直线l过点A（4，1的斜，l）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l与l（II）设P（a，b112截得C被圆C截得的弦长与直线l被圆相交，率为2，它们分别与圆C和圆C且直线l212121的关系式．的弦长相等，试求满足条件的a，b直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．【考点】直线与圆．【专题】的点斜式方程，又由直线被圆，故可以设出直线l4，0）I 【分析】（）因为直线l过点A（，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，截得的弦长为C1lk值，代入即得直线即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出的方程．的圆心到直C与ll的点斜式方程，分析可得圆（II）根据题意，可以设出过P点的直线112的方程，整理ba、的距离相等，即可以得到一个关于l的距离和圆C的圆心到直线l线212变形可得答案．不相交，与圆C （Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4【解答】解：1），x﹣4l故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线的方程为y=k（）到直线的距离，C圆心（﹣3，1圆﹣即kxy﹣4k=01=1，则，l直线被圆C截得的弦长为1k=0联立以上两式可得，或故所求直线．y=0方程为l或10：，l x﹣a），（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l：y﹣b=2（21因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，l的距离相等，l的距离和圆C的圆心到直线的圆心到直线故圆C2112即，解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．19．（16分）（2009?江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n他卖出该产品的单价为m元，则．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h和他的满意度为h，则他21．对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与卖出B BA的综合满意度为h，乙卖出A与买进B的综合满意度为h．乙甲=m时，求证：h的表达式；当m=h；（1）求h和h关于m、m BAAB乙甲甲乙=m，当mm、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综（2）设BBAA合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h，试问能否适当选取m、m的值，使得h≥h和00AB甲h≥h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．0乙【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．=mm时，表示出要证【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件BA明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．≤，不能取到m，m=h）知hh=．因为h的值，使）先写出结论：不能由（（32B0A0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h 和≥hh≥h得00乙甲=；hB=的满意度为）甲：买进（【解答】解：1Ah，卖出的满意度为B1A111=；h= 所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为甲=；=，买进B的满意度为：乙：卖出A的满意度为：hh B2A2=；= A与买进B的综合满意度h所以，乙卖出乙=，所以hh，=h当m=m时，BA甲甲乙=h乙=m时，0），当mm（2）设=x（其中x＞BAB≤；= =h=h乙甲=×10=6m时，=10时，上式“=”成立，即m当且仅当，x=，即x=10AB甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；≤h =．因为（3）不能由（2）知hh0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h≥hm的值，使得h≥h和因此，不能取到m，0BA0乙甲【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．2．﹣a|x﹣a）|x江苏）设a为实数，函数f（x）=2x+（1620．（分）（2009? a的取值范围；10）≥，求（1）若f（x）的最小值；2）求f（（的解集．）≥1）+∞，求不等式h（x，h3）设函数（x）=f（x）x∈（a，（二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【考点】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【专题】a再去绝对值求的取值范围，﹣a|a|≥1≥【分析】（1）f（0）1?借助二次函数的a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，和x＜≥（2）分xa 对称轴及单调性．最后综合即可．22，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再0﹣﹣2ax+a1≥转化为x3（）h（）≥13x 对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可． 1 ≤?≥，则﹣≥0f1解：【解答】（）若（）1a|a|1?a﹣1222，∴，﹣2ax+a xx≥a时，f（）=3x2（）当如图所示：22﹣af（x）=x，+2ax≤当xa时，∴．综上所述：．1，h（x）≥a（3）x∈（，+∞）时，22222﹣8a（a﹣1）=12△得3x﹣2ax+a1﹣≥0，=4a12﹣）；∞（0≤，x∈a，+△a≤当a﹣或≥时，＞时，＜当﹣a＜△0，得：13即2类讨论：进而分＜时，a，当﹣＜a＜﹣；+，∞，]∪）[a此时不等式组的解集为（a；≤＜时，＜x当﹣≤）．此时不等式组的解集为，[+∞综上可得，）；，+∞+，∞当a∈（﹣∞，﹣）∪（）时，不等式组的解集为（a）；[，+∈当a∞（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪．+，∞）时，不等式组的解集为[a当∈﹣，][分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，【点评】本题考查了分段函数的最值问题．最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．14。

