实对称矩阵与实二次型
第五章对称矩阵与二次型-
解：f
的矩阵为
A
1 2
2 2
0 2
0 2 3
返回 上一页 下一页
1 2 0 AE2 2 2 (1 )(2)(5), 1 ,2,5
0 2 3
1 1时， 2
A1E2
0
2 3 2
0 1 2~0 4 0
0 1 0
022，
x1 x2
2x3 2x3
令 x3
1
，则
x1 x2
2 2
，
1
2
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
返回
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当 3 7时，解方程组A7Ex0，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
2
8 2 2 2 4 2 5 4 0 9
4 5 x3 0
5 2 9 0
4 1
5 2 1 0
0 1
1 1 1 0
例如，二次型 f x 1 2 x 2 2 x 4 2 2 x 2 x 3 x 2 x 4 的
1 0 0 0
矩阵
A
0
0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
。
返回 上一页 下一页
定义2：f k 1y 1 2 k2y2 2 knyn 2称为二次型 的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负)
系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。
f x1,x2,x3 =x122x1x2 2x1x34x224x328x2x3
=x122x1 x2 x3 4x224x328x2x3
对称矩阵与二次型_OK
f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2021/9/4
2
a11 a12
故“二记次型与一x个1,对x称2 ,矩阵, x一n，一则aa对2n11应”aa。n222，
化为标准形，并指出 f x1, x2 , x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵
A
1
5
3, r A 2,
由于
3 3 3
5 1 3
A E 1 5 3 4 9
3 3 3
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12
故矩阵A的特征值为1 0, 2 4, 3 9 ，各特征值
a1n x1 a2n x2
ann xn
例如，二次型
的
A (aij )nn , x x1, x2, , xn T
f xT Ax
矩阵
。
f x12 x22 x42 2x2 x3 x2 x4
1 0 0 0
A
0 0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
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30
例5.7 若 f = x12 2x22 x32 2x1x2 2tx1 x3为正定二次型，
则t应满足什么条件？
解：二次型f的矩阵为
由于
1 A 1t
a11 1,
1 t
2 0
10 ,
11 A1 2
t0
a11
a12
1
1 1,
a21 a22 1 2
t 0 1 2t2 1
3-2 实对称矩阵与实二次型
1 2 0 1 2
0 0 1 1 0 0
1 0 0
0 0. 1
注 将 ， 正交化得 , , 再将 , ， 单位化， 1 2 1 2 1 2 3
可得正交阵 Q, 而由A QQ T 算出A，结果是一样的 .
2. 实二次型及其矩阵、矩阵的相合
1 0 1
1 0 1
3 1 0
5 2 1 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1 2 1 0
0 r1 1 r2 2 0 c2 c1 1 2 1
0 r1 r2 r1 ,r3 5 2 0 5 c2 c1 ,c3 c1 2 1
1 2 1 2 0 1 3 1 1 3 1 6 1 , 6 2 6
作正交变换 x Qy, Q
3
f化为标准形
2 2 2 f 4 y1 4 y2 2 y3 .
例五
4.用坐标变换化简实二次型
避免求特征值和特征向量，利用初等变换求标准形。
2
推论3.8a 任一n阶实对称矩阵A的每个ni重特征值一定有ni个线 性无关的特征向量，从而（由Schmidt方法）一定有ni个标准正 交的特征向量（总共有n个标准正交的特征向量）.
例1
3 将 A 1 2
1 3 2
2 2 正交相似对角化。 0
1 1 0 1 1 1
x1
x2
a11 a x n 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n x1 x a2n 2 a nn x n
3.2 实对称矩阵与实二次型
一、 实对称矩阵的特征值与特征向量
定理3.6: 实对称矩阵的特征值一定是实数。 实对称矩阵的特征值一定是实数。 定理
为其任一特征值， λ 证明： 实对称， 证明：设A实对称， = a + bi为其任一特征值， 对应的特征 向量为 α + iβ ,
于是有 A(α + iβ ) = ( a + bi )(α + iβ ) 展开， 展开， Aα = aα − bβ , Aβ = bα + a β
2 + a n1 x1 x n + a n 2 x 2 x n + a n 3 x 3 x n + L + a nn x n
+ LL
= x1 ( a11 x + a12 x 2 + a13 x 3 + L + a1 n x n )
+ x 2 ( a 21 x1 + a 22 x + a 23 x 3 + L + a 2 n x n )
= ( x1 ,
x2 , L,
a11 a 12 = ( x1 x2 L xn ) a1n
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 为实数） M （其中 a ij 为实数） L L a2 n L ann xn
个标准正交的特征向量。 注:求正交矩阵 Q 的关键是求矩阵 的n个标准正交的特征向量。 求正交矩阵 的关键是求矩阵A的 个标准正交的特征向量
具体步骤) 实对称矩阵对角化的实现: 具体步骤 实对称矩阵对角化的实现: (具体步骤 1）求出 A 的全部特征值 ） 的全部特征值; 2）对于每一个λi ，求出其对应的线性无关的特征向量 ） 求出其对应的线性无关的特征向量, 从而得出矩阵 A 的 n 个线性无关的 特征向量η 1 , η 2 ,..., η n . 均为单根时， 3) 当 λ i 均为单根时，将
线性代数13.实对称矩阵对角化、二次型
AQ
.
1 2
1 2
0
解 1.计算特征值 由 E A 0容易求得A的3个特征值分别为1, - 1，- 1 22
1
2.计算特征向量. 特征值 1对应的一个特征向量为：p1 1，
1
1
特征值
1 2
对应的两个线性无关特征向量为：p2
1
,
3.对特征向量进行正交化处理.
0
1
p3
0
.
1
0,1, 2.
0 0 1
对于 0， 求解特征方程组0E A x 0，
1
得通解：x
k1
1
0
对于 1， 求解特征方程组1E A x 0，
0
得通解：x
k2
0
1
1
对于 2， 求解特征方程组2E A x 0，
得通解：x
k3
1
0
1
0
1
取
p1
1，p2 0
0
，
1
5.3实对称矩阵的正交相似对角化
5.3.1实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵有如下重要结论：
定理5.3.1 实对称矩阵的特征值全是实数.
