人教版九年级数学上册 二次函数中考真题汇编[解析版]

人教版九年级数学上册二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x

﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝1

2

x2﹣

3

2

x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值

为4；（3）Q的坐标为（5

3

，﹣

28

9

）或（﹣

11

3

，

92

9

）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；

（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），进而根据S

＝S△PHB+S△PHC＝1

2

PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；

（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．

【详解】

解：（1）对于直线y＝1

2

x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

令y＝0，即1

2

x﹣2＝0，解得：x＝4，

故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C的坐标代入上式并解得：a＝1

2

，

故抛物线的表达式为y＝

1

2

x2

﹣

3

2

x﹣2①；

（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，

设点P（x，

1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），则点H（x，

1

2

x﹣2），

S＝S△PHB+S△PHC＝

1

2

PH•（x B﹣x C）＝

1

2

×4×（

1

2

x﹣2﹣

1

2

x2+

3

2

x+2）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；

（3）①当点Q在BC下方时，如图2，

延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，

则点C是RQ的中点，

在△BOC中，tan∠OBC＝

OC

OB

＝

1

2

＝tan∠ROC＝

RC

BC

，

则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22

(2)

x x

5＝BQ，

在△QRB中，S△RQB＝

1

2

×QR•BC＝

1

2

BR•QK，即

1

2

2x•2x＝

1

2

5，

解得：KQ

5

∴sin∠RBQ＝

KQ

BQ

5

5x

＝

4

5

，则tanRBH＝

4

3

，

在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×

43＝163，则点H （0，﹣16

3

）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4

3

（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53

， 当x ＝

53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，

同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929

）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929

）． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．

2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：

（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】

（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；

（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；

（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．