【精品文档】2009年江苏高考数学试卷

【精品文档】2009年江苏高考数学试卷2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学?注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式:nn1122sxxxx,,,其中(),xxx,,,的方差样本数据,,ii12nnn,,11ii一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上. (((((((((izizi,，,，429,691.若复数，其中是虚数单位，则复数12y ()zzi,的实部为 . 121b||2,||3ab,,302.已知向量和向量的夹角为，，则向量a1 O x ,2,,, ,,bab,和向量的数量积 . a33 32fxxxx()15336,,,，3.函数的单调减区间为 .yAxA,，sin()(,,A,,0,0)[,0],,,,,,,4.函数为常数，在闭区间上的图象如,,图所示，则 .5.现有5根竹竿，它们的长度(单位:m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表:学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 92s,则以上两组数据的方差中较小的一个为 .S 数学?试卷第 1 页 (共 7 页)7.右图是一个算法的流程图，最后输出的开始 W, .S,08.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个T,1 正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为 . 2STS,, TT,，2xoy9.在平面直角坐标系中，点P在曲线3Cyxx:103,,，上，且在第二象限内，已知S,10 N 曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . YWST,，51, xa,fxa(),10.已知，函数，若实数2Wmn,mn,fmfn()(),满足，则的大小关系输出为 .结束 Axx,,|log211.已知集合，,,2Ba,,,(,)c,(,)c，,AB,，若则实数的取值范围是，其中 . a,,12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题:,,,,(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于;,,,ll(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行;,,,,ll,(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直;,,ll(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 (写出所有真命题的序号). (((22xyxoyAABB,,,13(如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的，,,,1(0)ab121222abFABBF四个顶点，为其右焦点，直线与直线121yT MOT相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段B2 M OT的中点，则该椭圆的离心率为 .O AAx 1 2S 数学?试卷第 2 页 (共 7 页)q||1q,ab14(设是公比为的等比数列，，令若数列有ban,，,1(1,2,),,,,nnnn 6q,,,53,23,19,37,82连续四项在集合中，则 . ,,二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15((本小题满分14分)abc,,,,(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin),,,,,,设向量bc,2tan()，,,(1)若与垂直，求的值; a||bc，(2)求的最大值;tantan16,,,b(3)若，求证:?. a16((本小题满分14分)DABCABC,E,FAB,ACBC如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，1111111ADBC, 11EF平面ABC求证:(1)?平面平面AFDBBCC,(2) 111S 数学?试卷第 3 页 (共 7 页)17((本小题满分14分)2222aaaaa,S，,，,7设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足Sn,,nn23457a(1)求数列的通项公式及前项和S; n,,nnaamm，1ma(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项. ,,nam，218((本小题满分16分)22xoyCxy:(3)(1)4，，,,在平面直角坐标系中，已知圆和圆 122Cxy:(4)(5)4,，,, 2lA(4,0)l23(1)若直线C过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程; 1ll和(2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与12CClClC圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求121122所有满足条件的点P的坐标.y .. 1O 1 x19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单amm价为元，则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为nma，nhh.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的12na，S 数学?试卷第 4 页 (共 7 页)hh综合满意度为. 12现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与ABhh卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为. 甲乙3hhhh(1) 求和关于、的表达式;当时，求证:=; mmmm,甲乙甲乙ABAB53(2) 设，当m、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大,最大的mm,ABAB5综合满意度为多少,hh,，试问能否适当选取、的值，使得和(3) 记(2)中最大的综合满意度为hmm 甲00ABhh,同时成立，但等号不同时成立,试说明理由. 乙020((本小题满分16分)2fxxxaxa()2()||,，,,设为实数，函数. af(0)1,(1) 若，求的取值范围; afx()(2) 求的最小值;hxfxxa()(),(,),,，,hx()1,(3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的((((解集.S 数学?试卷第 5 页 (共 7 页)2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学?(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1(本试卷共2页，均为非选择题(第21题,第23题)。

2009年全国高考数学试题及答案-江苏卷

题号年级知识点是否有答案是否有解析1高二复数的计算是无
2高一平面向量的数量积是有
3高一函数的单调性是有
4高一三角函数的图像和性质是有
5高二随机事件的概率是无
6高二离散型随机变量的期望与方差是无
7高一算法的含义与程序框图是无
8高一空间几何体的体积是无
9高二曲线的切线是无
10高一指数函数的基本性质是无
11高一集合的基本运算是有
12高一命题及其关系
直线与平面的位置关系
是无
13高二椭圆的离心率是是14高一等比数列是是
15高一1.平面向量的数量积
2.二倍角公式
3.向量共线的充要条件
是是
16高一1.直线与平面平行的判定
2.平面与平面垂直的判定
是是
17高一1.等差数列的通项公式和求和公式
2.数列的中项
是是
18高一1.直线方程
2。

直线与圆的方程的应用
是是
19高一1.函数模型的选择和应用
2.函数的性质和应用
是是
20高一1.二次函数的性质
2.一元二次不等式的解法
3.二次函数求最值
是是
2009年全国高考数学试题及答案-江苏卷。

2009年江苏省高考数学真题(解析版)