定理5.3.2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.
证： 设1, 2为A的两个不同特征值，
p1, p2分别为1, 2对应的特征向量，下面证明p1, p2正交.
解:
2 1 1
二次型的矩阵为A
1
2
1
1 1 2
得A的特征值: 1,1, 4
2 1 1 fA () | E A | 1 2 1 ( 1)2 ( 4)
1 1 2
对于 1， 求解特征方程组1E A x 0，
3.2 实对称矩阵与实二次型
两式相减， 并注意到 T A T A为一个数量， 有 b( T T 为实数。
定理3.7 : 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 9 ) , 对应的特征向量依次为 1 2 3
又 (1,1,3)T ,
(1)将 用1 , 2 , 3线性表示; （2）求An
( n N ).
ex4 : 设三阶矩阵 A的特征值为 1， 2,3, 求下列矩阵B的特征值：
( 1 )B A2 2 A I ,
1 2 ( 2) B A , 3
1
( 3) B A*
例5：已知1, 1 , -1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，
1 (1,1,1)T , 2 (2, 2,1)T 是A的对应于1 2 1 的特征向量，
1 , 2的特征向量, 证明: 设A实对称矩阵, 1 , 2为属于不同特征值
于是 A1 11 , A 2 2 2 ,
2 A 1 1 2 1 ,
T T
1 A 2 2 1 2 ,
T T
T T T T T T T 2 A 1 ( 2 A 1 )T 1 A 2 1 A 2 , 1 2 2 1 ,
2
n
例1设
0 1 2 A 2 2 2 0 2 3
100 1 (2) A Q AQ 为对角阵 . (1）求正交矩阵 Q 使得
解：
1 2 ( 1 ) I A 2 2
0 2
第5章二次型
第五章 1二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++ ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 12(,,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。
第二章 2二、线性变换1 定义： 关系式11111221221122221122n n n n n n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩称为由变量12,,n x x x 到变量12,,n y y y 的一个线性变量替换，简称线性变换。
矩阵111212122212n n n n nn c c c c cc C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为线性变换的矩阵。
记 12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy =若0C ≠，称线性变换为非退化的，否则，称为退化的。
实对称矩阵与二次型
实对称矩阵与二次型课后习题详解 习题8.11 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为:(1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭(3) 114141411⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (4) 222254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭(5) 324262423-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(6) 744490405-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(7) 0041001441001400⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ (8) 1333313333133331---⎛⎫⎪--- ⎪⎪--- ⎪---⎝⎭解: (1) 221||43(1)(3)12E A λλλλλλλ---==-+=----所以 121,3λλ==11λ=代入 ()0E A X λ-= ,12120|0x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)Tα=-,标准正交化为:11,1)T η=- 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,121200x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 2(1,1)Tα=,标准正交化为:2T η=取Q ⎛= ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 2724||625(25)(25)247E A λλλλλλ---==-=+--+所以 1225,25λλ==-125λ=代入 ()0E A X λ-= ,12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 14(,1)3Tα=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355T Tη==225λ=-代入 ()0E A X λ-= ,12123224024180x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 23(,1)4Tα=-,标准正交化为:24334(,1)(,)5455T Tη=-=-取43553455Q ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,250025TQ AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (3) 11401(1)(4)41||141141411141614E A λλλλλλλλλλ----+----+-=---=--------+-+2325336954(6)(3)(3)4153λλλλλλλλλλλ-+--==--+=--+-++所以 1236,3,3λλλ===-16λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312312354020450x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 1(1,1,1)T α=,标准正交化为:1Tη= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,1231231232400420x x x x x x x x x --=⎧⎪---=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 2(1,2,1)T α=-,标准正交化为:2Tη= 33λ=-代入 ()0E A X λ-= ,12312312344070440x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得基础解系, 3(1,0,1)T α=-,标准正交化为:2(Tη=取0Q ⎫⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭,633TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(4) 222222||254011245245E A λλλλλλλλ-----=--=---- 22242401(1)(1)(1110)29249λλλλλλλλλ---=-=-=--+--(1)(1)(10)λλλ=---所以 1231,10λλλ===121λλ==代入 ()0E A X λ-= ,123123123122024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得基础解系, 12(2,1,0),(2,0,1)T T αα=-=, 正交为:****21121**112522(,)44(2,1,0),(2,0,1)01(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 标准化12254(,351513Tηη⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭310λ=代入 ()0E A X λ-= ,123123123822025402450x x x x x x x x x -+=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=--,标准正交化为:3122(,,)333T η=--取115321532033Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭,1110T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(5)(3)(6)024(3)3242||26226242302147E A λλλλλλλλλλ----+----=--=-------2(3)(6)024(3)2262[57](7)2147λλλλλλλλλ----+---=-+---(7)(7)(2)λλλ=--+所以 1237,2λλλ===-127λλ==代入 ()0E A X λ-= ,12312312342402204240x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 12(1,2,0),(1,0,1)T T αα=-=, 正交为:****21121**114511(,)12(1,2,0),(1,0,1)02(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 标准化1241552,351513Tηη⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32λ=-代入 ()0E A X