《医用高等数学》(第二版)1-4函数的连续性

高等数学
有定义
01-04-09
有极限
连续
高等数学
01-04-10
左连续(left-hand continuity) 设函数 y=f(x) 在 x0 点及其附近
有定义，若
limf
xx0
(x)
f
(x0)
则称函数 f(x) 在 x0 点左连续。
高等数学
01-04-11
右连续(right-hand continuity) 设函数 y=f(x) 在 x0 点及其附近
则称 x0 点是函数 f(x) 的间断点。有 下列三种情况：
（1）f(x) 在点 x0 没有定义；
（2）极限 lim f (x) 不存在； xx0
（3） xl ixm 0 f(x)f(x0)。
高等数学
01-04-16
第一类间断点
设 x0 点是函数 f(x) 的一个间断 点存， 在若 ，左则右称极x0限点xl为imx0第f (一x )，类xli间mx0 断f ( x点) 都， 非第一类间断点称为第二类间断点。
有定义，若
limf
xx0
(x)
f
(x0)
则称函数 f(x) 在 x0 点右连续。
高等数学
显然有
lim
xx0
f
(x)
f
(x0)
lim
xx0
f
(x)
lim xx0
f
(x)
f
(x0)
01-04-12
高等数学
01-04-13
开区间内的连续函数
若函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内的 每一点都连续，则称 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续，并称函数 f(x) 是 (a,b) 内的连续函数。
xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称函数 f(x) 在 x0 点连续，并称 x0 点是函数 f(x) 的连续点。
高等数学
01-04-08
函数在点 x0 连续的三点要求：
（1）f(x) 在点 x0 有定义；
（2）极限 lim f (x) 存在； xx0
（3） xl ixm 0 f(x)f(x0)。
高等数学
01-04-17
可去间断点 在第一类间断点中，左右极限
相等者称为可去间断点，不相等者 称为跳越间断点。
无穷间断点 若当 x x0时，f (x) ，称 x0 点
为无穷间断点。
高等数学
例 讨论函数的间断点。
f
(x)
sinx x
,x0
0 , x 0
01-04-18
高等数学
例 讨论函数的间断点。
y=f(x0+x)-f(x0) 也趋于零，即
li x m 0 y li x m 0 [f(x 0 x ) f(x 0 ) ] 0
则称函数 y=f(x) 在点 x0 连续。
高等数学
01-04-07
连续 设函数 y=f(x) 在 x0 点及其附近
有定义，如果函数 f(x) 当 xx0 时的 极限存在，且等于它在 x0 点的函数 值，即
高等数学
y
f(a)
Oa f(b)
01-04-33
y=f(x)
b
x
高等数学
01-04-34
例 证明方程 xcosx=0 在区间 (0,/2) 内有实根。
高等数学
01-04-35
小结：增量，连续（点、区间） 左连续，右连续 间断点（第一类，第二类） 连续函数的性质 初等函数的连续性 连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质
高等数学
y
M f(a)
f(b) N Oa
01-04-29
y=f(x) bx
高等数学
01-04-30
定理（介值定理）
若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连 续，且在两个端点处的函数值 f(a) 和 f(b) 不相等，则对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任何值 c，在开区间 (a,b) 内
高等数学
01-04-14
闭区间上的连续函数
若函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内连 续，且在左端点 a 右连续，在右端 点 b 左连续，则称函数 f(x) 在闭区 间 [a,b] 上连续，并称 f(x) 是 [a,b] 上 的连续函数。
高等数学
01-04-15
间断点(discontinuity points) 函数 f(x) 如果在 x0 点不连续，
01-04-19
x2 1, x 0
f
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(x)
x,
0 x 1
2 x, x 1
高等数学
01-04-20
例
讨论函数
f (x)
1 x2
的间断点。
高等数学
01-04-21
课堂讨论题 讨论函数的连续性。
（1）
x2, f (x)
0x1
2x, 1x2
（2）
f(x)1x,,
1x1 x1或x1
高等数学
01-04-22
《医用高等数学》（第二版）1-4函 数的连续性
高等数学
一、函数的连续性
01-04-02
二、函数的间断点
三、连续函数的运算
四、闭区间上连续函数的性质
高等数学
y
y y=f(x)
01-04-03
y=f(x)
O
xO
x0
x
连续(continuous) 间断(discontinuous)
高等数学
01-04-04
增量(increment) 设函数 y=f(x) 在 x0 点及其附近有定
义，自变量 x 在 x0 点有一个增量 x， 当 x 从 x0 变到 x0+ x 时，函数 y 相应地 从 f(x0) 变到 f(x0+x)，则称函数值的差 f(x0x)f(x0) 为函数 f(x) 在 x0 点对应的 增量，记为
定理（连续函数的和、差、积、商 的连续性）
如果函数 f(x) 和 g(x) 都在 x0 点 连续，则函数 f(x)g(x)，f(x)g(x) 及 f(x)/g(x) (g(x)0)在 x0 点连续。
高等数学
01-04-23
定理（复合函数的连续性）
如果函数 u=(x) 在 x0 点连续， 且 u0=(x0)，又函数 y=f(u) 在 u0 点 连续，则复合函数 y=f[(x)] 在 x0 点
作业：P19 习题一 22 23(1) 24
连续。即
x l im x 0f[(x )] f(u 0 ) f[x li m x 0 (x )]
高等数学
01-04-24
初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内都
是连续的。
一切初等函数在其定义区间内 都是连续的。
高等数学
例 证明
01-04-25
lx i m 0lo g a(x 1 x)lo g ae(a0 ,a 1 )
高等数学
01-04-26
例 证明：当 x 0 时，ex 1~ x 。
高等数学
01-04-27
课堂讨论题 求下列函数极限。
lim
xe
x
1
e
ln
x e
提示：令 xe=y
高等数学
01-04-28
定理（最大最小值定理）
若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连 续，则 f(x) 在该区间上必能取到最 大值和最小值。
至少存在一点 ，使得
f()=c (a<<b)
高等数学
y
M f(a)
c f(b)
N Oa
01-04-31
y=f(x)
bx
高等数学
01-04-32
推论（零点存在定理） 若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连
续，且 f(a) 和 f(b) 异号，则在开区间
(a,b) 内至少存在一点 ，使得
f()=0 (a<<b)
y=f(x0x)f(x0)
注 增量指改变量，可正可负。
高等数学
y
O
01-04-05
y=f(x) x
f(x0+x) y
f(x0)
x0
x0+x
x
高等数学
01-04-06
连续(continuous) 设函数 y=f(x) 在点 x0 及其附近有定
义，若当自变量 x 在点 x0 的增量 x 趋 于零时，对应的函数增量