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式:样本数据1x,2x,,nx的标准差(ns x x=++-其中x为样本平均数柱体体积公式V Sh=其中S为底面积，h为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．锥体体积公式13V Sh=其中S S为底面积，h为高球的表面积、体积公式24S Rπ=，343V Rπ=3．函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x =--=-+'，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．【答案】3．【解析】如图，2π3T =，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．【答案】0.2 【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m 的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．【答案】22．【解析】追踪表：故出循环时，S =17，T =5，故W=22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．【答案】1：8【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ．【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10．已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ．【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4．【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12．设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β；（2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直；（4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）．【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1y x a b +=-，直线1B F 的方程为1yx c b+=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5．【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=．（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，所以a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；（2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，AB CA 1B 1C 1 EF D第16题图∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥．又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ．又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-．（2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a a a t++--=86t t =+-，因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k -=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即第18题图11|4()5()|a bk k----+=，即|31||45|k ka b k a kb---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k b b k a b k a+++-+-=-+--+-因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a=-，132b=；或52a=，12b=-．所以满足条件的点P坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P在线段1C2C的中垂线上，且与1C、2C构成等腰直角三角形，设点P(,)a b，则713()42b a-=--，又120PC PC⋅=，即22670a b a b+---=，解得：32a=-，132b=；或52a=，12b=-．满足条件的点P坐标为313(,)22-或51(,)22-．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nn a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于m A，m B的表达式；当35A Bm m=时，求证：h甲=h乙；（2）设35A Bm m=，当m A，m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取m A，m B的值，使得0h h甲≥和h h乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h=甲h=乙当35A Bm m=时，h=甲h=乙h甲=h乙．当35A Bm m=时，h==甲，而520Bm≤≤，所以当20Bm=时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12Am=．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②，由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--，只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立．由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--，只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-．（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．（3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a⎧⎪≥⎨>⎪⎩， ia <<时，不等式的解集为(,)a +∞； ii）a ≤≤)+∞；iii）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.数学Ⅱ（附加题）参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=21. [选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．.． A.选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD .求证：AB ∥CD .证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB =∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA =∠CDB .再由△ABC ≌△B AD 得∠CAB =∠DBA .因此∠DBA =∠CDB ，所以AB ∥CD . B. 选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得1,2,2,3x z y w =-===-，从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为1,13()x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）.求曲线C 的普通方程.解：因为212,x t t=+-所以212,3y x t t +=+= 故曲线C 的普通方程为：2360x y -+=. D. 选修4 - 5：不等式选讲设a ≥b ＞0，求证：3332a b +≥2232a b ab +.证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=--因为a ≥b ＞0，所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0，即3332a b +≥2232a b ab +.22. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x轴上（如图）.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME =2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式.23. 对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