λ-= ,123123123524028204250x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--=⎨⎪---=⎩得基础解系, 2(2,1,2)T α=--,标准正交化为:3212(,,)333Tη=--取215311532033Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,772TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(6) 744744||49049040514(5)(7)504E A λλλλλλλλλ-----=--=-------3224942111191(1)(7)(13)14(1235)54λλλλλλλλλλ--==-+-=-----+-所以 1231,7,13λλλ===11λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312136440480440x x x x x x x --+=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩得基础解系, 1(2,1,2)T α=-,标准正交化为:1212(,,)333T η=-27λ=代入 ()0E A X λ-= ,123123123044042004020x x x x x x x x x -+=⎧⎪---=⎨⎪-+=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=-,标准正交化为:2122(,,)333Tη=- 313λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312136440440480x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩得基础解系, 3(2,2,1)T α=--,标准正交化为:2221(,,)333T η=--取212333122333221333Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1713T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (7)041014||410140EBE A BE λλλλλλλ-----==----121E B EO OB BE B E B B E λλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以12342121(1)EBO BB B B BEB B Eλλλλλ+++--==---2242224411515153422544441515λλλλλλ---=⋅=-+-- 22(25)(9)λλ=--所以 12335,3,5,3λλλλ===-=-.15λ=代入 ()0E A X λ-= ,134134123124540540450450x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩得基础解系, 1(1,1,1,1)T α=,标准正交化为:11111(,,,)2222Tη= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,134134123124340340430430x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩得基础解系, 2(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:21111(,,,)2222T η=--35λ=-代入 ()0E A X λ-= ,134134123124540540450450x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩得基础解系, 3(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:31111(,,,)2222T η=--13λ=-代入 ()0E A X λ-= ,134134123124340340430430x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩得基础解系, 1(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:11111(,,,)2222T η=--取11112222111122221111222211112222Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,5353TQ AQ ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. (8) 13333133||33133331E A λλλλλ+-+--=-+-+1333133331330443313004433313331λλλλλλλλλλ+-+-+-+--=-+++-+-+1336136044(4)0440043323332λλλλλλλλλλ+-++--==++--+---- 22139(4)04(4)[432]335λλλλλλλ+=++=+----3(4)[8]λλ=+-所以 12344,8λλλλ===-=.4λ=-代入 ()0E A X λ-= ,123412341234123433330333303333033330x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩得基础解系, 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)T T T ααα==-=,标准正交化为:12,(,T Tηη==-3T η=8λ=代入 ()0E A X λ-= ,123412341234123493330393303393033390x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨-+++=⎪⎪-++=⎩得基础解系, 2(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:21111(,,,)2222Tη=--, 取121002 10212Q ⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎭4448T Q AQ -⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭. 2.设,A B 是n 阶实对称矩阵,且.E A E B λλ-=- (1) 证明:存在正交矩阵Q ,使得T B Q AQ =.(2) 设 2332A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 13B ⎛=⎪⎭, 求正交矩阵Q ,使得T B Q AQ =. (1) 证明: 因为,A B 是n 阶实对称矩阵,且特征多项式相同,所以,有完全相同的特征值, 且存在正交矩阵12,Q Q ,使得: 1122,T TQ AQ Q BQ =Λ=Λ 所以1122T T Q AQ Q BQ =.从而有111121121212()()T T T B Q Q AQ Q Q Q AQ Q ----== 取112Q Q Q -=⋅是满足条件的正交矩阵.(2) 解: ,A B 有相同的特征值，特制值为：5，-1 对于2332A ⎛⎫=⎪⎝⎭， 5λ=代入()0E A X λ-=得： 1212330330x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系：1(1,1)α=,标准正交化为:1Tη=, 1λ=-代入()0E A X λ-=得：1212330330x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系：1(1,1)α=-,标准正交化为:2Tη=取1Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭有1151T Q AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭对于13B ⎛=⎪⎭， 5λ=代入()0E A X λ-=得：12124040x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得基础解系：1,1)2T α=,标准正交化为:1(,333T Tη==, 1λ=-代入()0E A X λ-=得：12122020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得基础解系：1()α=,标准正交化为:2T η=取1333333Q⎛⎫⎛⎫-⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有1151TQ AQ⎛⎫= ⎪-⎝⎭由（1）11212111133TQ Q Q Q Q-⎛⎫⎪⎛⎪⎪=⋅===⎪⎪⎭-⎪⎝⎭.3. 设三阶实对称矩阵A的特征值为12311,1,(0,1,1)λλλε=-===是属于1λ的一个特征向量, 求(1) 对应于1的特征向量; (2) 矩阵A解：（1）对应于1的特征向量刚好是和1(0,1,1)ε=正交的向量的全体也就是方程组23x x+=的解得全体，该方程组的基础解系为：23(1,0,0),(0,1,1)T Tεε==-，所以对应于1的全部特征向量为：(1,0,0)(0,1,1),,T Tk l k l+-不全为零.（2）1(0,1,1)ε=标准正交化为1η=12(1,0,0),(0,1,1)T Tαα==-标准正交化为23(1,0,0),(0,T Tηη==取010Q⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭有111TQ AQ-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭1111()1111T TA Q Q Q Q----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0101100011000011010⎛⎫⎛⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎪⎭4.设A是三阶实对称对合矩阵,若()2r A E+=.求A的相似对角形,并求2A E+. 解: 因为三阶实对称对合矩阵A满足:2TA E A A==且,所以T A A E=,即A也是正交矩阵.