平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元检测题

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一、 选择题（每小题5分，共60分）

1. 若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE =（ ）

A ．12b a +

B ．12b a -

C ．12

a b +

D ．12

a b -

2. 下列命题中，假命题为 （

）

A ．若0a b -=，则a b =

B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =

C ．若k ∈R ，k 0a =，则0k =或 0a =

D ．若a ，b 都是单位向量，则a b ⋅≤1恒成立

3. 设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量13()a m i j =+-，1()b i m j =+-，

()()a b a b +⊥-，则实数m 为 （

）

A ．2-

B ．2

Ｃ．12

-

Ｄ．不存在

4. 已知非零向量a b ⊥，则下列各式正确的是 （ ）

A ．a b a b +=-

B ．a b a b +=+

C ．a b a b -=-

D ．a b +=a b -

5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值为 （

）

A ．

32

B ．32

-

C ．0

D ．3

6. 在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若5OA OB ⋅=-，则S △OAB （

）

A 3

B ．

32

C ．53

D ．

532

7. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 （

）

A ．长方形

B ．平行四边形

C ．菱形

D ．梯形

8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数

的图象，则向量 是 （ ）

A ．（

33

,π-） B ．（

36

,π） C ．（

312

,π-） D ．（312

,π-

）

9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12F PF 的面积

为1时， 的值为

（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．6

10. 向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则a b ⋅的范围是 （ ）

A ．（1，+∞）

B ．（-1，1）

C ．（-1，+∞）

D ．（-∞，1）

11. O 是平面上一点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足OP OA =+()AB AC λ+，λ∈（0，+∞），则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ）

A ．内心

B ．外心

C ．重心

D ．垂心

12. 已知D 是△ABC 中AC 边上一点，且 223+，∠C =45°，∠ADB =60︒，则 = （ ） A ．2 B ．0 3Ｄ．1

二、 填空题（每小题4分，共16分）

13. △ABC 中，已知4a =，6b =，sinB = ，则∠A = 。

2sin()y x π

=-6

a 2214

x y +=1

2

PF PF ⋅AB DB ⋅A D

DC

=3

4

14. 已知M (3，4)，N (12，7)，点Q 在直线MN 上，且13||:||:QM MN =，则点Q 的坐标为 。

15. 已知|a |=8，|b |=15，|a +b |=17，则a 与b 的夹角θ为 。 16. 给出下列四个命题：

①若||||||a b a b ⋅=⋅，则a ∥b ； ②()()b c a c a b ⋅-⋅与c 不垂直；

③在△ABC 中，三边长BC 5=，AC 8=，AB 7=，则20BC CA ⋅=；

④设A(4，a )，B(b ，8)，C(a ，b )，若OABC 为平行四边形（O 为坐标原点），则

∠AOC = .

其中真命题的序号是 （请将你正确的序号都填上）。

三、 解答题（74分）

17. （本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（1-，2），向量OC OB ⊥，

BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。

18. （本小题满分12分）已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)，(0<α<π)。 （1）若7||OA OC +=

O 为坐标原点）

，求OB 与OC 的夹角； 4

π

（2）若AC BC ⊥，求tan α的值。

19. （本小题满分12分）

如图，O ，A ，B 三点不共线，2OC OA =，3OD OB =，设OA a =，OB b =。 （1）试用,a b 表示向量OE ；

（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为 L ，M ，N ，试证明L ，M ，N 三点共线。

20. （本小题满分12分）在直角坐标系中，A (1，t)，C （-2t ，2），OB OA OC =+ （O 是坐标原点），其中t ∈（0，+∞）。

⑴求四边形OABC 在第一象限部分的面积S(t)； ⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。

B

E

L M

N