mjt-2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)试题及点评

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,n x x x L 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若复数i z i z 96,29421+=+=其中i 是虚数单位，则复数i z z )(21-的实部为．2．已知向量a 和向量b 的夹角为30o，3||,2||==b a ，则向量a 和向量b 的数量积b a ⋅= ．3．函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为．4．函数)sin(ϕω+=x A y （ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA ）在闭区间[]0,π-上的图象如图所示，则ω= ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3m 的概率为． 6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7 乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的=W ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．9．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线310:3+-=x x y C 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为． 10．已知215-=a ，函数xa x f =)(，若实数m 、n 满足)()(n f m f <，则m 、n 的大小关系为．11．已知集合{}),(,2log |2a B x x A -∞=≤=，若B A ⊆则实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c =12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，2121,,,B B A A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令),2,(1⋅⋅⋅=+=n a b n n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则q 6= ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(β-β=ββ=αα=c b a （1）若a 与c b 2-垂直，求)tan(β+α的值；（2）求c b +的最大值; （3）若16tan tan =βα，求证：a ∥b16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E 、F 分别是B A 1、C A 1的中点，点D 在11C B 上，C B D A 11⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面FD A 1⊥平面C C BB 11．．17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足7,725242322=+=+S a a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得21++m m m a a a 为数列{}n a 中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆4)1()3(:221=-++y x C 和圆4)5()4(:222=-+-y x C ．（1）若直线l 过点)0,4(A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为am m+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为a n n +．如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为21h h ．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为甲h ，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为乙h(1)求甲h 和乙h 关于A m 、B m 的表达式；当B A m m 53=时，求证：甲h =乙h ； (2)设B A m m 53=，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数a x a x x x f --+=)(2)(2． (1)若1)0(≥f ，求a 的取值范围；(2)求)(x f 的最小值；(3)设函数),(),()(+∞∈=a x x f x h ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集．数学Ⅱ参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=L21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD ．求证：AB ∥CD ．B ．选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵． C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为,13()x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）．求曲线C 的普通方程． D ．选修4 - 5：不等式选讲：设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．23．（本题满分10分）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程022=++b ax x有实数根的概率．（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有nP n 11->． 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案及解读数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1． -20【解析】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题．由i z i z 96,29421+=+=, 可得i i i i z z 220)202()(21--=+-=-, 则复数i z z )(21-的实部为-20．2． 3【解析】本题考查了复数的数量积公式及其简单应用．由向量a 和向量b 的夹角为ο30，3||,2||==b a ，可得330cos 32=⨯⨯=⋅οb a ．3．)11,1(-【解析】本题考查了导数法求函数的单调区间问题．由63315)(23+--=x x x x f ,可得)1110(333303)(22--=--='x x x x x f , 令0)(<'x f 可解得111<<-x , ∴函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为)11,1(-．4． 3【解析】本题考查了由三角函数图象求三角函数解析式问题．由图象可得该函数的周期为ωπ=π=232T , ∴3=ω． 5．51【解析】本题考查了古典概型问题,从2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，这五个数据中任意抽取2个有2．5 , 2．6; 2．5 , 2．7; 2．5 , 2．8; 2．5 , 2．9; 2．6 , 2．7; 2．6 , 2．8; 2．6 , 2．9; 2．7 , 2．8; 2．7 , 2．9; 2．8 , 2．9，共10种抽取方法, 其中长度恰好相差0．3m 仅2．5 , 2．8; 2．6 , 2．9两组, 即得2,10==m n , ∴它们的长度恰好相差0．3m 的概率为51102===n m P ． 6．52【解析】本题考查了统计初步中样本数据的方差的求解问题,属简单的公式应用问题．同时也考查了学生的估算能力．由图表可得7)78776(51=++++=甲x , 7)97676(51=++++=乙x , ∴52)01001(512=++++=甲S , 56)40101(512=++++=乙S ,22乙甲S S < ,∴两组数据的方差中较小的一个为522=S ．本题也可由表格估算出22乙甲S S <，因此，不必计算2乙S7． 