()2r A E+=说明||0A E+=说明1-是A的一个特征值,而且特征子空间的维数是1维的. 所以1-是单特征根.又A实对称,其特征值均为实数且必定可以对角化, A也是正交矩阵,其特征值只能是1±, 所以其余两个特征值是1(二重根), A的相似对角形为111⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭故2A E+的特征值为3,3,1,且2A E+对称矩阵,相似于331⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭32391A E+==5. 设三阶实矩阵A有三个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.证明: 三阶实矩阵A有三个互相正交的特征向量,故A可以对角化,将这三个向量单位化,得一组由特征向量组成的标准正交基123,,ηηη,取123(,,)Qηηη=,则有1TQ AQ Q AQ-==Λ, Λ是对角线元素是A的特征值组成的对角阵所以11()TA Q Q--=Λ是对称矩阵.6. 证A是n阶投影矩阵,n Rβ∈,令ˆˆ,Aββγββ==-.证明:(1 ) ˆ;γβ⊥(2) ˆβ等于β在()R A上的正交投影.(3) A 正交相似于r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()r r A =. 证明: (1) A 是n 阶投影矩阵,所以2T A A A A ==且ˆ(,)(,)(,)(,)()T T A A A A A A A A γββββββββββββ=-=-=- 20T T T T T A A A A A ββββββββ=-=-=,所以 ˆ;γβ⊥ (2)显然ˆβ()R A ∈,12(,,,)n A ααα=将A 按列分块,1122ˆˆ()()0T T T T T T T T T n n A A A A ααααγββββββαα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,()i R A γαγ⊥∴⊥,因此ˆβ等于β在()R A 上的正交投影. (3) 2T A A A A ==且,所以其特征值只能是 10或,实对称矩阵都可以存在正交矩阵Q 使1T Q AQ Q AQ -=化为对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭属于1的特征向量的个数为()r r E =,属于0的特征向量的个数为n r -,所以A 正交相似于rEO OO ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()r r A =.习题8.21 .写出下列二次型的矩阵:(1) 22123231223(,,)224f x x x x x x x x x =++-(2) 222123412313142334(,,,)24282f x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+-.解: (1) 010122021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 1021024024111013A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2. 写出下列矩阵对应的二次型：(1) 210112023A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(2) 5131171031811012A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭解: (1) 2221231231223(,,)2324f x x x x x x x x x x =++-+(2)2222123412321213142334(,,,)578426222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-++-++. 3．用正交替换法化下列二次型为标准形： (1) 22112269x x x x -+解: (1) 对应的对称矩阵为1339A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭特征多项式21310(10)39λλλλλλ-=-=--A 的特征值为1210,0λλ==110λ=代入()0E A X λ-=121293030x x x x +=⎧⎨+=⎩的基础解系: 11(,1)3T α=-,单位化得:11,1)(3T Tη=-= 20λ=代入()0E A X λ-=121230390x x x x -+=⎧⎨-=⎩的基础解系: 2(3,1)T α=,单位化得:2T Tη==取,Q X AY ⎛== ⎝有2110f y =(2)122322x x x x -对应的对称矩阵为010101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭特征多项式310112(01λλλλλλλλ--=-=+-A的特征值为1230λλλ===1λ=代入()0E A X λ-=1212323000x x x x ⎧-=⎪⎪-++=⎨⎪+=⎪⎩的基础解系:1(1,T α=-,单位化得:1111(1,(,)222T Tη=-=-2λ=代入()0E A X λ-=1212323000x x x x ⎧-=⎪⎪--+=⎨⎪-=⎪⎩的基础解系:2(1T α=-,单位化得:2111((,)2222T Tη=-=- 30λ=代入()0E A X λ-=2132000x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩的基础解系: 3(1,0,1)T α=,单位化得:3T Tη==取11220,1122Q X AY ⎛--⎪== ⎪ ⎪ ⎝有2212f =(3) 2221231213232444x x x x x x x x x ++-++对应的对称矩阵为222212221A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭特征多项式23222222212011221221R R λλλλλλλ+-----++----3222242401(1)(1)(52)23223l l λλλλλλλλλ+----+=+=+-+----55(1)(22λλλ+=+-- A的特征值为12355,,122λλλ+-=== 152λ+=代入()0E A X λ-=得123123123122023220232202x x x x x x x x x ⎧++-=⎪⎪⎪+⎪++=⎨⎪⎪+-++=⎪⎪⎩的基础解系:11,1)T α=-,单位化得:11(,1,1)4T η-=-252λ-=代入()0E A X λ-=得123123123122023220232202x x x x x x x x x ⎧-+-=⎪⎪⎪-⎪++=⎨⎪⎪--++=⎪⎪⎩的基础解系:21,1)T α=-,单位化得:21(1,1)4T η-=- 31λ=-代入()0E A X λ-=123123123322022202220x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩的基础解系: 3(0,1,1)T α=,单位化得:3T η=取()123,,,Q X QY ηηη==有2221235522f y y y +-=--(4) 22221234121314232434264462x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+--+-对应的对称矩阵为1132112332112311A --⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭特征多项式2311321123(1)(7)(1)(3)32112311R R λλλλλλλλ+------+-----所以,12341,7,1,3λλλλ===-=-,分别代入()0E A X λ-=求得的特征向量并标准化得:12341111222211112222,,,1111222211112222ηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭取()1234,,,,Q X QY ηηηη==有2222123473f y y y y =+--4． 已知二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++通过正交替换化为标准形22212325,y y y ++求a 的值和所做的正交替换矩阵.解: 由已知条件,有二次型的特征值分别为1231,2,5λλλ===,所以二次型的对应对称矩阵2000303A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式为21232(9)10A a λλλ=-=⋅⋅=从而24,2a a =∴=±2a =时22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++对应对称矩阵200032023A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,11λ=代入()0E A X λ-=:123230220220x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩基础解系: 1(0,1,1)T α=,单位化得:1T η=22λ=代入()0E A X λ-=:123232300002020x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩基础解系: 2(1,0,0)T α=,单位化得: 2(1,0,0)T η=35λ=代入()0E A X λ-=:12323233000220220x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩基础解系:3(0,1,1)T α=-,单位化得: 3(0,T η=取0100,Q X AY⎪⎪==⎪⎪⎭有22212325f y y y=++2a=-时22212312323(,,)2334f x x x x x x x x=+++对应对称矩阵200032023A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,11λ=代入()0E A Xλ-=:12323220220xx xx x-+=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩基础解系:1(0,1,1)Tα=-,单位化得:11,1)Tη=-22λ=代入()0E A Xλ-=:123232300002020x x xx xx x++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩基础解系:2(1,0,0)Tα=,单位化得:2(1,0,0)Tη=35λ=代入()0E A Xλ-=:12323233000220220x x xx xx x++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩基础解系:3(0,1,1)Tα=,单位化得:3Tη=取0100,Q X AY⎪⎪==⎝有22212325f y y y=++5 已知二次型123(,,)f x x x经正交替换化为222123y y y+-，且二次型矩阵对应11λ=的线性无关向量为12(2,1,0),(0,1,1)T Tαα==，求二次型123(,,)f x x x解: 123(,,)f x x x经正交替换化为222123y y y+-,所以特征值为1,1,-1属于1-的特征向量3123(,,)Tk k kα=与12(2,1,0),(0,1,1)T Tαα==正交,故为方程组12312320000k k kk k k++=⎧⎨++=⎩的解:31(,1,1)2Tα=-,单位化:321122(,1,1)(,,)32333T Tη=-=-将12,αα正交化:****211221**11(,)124 (2,1,0),(0,1,1)(2,1,0)(,,1)(,)555T T T Tαηηηαηηη==-=-=-单位化: 1224,,,1)55T Tηη==-取1312,13123TQ Q AQ⎫⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭131121131121223333TA Q Q⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭131121131121223333TA Q Q⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭744999418999481999⎛⎫-⎪⎪⎪=⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭,所以222 1231121322337881161 (,,)999999f x x x x x x x x x x x x=+-+++6. 设A是n阶实对称矩阵，12,,,nλλλ是A的全部特征值，且12nλλλ≤≤≤，证明：对任意n Rα∈有1T T TnAλααααλαα≤≤证明: 因为A是n阶实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q使得12TnQ AQλλλ⎛⎫⎪⎪==Λ⎪⎪⎝⎭对任意nRα∈有11()T T T T TA Q Q Q Qαααααα--=Λ=Λ,记12(,,)T TnQ b b bα=,则2222221122112() T Tn n n Q Q b b b b b b ααλλλλΛ=+++≥+++222222112212()n n n nb b b b b bλλλλ+++≤+++22212()()T T T T T T n b b b Q Q QQ αααααα+++===所以 1T T TnA λααααλαα≤≤7．设A 是n 阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c ，使对任意n R α∈，都有||T T A c αααα≤证明: 由上题,取正实数c 大于A 的所有特征值的绝对值即可.习题8.31 . 用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所有结论: (1)121323422x x x x x x -++解: 做非退化线性替换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩2212132312123123422442()2()x x x x x x y y y y y y y y -++=-++++-222222121311333214444()44y y y y y y y y y y =-++=--+++ 222133214()44y y y y =--++做非退化线性替换113113222233331144z y y y z z z y y z z y y z⎧⎧=-=+⎪⎪⎪⎪=→=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩有22212132312342244f x x x x x x z z z =-++=-++验证:021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵21104010001C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1212()11101011002111044010110201110010001001110001001T TT C C AC C ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭400040001-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(2)22121213233226x x x x x x x x --+-解: 配方22121213233226x x x x x x x x --+-2222112323232232()()()36x x x x x x x x x x x =--+-----22221232233223()236x x x x x x x x x x =-+-+--- 2221232233()44x x x x x x x =-+---2212323()(2)x x x x x =-+-+作非退化线性替换112311232232233333132212()2x y y y y x x x y x x x y y y x x y ⎧=+-⎪=-+⎧⎪⎪⎪=+→=-⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩有222212121323123226f x x x x x x x x y y =--+-=-验证:021201110A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵21104010001C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1212()11101011002111044010110201110010001001110001001T TTC C AC C ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭400040001-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(3)121314232434x x x x x x x x x x x x +++++解: 做非退化线性替换1122123344x y y x y y x y x y =+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩121314232434x x x x x x x x x x x x +++++221212312412312434()()()()y y y y y y y x y y y y y y y y -+++++-+-+221213143422y y y y y y y y =-+++2222113434342342()()()y y y y y y y y y y y =++++-+-+ 222213423344()y y y y y y y y =++----2222213423344413()()44y y y y y y y y y =++---+-2222134234413()()24y y y y y y y =++----作非退化线性替换1134113422223343344444321122z y y y y z z z z y y z z y y y z zz y y z ⎧=++=--⎧⎪⎪⎪=⎪=⎪⎪→⎨⎨=-⎪⎪=+⎪⎪=⎪⎪⎩=⎩ 有2222121314232434123432f x x x x x x x x x x x x z z z z =+++++=---验证:1110222111022211102221110222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为 11100110000100001C ⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵2310120100100140001C ⎛⎫-- ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭123111310121100231100111010020010100110014400100010001C C C =⎛⎫--⎛⎫--⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪---- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭111303111111222221110331111112222211101100100122244111000010001222TT C AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10000100001030002⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(4) 22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++配方22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++22212342334()22x x x x x x x x =+++++22222123233424244()22()()x x x x x x x x x x x x =++++++-++222212324244()()()x x x x x x x x =++++-++作非退化线性替换112113423243233242344444y x x x y y y y x x x x y y y x x x y y y x x y =+=-+⎧⎧⎪⎪=++=-⎪⎪→⎨⎨=+=-⎪⎪⎪⎪==⎩⎩22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++的标准形为 22221234y y y y =+-+矩阵验证类似上题.2. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并利用矩阵验算所得结论: (1) 122211n n n n x x x x x x -++++(2) 211ni i j i i j nx x x =≤<≤+∑∑3. 设二次型21211221(,,)()sn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑,证明:12(,,)n f x x x 的秩等于如下矩阵A 的秩,其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭证明:12112211221(,,)()()sn i i in n i i in n i f x x x a x a x a x a x a x a x ==++++++∑11221212121(,,)[(,,,)(,,,)]i si n n i i in i in n a x a x f x x x x x x a a a a x =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 121211()(,,,)s sT T T T T T TT i i i i s i i s A A X A A X X A A X X A A A X A ==⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑T T X A AX =所以,二次型的对称矩阵为T A A ,而()()TR A R A A =,得证.4. 2121(,,)()nn i i f x x x x x ==-∑的秩和正负惯性指数, 其中121()n x x x x n=++解: 由上题,二次型的矩阵为T A A ,故为半正定矩阵,其中,111111111n n n n n A nn nn nnn -⎛⎫--⎪ ⎪- ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 半正定二次型的秩和正惯性指数相同,均为()()1T R A R A A n ==-.5. 证明: 一个二次型可以分解为两个齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.证明: :⇒根据题意,二次型 1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++如果1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b 线性相关, 此时不妨设1212(,,,)(,,,)n n a a a k b b b =根据题意,这两个向量均不可能是0向量. 不妨设10b ≠作非退化线性替换1112222n nn ny b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩二次型化为 2121(,,,)n f x x x ky = (0)k ≠ 此时二次型的秩是1如果1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b 线性无关关, 此时不妨设12120a a b b ≠作非退化线性替换111222112233n nn nn ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩此时二次型化为1212(,,,)n f x x x y y =再作非退化线性替换11221233n ny z z y z z y x y x =-⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩此时二次型化为221212(,,,)n f x x x z z =-所以二次型的秩是2,符号差是0.:⇐二次型的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.所以二次型可以经过非退化线性替换1111122111111221221122222211222211221122n nn nn nn nn n n nn n n n n nn nx c y c y c y y b x b x b x x c y c y c y y b x b x b x x c y c y c y y b x b x b x =+++=+++⎧⎧⎪⎪=+++=+++⎪⎪→⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+++=+++⎩⎩化为221212(,,,)n f x x x y y =-或者2121(,,,)n f x x x y =结论得证.6. 如果把n 实对称矩阵按合同分类,可分为几类?解: 把n 实对称矩阵按合同分类,即看其规范形有多少个即可.而规范形由二次型的秩r 和正惯性指数p 确定0=0r p =，共1类1,=01r p =， 共2类 2,=012r p =，， 共3类,=012,,r n p n =，， 共1n +类所以加起来共有(1)(2)2n n ++类7. 证明: 秩为r 的实对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 证明: 设,()T n n A A R r A r ⨯=∈=则存在可逆矩阵C 使得11110[]00rT TT T rr rr E A C C C E E C C E C C E C ⎛⎫==+=++⎪⎝⎭其中, ii E 是只有第i 行i 列的元素为1, 其余元素都是0的n 阶矩阵.显然, (1,2,,)T ii C E Ci n =是秩是1的对称矩阵.习题8.41 求判断下列二次型是否正定：(1) 222123112132233()9912481306071f x x x x x x x x x x x x ++=-++-+；(2）222123112132233()10824228f x x x x x x x x x x x x ++=+++-+. 解:(1) 对应的对称矩阵为99624613030243071A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,而显然其1阶和2阶顺序主子式均大于零.99130712303024130242490996671A =⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯ 918090863468317440=-=>,故正定.(2) 对应矩阵为10412421412141A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭存在主子式2142540141-=-<-,所以不正定.(或计算0A <,即3阶顺序主子式小于0)2. t 取什么值时,下列二次型是正定的:(1) 2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+ (2) 22212312132342106x x x tx x x x x x +++++ 解: 对应矩阵为1112125t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,顺序主子式均大于0,即2110,111t t t t =->∴-<<21112540,125tA t t t -==-->- 综合上述条件知: 405t -<<(2) 对应矩阵为1543531t A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,顺序主子式均大于0,即2140,224t t t t=->∴-<<2154330105531t A tt t ==-+-,两个不等式联合起来无解.所以, 无论t 取什么值时二次型都不会正定.3. 如果,A B 都是n 阶正定矩阵,那么A B +也是正定矩阵. 证明:对于 0()0T T T X X A B X X AX X BX ∀≠+=+>结论成立.4. 设A 是正定矩阵, 整数1,k >证明: (1) kA 也是正定矩阵;(2) 存在正定矩阵B 使得kA B =证明: (1) A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q 使得11221T n n A Q Q Q Q λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(1,2,)i i n λ>=, 此时211211kk kk k n n A Q Q Q Q λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭特征值都大于零,所以kA 正定 (2) 在(1)中, 存在正交矩阵Q 使得11221T n n A Q Q Q Q λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取T B Q Q ⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎝即可. 5. 设A 是n 阶正定矩阵,证明存在一个上三角矩阵R ,使得TA R R =. 证明: A 是n 阶正定矩阵,故存在可逆矩阵C ,TA C C =,对于C 有QR 分解C QR =,其中Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵,这时:()()T T T T T A C C QR QR R Q QR R R ====6. 设A 是实对称矩阵, 证明当t 充分大之后, tE A + 是正定矩阵. 证明: A 是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q 使得12T n A Q Q λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1122T T n n t ttE Q Q Q Q t λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1T Q Q -=，所以，当12max{,,}n t λλλ>时tE A +的特征值全大于0，故正定.7. 