22【解析】本题考查了算法的流程图,以循环结构为主要考查对象,是近几年高考中常见的命题方式．由流程图可得, 第一次循环时得到的S 与T 的值分别为1-0=1,1; 第二次循环时得到的S 与T 的值分别为9-1=8,3; 第三次循环时得到的S 与T 的值分别为25-8=17,5, 此时退出循环结构得22517=+=W ．8． 1:8【解析】本题考查了推理与证明中合情推理之中类比推理的应用．由于相似的几何图形中面积比是边长的平方比, 类比的相似的几何体的体积比是棱长的立方比, 即若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1:8．9． (-2, 15)【解析】本题考查了导数的几何意义, 曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲线上某点的切线的斜率．由21032=-='x y 可解得2±=x , ∵切点P 在第二象限内，∴2-=x , 由此可得点P 的坐标为(-2, 15)．10． n m <【解析】本题考查了指数函数及指数函数的单调性的应用．∵)1,0(215∈-=a , ∴函数xa x f =)(为R 上的减函数，又∵)()(n f m f >, ∴n m <．11． 4【解析】本题考查了对数不等式及集合的子集运算,此题中要注意对数函数的定义域及集合边界值的验证．由已知条件可得{}(]4,02log |2=≤=x x A ,),(a B -∞=，若B A ⊆则4>a ,即得4=c ．12． (1)(2)【解析】本题考查了平面与平面、直线与平面的平行与垂直的位置关系,是高考中常见的开放题型之一．若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β,这是两个平面平行的判定定理,即(1)正确；若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行,这是直线与平面平行的判定定理,即(2)正确；设α和β相交于直线l ，α内有一条直线垂直于l ，但该直线不一定能够垂直β内两条相交直线,即直线l 不一定垂直于平面β,所以平面α和β不一定垂直,即(3)不正确; 直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直,即(4)不正确, 综上可得真命题的序号为(1)(2)．13．572-【解析】本题考查了直线方程，两直线的交点及椭圆的几何意义,离心率的考查是高考客观题考查的热点．由已知条件可得直线21B A 的方程为1=-+-b x a x ①, 直线F B 1的方程为1=-+byc x ②,联立①②可得两直线交点T 的坐标为(c a ac -2,ca c ab -+)(),则线段OT 的中点M的坐标为(c a ac -,)(2)(c a c a b -+),代入椭圆12222=+b y a x 可得222)(4)(4c a c a c -=++,即得03102=-+e e ,解之得725±-=e ,∵)1,0(∈e , ∴572-=e ．【别解】设)sin ,cos (θθb a M ，则)sin 2,cos 2(θθb a T ，由T B A 21共线得aba ab =+θθcos 2sin 2化简得1cos 2sin 2+θ=θ ①由FT B 1共线得cba b b =θ+θcos 2sin 2化简得θ=+θcos 2)1sin 2(e ②由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=θ-=θ)1(21sin 1cos e e e e 代入1sin cos 22=θ+θ得03102=-+e e ，解得725+-=e ．14． -9【解析】本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题,此题利用等比数列构造另一个数列,利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则数列{}n a 必有连续四项在集合{}81,36,18,24,54--中, 若公比q 为正则该数列的四项必均为正或均为负值, 显然不合题意,所以公比q 必为负值,又由1>q 知1-<q ,按此要求在集合{}81,36,18,24,54--中取四个数排成数列可得数列81,54,36,24--或54,36,24,18-- (此数列不成等比数列,故舍去), ∵数列81,54,36,24--的公比23-=q , ∴96-=q ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．[15题解析] 本小题主要考查向量的基本概念、数乘、数量积，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明等基本能力．满分14分．（Ⅰ）由a 与c b 2-垂直，02)2(=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即0)cos(8)sin(4=β+α-β+α，2)tan(=β+α．（Ⅱ）)sin 4cos 4,cos (sin β-ββ+β=+c b ，β+ββ-β+β+ββ+β=+22222sin 16sin cos 32cos 16cos cos sin 2sin c b β-=ββ-=2sin 1517cos sin 3017，最大值为32，所以c b +的最大值为24．由16tan tan =βα得βα=βαcos cos 16sin sin ，即0sin sin cos 4cos 4=βα-β⋅α，所以a ∥b ．[16题解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．（Ⅰ）因为E ，F 分别是C A B A 11,的中点，所以EF ∥BC ，又ABC EF 面⊄，ABC BC 面⊂，所以EF ∥平面ABC ．（Ⅱ）因为直三棱柱111C B A ABC -，所以1111C B A BB 面⊥，D A BB 11⊥，又C B D A 11⊥，所以C C BB D A 111面⊥，又FD A D A 11面⊂，所以平面⊥FD A 1平面C C BB 11． [17题解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力．满分14分．（1）设公差为d ，则23242522a a a a -=-，由性质得)()(33434a a d a a d +=+-，因为0≠d ，所以034=+a a ，即0521=+d a ，又由77=S 得726771=⨯+d a ，解得51-=a ，2=d ,所以{}n a 的通项公式为72-=n a n ，前n 项和n n S n 62-=．(2)（方法一）32)52)(72(21---=++m m m a a a m m m ,设t m =-32，则68)2)(4(21-+=--=++tt t t t a a a m m m , 所以t 为8的约数因为t 是奇数，所以t 可取的值为1± 当2,1-==m t 时，3752,368=-⨯=-+tt ，是数列{}n a 中的项；当1,1=-=m t 时，,1568-=-+tt 数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2=m （方法二）因为222222186)2)(4(++++++++-=--=m m m m m m m m a a a a a a a a 为数列{}n a 中的项，故28+m a 为整数，又由（1）知：2+m a 为奇数，所以1322±=-=+m a m ，即2,1=m经检验，符合题意的正整数只有2=m这两种解法看似相同，但却有本质的区别，解法二是紧扣数列通项公式解题，而解法一是紧扣等差数列的概念解题，学生掌握的基本思路是解法二，本题是中极题．[18题解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．满分16分．(1)设直线l 的方程为：)4(-=x k y ，即04=--k y kx 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离，1)232(422=-=d 结合点到直线距离公式，得：114132=+---k kk化简得：247,,0.07242-===+k or k k k 求直线l 的方程为：0=y 或)4(247--=x y ，即0=y 或028247=-+y x (2) 设点P 坐标为),(n m ，直线1l 、2l 的方程分别为：)(1),(m x k n y m x k n y --=--=-，即：011,0=++--=-+-m kn y x k km n y kx因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等．