设()ij A a =是n 正定矩阵, 证明: (1) n 元二次型 12(,,,)0n TA Y f y y y Y =其中12(,,,)T n Y y y y =,是负定二次型;(2) 1,nn n A a A -≤这里1||n A -是A 的1n -阶顺序主子式;(3) 1122.nn A a a a ≤证明：(1) 因为1110010001T TT EA Y A E A Y Y A Y Y A Y ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式1000TT A Y A YY A Y-=-所以 1112(,,,)()0T T n TA Y f y y y A Y A Y Y A A Y Y --==-=-所以负定.(2) 将A 分块，利用12(,,,)0n TA Y f y y y Y =负定，11111000n n n n nn n TTTTnnnnnnA A A A A a A a a a ββββββ-----==+≤=(3) 11121122nn n nn n n n nn A a A a a A a a a ----≤≤≤≤8. 设A 是n 阶正定矩阵, β是n 维向量, c 是常数, .T A D c ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明二次函数()2TTp x X AX Xc β=-+在处有最小值,且其最小值1min .T D p A c Aββ-=-+=证明： 因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在正交矩阵Q 使得12,0T T i n A Q Q Q Q λλλλ⎛⎫⎪⎪==Λ> ⎪ ⎪⎝⎭作线性替换X QY =，令***12(,,,)T n Q b b b β=有()2T T T p X Y Y Y Q c β=Λ-+22**111122n n n n y y b y b y c λλ=+--+**2**222111111()()()()nn n n nnb b b b y yc λλλλλλ=-+-+---求驻点后知：***1121212(,,,)(,,,)T T nn nb b b y y y Q βλλλ-==Λ时，也就是11T X QY Q Q A ββ--==Λ=处最小，代入()2T T p X X AX X c β=-+得111()()2()T T p X A AA A c ββββ---=-+111()2()()TTTTTTDA A c c A Aββββββ---=-+=-=9. 设A 是n 阶实对称矩阵,且0,A <证明:必存在n 维向量0α≠,使0T A αα<.证明： A 是n 阶实对称矩阵,且0,A <说明A 不是半正定矩阵，所以存在非退化线性替换X CY =使得222211()p p r f X y y y y +=++---且0r p ->取012(,,,)(0,0,,0,1,00)Tn Y y y y ==其中第1p +个分量为1，其余是0，此时取0CY α=，显然0α≠,且0TA αα<.10. 设二次型()Tf X X AX =,有n 维向量,αβ使0,0.T T A A ααββ><证明: 必存在n 维向量0,γ≠使0T A γγ=.证明： 根据题意，存在非退化线性替换X CY =使得222211()p p r f X y y y y +=++---且0,0p r p >->，取012(,,,)(0,0,,1,1,00)T n Y y y y ==其中第,1p p +个分量是1，其余均为0，此时取0CY γ=，显然0,γ≠使0T A γγ=。
实对称矩阵与实二次型
0 1 3 1 0 0
( A, E) 1
0
1
0
1
0
r112 r2
3 1
0
0
1
5 2
1 0 1
5 2 1
0
1 0 0
1 2 1
0
0
0
1
r2
r1
,
r3
5 2
r1
c2
c1
,c3
5 2
c1
1 0 0
0
1 7 2
0
7 2 25 4
1
1 5 2
1
2 1
2 5
（主轴定理 由定理3.8 移植）
例4 用正交变换化简实二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 3x22 2x1x2 4x1x3 4x2 x3
解
3 1 2
A 1 3 2
2 2 0
1
作正交变换x Qy,
Q
2 1
2
0
1
3 1
3 1
3
1
6 1
,
6
2
6
例五
f化为标准形
例 3 f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 7x22 2x32 4x1x2 2x1x3 x2 x3
3 2 1
A 2 7 12,
1
1 2
2
g( y1,
y2 ,
y3 )
b1 y12
b2
y
2 2
b3 y32
b1
B
b2
diag (b1 ,
b2
,
b3
).
b3
只含平方项，不含交叉项的二次型（即满足i j时aij 0）称为标准形.
对称矩阵
ij ji ,
i , j 1,2,n,
所以A为对称矩阵．
§6 对称矩阵的标准形
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 要证 ( ) W , 即证 ( ) W . 对 W ,
§6 对称矩阵的标准形
有 即
( , ) ( , ),
( , ) ( , ).
( , ) 0
又 ,
即 , 正交．
２．
(定理7)对 A R
nn
, A A, 总有正交矩阵T，使
T AT T 1 AT diag(1 , 2 ,, n ).
所以 W 是 W 上的对称变换． 由归纳假设知
W
有n－1 个特征向量 2 , 3 ,, n
构成 W 的一组标准正交基．
§6 对称矩阵的标准形
从而 1 , 2 , 3 ,, n 就是 R n 的一组标准正交基，
又都是 R n 的特征向量． 即结论成立．
3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
标准正交基下是相互确定的： ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 事实上，设 A R
nn
, A A,
1 , 2 ,..., n 为V的
一组标准正交基． 定义V的线性变换 ：
( 1 ,... n ) ( 1 ,... n ) A
则 即为V的对称变换．
§6 对称矩阵的标准形
n n i , ( j ) i , akj k akj ( i , k ) k 1 k 1
aij ( i , i ) aij
第3节 二次型和对称矩阵的有定性(12.10)
(2) f ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 − 2y32;
(3) f (z1 , z2 , z3 ) = z12 + z22 .
定理4.6 设 n元二次型 f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = d1 x12 + d2 x22 ⋯ + dn xn2 则二次型 f ( x1, x2 ,⋯, xn ) 正定 ⇔ di > 0 ( i = 1, 2,⋯, n).
例题 判断下列二次型是否正定？ (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6x2 x3
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
例题 试问 t 为何值时, 二次型
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk 称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
顺序主子式的概念 设 A = (aij ) 是一个 n 阶矩阵, 将其如下形式的子式
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk
称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
例题 求下列矩阵的所有顺序主子式：
⎛1 1 1⎞
(1)
A
=
⎜ ⎜
1
2
3 ⎟⎟;
⎜⎝ 1 3 5 ⎟⎠
⎛0 1 1⎞
(2)B
=
⎜ ⎜
1
0
3
⎟ ⎟
.
实对称矩阵A正定
k1
c1
Y
0
k2
,
X0
CY
0
c2
,
kn
cn
则，
f (c1,c2, ,cn ) X0 AX0 Y0(CAC )Y0 g(k1,k2, ,kn )
§4 正定二次型 © 2009, Henan Polytechnic University
正定. 取
Xi (0,
,0, 1 ,0, 第i个
, 0)
则 f ( Xi ) XiAXi aii 0, i 1, 2, , n
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88
注意
第五章 二次型
反之不然. 即， A (aij )nn 为对称矩阵，且
同理，若 g 正定，则 f 正定.
所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
§4 正定二次型 © 2009, Henan Polytechnic University
44
定理1
第五章 二次型
n元实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 正定
充分必要条件是它的正惯性指数等于n.
证：设 f ( x1, x2 , , xn )经非退化线性替换 X CY 变成标准形
１．、正定二次型
第五章 二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2, , xn ) 若对任意
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2
二次型及其矩阵表示
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
第六章-第六章二次型与对称矩阵第三讲
1 -1
A1 =1,
A2
= -
1
=2, 3
A3 = A = 6.
由定理4.5知f 正定.
解法4 用配方法，得
f =(x1-x2)2+2x22+3x32. 得f 的标准形为
f =y12+2y22+3y32.
由定理4.2知f 正定.
定义4.3 对实对称矩阵A, 如果实二次型 f(x)=xTAx正定(或负定、半正定、半负定、不定), 则称A是正定(或负定、半正定、半负定、不定)矩阵
关于正定矩阵的判定：
1o 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A可以 合同于一个主对角元全为正数的对角矩阵.
2o 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特 征值全大于零.
3o 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所 有顺序主子式值全大于零.
4o n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A 的正惯性指数p=n.
定理4.3 实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条 件是A的特征值全大于零.
考察实二次型的任意标准形与规范形之间的关 系. 易知一个实二次型正惯性指数为p的充分必要 条件是它的任意标准形中恰有p个平方项的系数大 于零. 因此又有
定理4.4 n元实二次型f(x)=xTAx正定的充分必 要条件是它的正惯性指数为n.
由定理4.2可知f 正定.
解法2 求二次型f 的矩阵A的特征值. 由
λ- 1 1 0 λE - A = 1 λ - 3 0
0 0 λ- 3
= (λ - 3)(λ2 - 4λ + 2)
可知A的特征值为
λ1=3, λ2=2 + 2, λ3=2 - 2.
由定理4.3知f 正定.
解法3 二次型矩阵A的三个顺序主子式值分别为
线性代数二次型讲解学习
线性代数二次型、二次型及其矩阵二次型与对称矩阵1定义：含有n 个变量的二次齐次函数:f (X 「X 2，卅,X n )a11X 1 a 22X 22 ann X n2a i2X i X 2 2a i3X|X 31112a (n 1)n X n 1X n称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令aij a ji，则二次型为:f 化险川各）III MXa 〔2 x 〔 X 2O|1 x〔n i,j 1a11a12a1nX1a21a22an1an2a2n，annX 2Xnf (X 1,X 2,|||,X n )X T A X ，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是 对应关系，故称对称矩阵 A 为二次型f 的秩于是得解 由于A 不是对称矩阵，故A 不是二次型X AX 的矩阵•因为次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型, R(A)也称为二12 3 X 1 A 01 1 , XX 2 3 3 2X 3求二次型X AX的矩 巨阵•例2 1 2 3 X AX （X 1,X 2,X 3） 01 1 3 32 X 1 X 2X 3f （X 1，X 2，X 3） x ； 2x ； 3x f 5x 1x 2 7X 2X 3试求二次型矩阵 A. 解an1 , a 222 ,a 333 , a 12a 21a 23a 315 2 9 22 ，f（N ，X 2，X 3）5929 2 7 2X1X2已知三阶矩阵A 和向量X,其中2 2 2x 1 x 2 2X 3 2X 1X 2 6X 1X 3 4X 2X 3 ,故此二次型的矩阵为、线性变换 1 标准形显然：其矩阵为对角阵。
2线性变换y 1, y 2,川,y n 的一个线性变量替换，简称线性变换。
y 1y 2，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy y n 若C 0 ,称线性变换为满秩(线性)变换(或非退化变换)，否贝称为降秩(线性)变换(或退化变换)。
f (X1,X 2,川,X n ) x T Ax (Cy)T A(Cy) y T C T ACy y T By ，其中定义：形如d 1xf d 2x ；d n X ；的二次型称为二次型的标准形。
3二次型和对称矩阵的正定性.ppt
型.因为对任意的 X (x1, x2 ,, xn )T 0,有 f (x1, x2 ,, xn ) 0.
而二次型 f (x1, x2 ,, xn ) x12 x22 xr2 (r n)不是 正定二次型.因为对任意的 X (0,,0, xr1,, xn )T 0,有
证明:
必要性 : 设二次型 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX , ( AT A)正定,
在通过可逆线性替换X CY化成的标准形
d1x12 dk xk2 dn xn2也正定.
根据定理5.6,必有di 0(i 1,2,,n).由此可得二次 型的正惯性指数p n.
由于A的各顺序主子式 det Ak 0, k 1,2,, n.
根据归纳假设 , An1为正定矩阵. 所以, 存在n 1阶可逆矩阵 D, 使得DT An1D En1.
令
C1
D 0
则
An11
1
nn
C1T
AC1
DT
A T 1 n1
0 1
充分性 : 设二次型 f (x1, x2 ,, xn )的定惯性指数为 n.
则此二次型通过可逆线性替换可化为规范性
z12 z22 zn2
这是一个正定二次型.根据定理5.5, 原二次型
f (x1, x2,, xn ) X T AX也是正定二次型.
推论1 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合 同于单位矩阵E.即存在可逆矩阵C, 有
记d ann T An11 ,
第六章-第六章二次型与对称矩阵第一讲
1 1 1 1 1 1 1 1
E A 1 1 1 1 ~ 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0
1
1 1
1
0
0
0 0
同解方程组 x1 x2 x3 x4 ,
x1 1 1 1
即
x2 x3 x4
k2
10 0k301 0k40 0 1
，
1
0
令
y1 y2
x1
x2 x3, x2 2x3,
即
x1 y1 y2 y3,
x2
y2 2 y3,
y3
x3,
x3
y3.
所用的可逆线性变换为
x1 1 1 1 y1
x2
0
1
2
y2
.
x3 0 0 1 y3
则该变换把 f 化成标准形为
f y12 y22 .
(1)的左边是一个二次齐次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准型的过程就是通过变量的线性变换 化简一个二次齐次多项式, 使它只有平方项.
现在我们把这类问题一般化, 讨论n个变量的二 次齐次多项式的化简问题.
4.1 二次型概念
定义1.1 n个变量x1 , x2 ,…xn的二次齐次多项
式 f (x1, x2 , , xn ) 称为n元二次型, 实数域上的二次
y=P-1x
(4)
称为(3)式的逆变换.
今后关心的，就是用可逆线性变换化简二次型。
设x=Py是可逆的线性变换, 将二次型化为
f =(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y. 令 B=PTAP, 则B是对称矩阵, yTBy是新变量 y1,y2, …,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩 阵A、B间的这种关系称为合同关系.