故有：1115411322+++--=+-+--k m kn k k kmn k ，化简得：5)8(,3)2(-+=+---=--n m k n m n m k n m 或关于k 的方程有无穷多解，有：⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=--=--0508,0302n m n m n m m m 或解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(-． [19题解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1) [][])20,5,12,3(,203,512∈∈+⋅+=+⋅+=B A B B A A B B A A m m m m m m h m m m m h 乙甲当B A m m 53=时，)5)(20(51253532++=+⋅+=B B B B B B B m m m m m m m h 甲,)20)(5(20353532++=+⋅+=B B BB B B B m m m m m m m h 乙,h 甲=h 乙（2）当B A m m 53=时，h ==甲由[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∈51,201120,5B B m m 得，故当2011=B m 即12,20==A B m m 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为510．（3）（方法一）由（2）知：5100=h 由5105120=≥+⋅+=h m m m m h B B A A 甲得：25512≤+⋅+B B A A m m m m ，令y m x m B A ==5,3则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41,y x ，即：25)1)(41(≤++y x ．同理，由5100=≥h h 乙得：25)41)(1(≤++y x 另一方面，[]5,241,41,1,41,∈++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈y x y x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++2,251,1y x25)41)(1(,25)1)(41(≥++≥++y x y x 当且仅当41==y x ，即B A m m =时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得00h h h h ≥≥乙甲和同时成立，但等号不同时成立．方法二：由⑵知320=h ，因为 9425100201536122020351212≤++⋅++=+⋅+⋅+⋅+=yy x x y x x y y x h h 乙甲所以，当32,32≥≥乙甲h h 时，有32==乙甲h h ，因此，不能取到B A m m ,的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．[20题解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分16分（1）若1)0(≥f ，则1112-≤⇒⎩⎨⎧≥<⇒≥-a a a a a（2）当a x ≥时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=+-=0,320,20),3(0),()(,23)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 当a x ≤时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=⎩⎨⎧<≥-=-+=0,20,20),(0),()(,2)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 综上⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,320,2)(22mina a a a x f （3）),(+∞∈a x 时，1)(≥x h 得012322≥-+-a ax x ，222812)1(124a a a -=--=∆当2626≥-≤a a 或时，),(,0+∞∈≤∆a x ；当2626<<-a 时，△>0,得：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-+----ax a a x a a x 0)323)(323(22 讨论得：当)26,22(∈a 时，解集为),(+∞a ; 当)22,26(--∈a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+⋃--,323]323,(22a a a a a ; 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22,22a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+,3232a a ．数学Ⅱ[A ．选修4 - 1几何证明选讲答案] ：本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB ．再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA ．因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD ．[B ．选修4 - 2：矩阵与变换答案] ：本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分．解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡w y z x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10011223 ＝ w y zx即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤++⎢⎣⎡+100122322z 3 ＋w y w y z x x ，故⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+,12,023,,02,123w y w y z x z x 解得：3,2,2,1-===-=w y z x ，从而A 的逆矩阵为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=-32211 A ． [C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程答案] ：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力．满分10分．解：因为212-+=t t x ，所以3122y t t x =+=+，故曲线C 的普通方程为：2360x y -+= [ D ．选修4 - 5：不等式选讲答案] ：本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力．满分10分．证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0，即3332a b +≥2232a b ab +．[必做题第22题答案] ：本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）由题意，可设抛物线C 的标准方程为px y 22=，因为点)2,2(A 在抛物线C 上，所以1=p ，因此，抛物线C 的标准方程为x y 22=．（2）由（1）可得焦点F 的坐标是)0,21(，又直线OA 的斜率为122=，故与直线OA 垂直的直线的斜率为1-，因此，所求直线的方程是021=-+y x ．（3）解法一：设点D 和E 的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，直线DE 的方程是)(m x k y -=，0≠k 将m kyx +=代入x y 22=，有0222=--km y ky ，解得kmk y 22,1211+±=．由DE ME 2=知)121(221122-+=++mk mk ，化简得m k 42=．因此22122212212))(11()()(y y ky y x x DE -+=-+-= )4(49)21(4)11(2222m m k mk k +=++=．所以)0(423)(2>+=m m m m f ．解法二：设),2(),,2(22t t E s s D ，由点)0,(m M 及DMME 2=得)0(20),2(22122s t s m m t -=--=-．因此2,2s m s t =-= 所以)0(423)2()22()(222222>+=--+-==m m m s s s s DE m f ．[必做题第23题答案] ：本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力．满分10分．（1）解：因为方程022=++b ax x 有实数根，所以0442≥-=∆b a ，即2a b ≤（i ）当2n a n ≤≤时，有22a n ≤，又2,,2,1n b ⋅⋅⋅∈，故总有b ，有12+-n n 种取法，b有2n 种取法，所以共有22)1(n n n +-组有序数组),(b a 满足条件；（ii ）当11-≤≤n a 时，满足21ab ≤≤的b有2a个，故共有6)12)(1()1(3212222--=-+⋅⋅⋅+++n n n n 组有序数组),(b a 满足条件．由（i ）（ii ）可得6)1346(6)12)(1()1(23222++-=--=+-=n n n n n n n n n n T n ，从而32346134622nn n n n T P n n ++-==． ⑵证明：我们只需证明：对于随机选取的n b a ,,2,1,⋅⋅⋅∈，方程022=++b ax x 无实数根的概率nP n 11<-．若方程022=++b ax x 无实数根，则0442<-=∆b a ，即b a <2的有序数组),(b a 的组数小于n n ，从而，方程022=++b ax x 无实数根的概率nn n n P n 112=<-，所以n P n 11->．试卷综合解读与评析2009年高考江苏卷保持了2008年高考江苏卷的特点，以稳为主，稳中有变，更加体现新课程理念，所有试题的建构，不偏不怪，难易得当，紧扣考纲，贴近课本．注重考查基础知识，基本技能，基本数学思想和方法，对当前高中数学教学和高三数学复习备考有着鲜明的导向作用．下面从数学I、II试题的答案，别解、知识点、苏教版教材的出处，考纲要求，课本要求，用到的数学思想方法，容易导致失误的地方等方面进行综合解读．（要说明的是：江苏高考试题分文、理科，除选修的科目不同外，语、数、外三门必修科目的设置也有同有异：英语科目文理科试题相同，分值为120分；数学、语文两门必修科目，文理试题的设置分I、II两部分，对于文科和理科的考生数学和语文的I卷试题相同、分值均为160分，对理科生要加考数学II试题，文科考生要加考语文II试题分值均为40分．这样语数外三门必修科目文、理试题的总分值一样——200分+160分+120分=480分．）1．数学I试题（文理同卷）填空题部分填空题没有难度，从1至12题都平铺直叙，送分送到位，13、14题属于中档题，也容易拿分，没有难题．对照考纲和教材将14条填空题进行分析和解读如下：（附：表中的“等级”是指：江苏《考试说明》将考点要求分成A、B、C三个等级，其中C级要求最高，B 级次之、Ａ级要求最低；表中的“层次”是指：江苏教材上的习题分为三个层次即：感受·理解、思考·运用和探究·拓展）2 数学I试题（文理同卷）解答题部分对于15题，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，考纲要求分别为C、C、B，坚持了重点知识重点考查的原则，数学思想方法主要考查了转化思想题型常规，思路清晰可循，三基好的考生容易得满分．对于16题，此题是立体几何题，仍然是考察平行与垂直的证明，题目简单明了，但要注重过程，判定定理的条件必须写全，线面平行是三个条件，面面垂直是两个条件，但之前需证明线面垂直，那是五个条件．对于17、18题第一小问，比较简单，但第二小问难度加大．17题数列题的第一小问是基本量的运算，大多考生不会有问题，第二小问有一丝数论的味道，题目简洁而又精彩！18题是解析几何题，考查直线与圆的位置关系，第二小问思路其实比较清晰，因为圆1C 与圆2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等，列出等式，题目中要求“存在无数对直线”转化为“等式有无数解”即可，但是字母运算较复杂，考察考生的耐心与细心．对于19题，此题主要考查函数与基本不等式等基础知识，比较好地考查了考生对信息的接收、加工和输出等数据处理能力，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力达到有效考查综合素质的目的．考查与以往不同的是，大题的顺序有了明显的颠倒，数列难度下降了很多，放在了大题第三题的位置，而以往应用题是不会放在这个位置的，虽然难度适中，以生活中的满意度为背景，但题干中的字比较多，问题的表述较长，变量均以字母形式出现，提高了应用题的难度，这就要求考生多读几遍题目，多读几遍还是可以理解的，第⑴、⑵小题能够做出，第⑶小题有点难度；有些考生就承受不了了，所以对最后一题也有心理干扰，这也是广大考生不太适应的又一方面，从中可以看到今年的高考试卷在知识与能力考查的同时，体现了对课改新理念的创新与发展．对于20题，此题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数型结合、分类讨论的思想方法．这样的的分类讨论其实高中训练得很多了，但在考场上想得满分也并不容易．第（3）小问不要考生写过程，只要结果，需要一定的数学直觉思维，如果结合图形问题可以得到很好地解决，命题很有新意，不落浴套，具有较强的选拔功能．3．数学Ⅱ附加题（理科做）今年是执行必做、选做分卷考试新模式的第二年，附加题部分难度控制的比较适中，在全省考生慢慢接受并熟悉了这种模式后，相比去年，今年的选作题方面考点上没有任何的变动，但圆锥曲线、函数中不等关系的证明出现在该部分作为压轴考题，难度明显比去年有了很大的提升． 4 全卷综合点评 4．1 全卷综合解读2009年高考数学试题，对考试说明中的8个C 级要求的知识点和B 级要求中传统的问题都进行了有效的考查，在保持题型稳定的基础上，进行适度的改革和创新，试卷贴近教学实际，坚持能力立意，全面检测考生的数学素养，充分体现新课程的基本理念．试卷主要有以下几个方面的特点：4．1．1 多题把关，有效发挥选拔功能第17，18题第二小问，第19题、第20题的第三问有一定的难度，改变了过去一题或两题把关的习惯，在凸显文理公平基础上，命题者这样处理对不同层次考生群体更有区分度，有利于高校选拔人才．基于同样的原因，数学Ⅱ附加题（理科做）部分，两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求，相对较难，其他试题很简单．4．1．2 能力立意，旨在考察数学素养全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学思维能力和应用意识．许多试题实际上并不难，对于知识点考生很熟悉，但需要考生自主综合所学知识，才能解决问题，如第17题第二问，其实是恒成立问题．许多试题若能先想清楚问题的关键或本质，确定了合适的解题思路和方向后再动手，解答会容易的多，否则会陷入繁琐的运算之中，比如第13题，第14题．部分题目在考查基础知识点上有所创新，题目设计灵活．如数学卷第17题第（2）问，第18题第（2）问，都是对一个问题进行纵向探究，考查学生创新意识，同时要求学生掌握通性通法，淡化特殊技巧，例如第18题第（2）问，如果用几何方法解决在考场上几乎不能成功，试题的设问已将几何法排除在外，命题者的意思很明确，考察解析几何的本质——用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合和等价转化的重要数学思想4．1．3 引领课改，全面体现课程标准试卷以朴素的数学知识为载体，综合考查最基本的数学思想和方法，体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用．不少试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想和数学方法．如第20题以二次函数为载体，重点考查分类谈论、数形结合思想，其中的第三问，只要直接写出解，不需要过程，打破了长期以来人们所固有的解答题不能以图代证的模式，给平时积极主动、勇于探索的考生有发挥的空间．这也是新课改的明确要求，新课程标准明确指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳推理、空间想象、抽象概括……等思维过程”．另外，试题加强了对应用意识和创新意识的考查，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，例如第19题以生活中的满意度为背景，问题的表述较长，需要考生耐心读懂题目，但模式识别方便，同时还考查了学生将文字语言转化为数学语言的能力．4．1．4 保持稳定，凸显公平公正原则（1）整卷试题呈现：低起点、入手宽、由易到难，逐步深入、多题把关的格局，全卷结构、题型包括难度都基本稳定，依据考试说明，突出对教材基本内容的考查．填空题比较平和，不需太繁的计算，考生普遍感觉顺手．许多试题源于课本，略高于课本，如第1、2、3、4、5、7、11、15题等，都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，给人以似曾相识的感觉．最后6个解答题由易到难，涉及的知识内容基础、常规，入手容易，但深入有一定困难．附加题部分，选做题对知识点的考查单一，结论要求明确，学生入手较易．（2）通览全卷试题和答案：不见偏题怪题、人为陷阱，处处体现人文关怀、呈现关爱．如填空题14题，求6q，正常应该求q，有谬常理．细细想来，为命题者的良苦用心所折服，这是因为如果所编题目答案q是整数，学生很易猜到，失去考察知识的意义，现在所编题目。

2009年高考试题—数学理(江苏卷)解析版-推荐下载

上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，
则点 P 的坐标为 ▲ .
[解析] 考查导数的几何意义和计算能力.
y 3x2 10 2 x 2 ，又点 P 在第二象限内，
x 2 ,点 P 的坐标为（-2，15）.
10.已知 a
系为 ▲ .
5 1
，函数
2
[解析] 考查指数函数的单调性.
f
(x)

2号
7
7
02

ax ，若实数 m 、 n 满足
a 5 1 (0,1) ，函数 f (x) ax 在 R 上递减.由 f (m) f (n) 得：m<n. 2
11.已知集合 A x log2 x 2, B (, a) ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是 (c, ) ，
绝密★启用前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）.本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.

2009年江苏高考数学试卷及答案

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
解：因为所以
故曲线C的普通方程为： .
D.选修4 - 5：不等式选讲
设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
[解析]本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。
证明：
因为 ≥ ＞0,所以 ≥0，＞0，从而 ≥0，
即 ≥ .
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.
10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为_______
.
11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中 ________.
12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2．已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3．函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4．函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 12．设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β；（2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直；（4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2π3T=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ．【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10．已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ．【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4．【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12．设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β；（2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直；（4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）．【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b +=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5．【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=．（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，所以a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；（2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥．又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ．又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-．（2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a aa t++--=86t t =+-，因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ，则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤，所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②，由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--，只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立．由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--，只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-．（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．（3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。

2009年江苏省高考数学试卷及解析

2009年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009•江苏）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为_________．2．（5分）（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积= _________．3．（5分）（2009•江苏）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为_________．4．（5分）（2009•江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=_________．5．（5分）（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为_________．6．（5分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，则以上两组数据的方差中较小的一个为S=_________．7．（5分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=_________．8．（5分）（2009•江苏）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5．则第四小组的频率是_________，参加这次测试的学生是_________人．9．（5分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_________．10．（5分）（2009•江苏）已知，函数f（x）=log a x，若正实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为_________．11．（5分）（2009•江苏）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=_________．12．（5分）（2009•江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）13．（5分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_________．14．（5分）（2009•江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=_________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．16．（14分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．17．（14分）（2009•江苏）设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，s7=7（1）求数列a n的通项公式及前n项和S n；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a n中的项．18．（16分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂直的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．19．（16分）（2009•江苏）调查某农村30户居民月人均收入情况，制成如下的频数分布直方图，收入在1200～1240元的频数是_________．20．（16分）（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．数学Ⅱ（附加题）参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。

历年江苏卷数学 2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详细解答

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ▲ 。

【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。

-202.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ▲。

【解析】考查数量积的运算。

3233a b ⋅=⋅⋅=r r3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】考查利用导数判断函数的单调性。

2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

亦可填写闭区间或半开半闭区间。

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

2009年江苏高考数学试卷及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b ★ .【答案】3【解析】32332=⋅⋅=a b 。

3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数s i n ()(y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=★ . 【答案】3【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7 乙班6767911 π-23π-3π-O xy则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= ★ .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W= ★ .【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)-【解析】略10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n <【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4 【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2．已知向量a 和向量b 的夹角为30，|a |=2，|b |=3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3．函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4．函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．已知a ，函数f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−,a )，若A B ，则实数a 的取值范围是(c ,+)，其中c =▲ ． 12．设和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则平行于β；（2）若外一条直线l 与内的一条直线平行，则l 和平行；（3）设和β相交于直线l ，若内有一条直线垂直于l ，则和β垂直；（4）直线l 与垂直的充分必要条件是l 与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos ,sin )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan( +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan β=16，求证：a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当3A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x (a ,+)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2πT=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)S =++++=甲；第二组数据7x =乙，24S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ．【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x=-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10．已知a ，函数f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11．已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−,a )，若A B ，则实数a 的取值范围是(c ,+)，其中c =▲ ．【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4．【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12．设和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则平行于β；（2）若外一条直线l 与内的一条直线平行，则l 和平行；（3）设和β相交于直线l ，若内有一条直线垂直于l ，则和β垂直；（4）直线l 与垂直的充分必要条件是l 与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）．【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b+=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c +--，则点M (,)ac ab bc +，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5．【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量a =(4cos ,sin )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)，（1）若a 与b −2c 垂直，求tan( +β)的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan β=16，求证：a ∥b ．【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=．（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-， ∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为．（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，所以a ∥b ．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF 平面ABC ，BC 平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；（2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A B C ⊥面，∵A 1D 平面A 1B 1C 1，∴11BB A D ⊥．又11A D B C ⊥，BB 1B 1C =B 1，∴111A D BC C ⊥面B ．又11A D A FD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17．（本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-．（2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a a a t++--=86t =+-，因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ，则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19．（本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m ；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n ．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲，h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤，所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②，由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--，只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立．由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--，只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x (a ,+)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{201a a <≥，所以1a ≤-．（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a af a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<< 综上22min2,0()2,03a a f x aa -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．（3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <时，0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。

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