金融风险度量：一个文献综述

2. 金融风险度量原则
对于金融风险度量过程中需要遵循的原则，许多学者在这一领域也做出了长期的努力。 目前较为完备的风险度量原则体系主要包括 PS 体系、ADEH 体系以及由保费定价衍生出的 WYP 体系。
2.1 PS 体系
Pedersen & Satchell (1998)通过对当时一系列风险度量函数 （如方差、 偏方差等） 的讨论， 将风险度量理解为风险 X 与某一特定值的偏离程度的度量，并在此基础上归纳了四个风险 度量原则，简称为 PS 体系。 PS 体系包括： （1）非负性（non-negativity） ：R(X)≥0； （2）正奇次性（positive homogeneity） ：R(cX)≥cR(X)，其中 c≥0； （3）弱可加性（subadditivity） ：R(X+Y)≤R(X)+R(Y)； （4）位移不变性（shift-invariance） ：R(X+c) ≤R(X)，其中 c 为常数。
1. 引言
有关风险和风险度量的文献可谓是汗牛充栋，这些文献涉及到诸如金融、保险、经济、 管理和心理学等诸多学科领域。本文着重讨论的是有关金融风险（Financial Risk）的度量问 题。根据 Artzner, Delbean, Eber & Heath (1999)的定义，可以将金融风险定义为一个金融头 寸引致的所有可能经济结果，因此金融风险可以定量地描述为一个随机变量 X。例如，X 可 以定义为一项投资在一定时期内的账面价值或市场价值的回报率， 也可以看作企业 （银行或 实业公司）的年资本收益率，或者定义为保险公司年累积赔付额。显然，风险度量（Risk Measurement）就是把风险转化为一个实际值的过程，即 ρ=R(X)。 为了更好地度量风险许多学者提出了众多的风险度量方法（ Risk Measures ） ，根据 Albrecht(2004)的观点，风险度量方法可大致归为两类：一类是度量风险与某一目标值之间 的离散程度（下文中称其为“第一类风险度量” ） ；另一类则是度量为了弥补潜在损失所需准 备的资本或风险溢价（下文中称其为“第二类风险度量” ） 。 第一类风险度量方法的典型代表就是 Markwitz(1952)提出的以“均值—方差”为分析框
3. 金融风险度量方法
3.1 标准差（或方差）
如果把风险理解为“实际结果与预期的偏差” ，那么使用标准差作为风险的度量函数似 乎是合情合理的。正是基于这一思想，Markwitz(1952)提出的以“均值—方差”为分析框架 的资产组合选择理论。在该理论中，Markwitz 将均值视为收益水平的度量，方差（或标准 差）视为风险水平的度量。正是得益于这一开创性的工作，现代金融学取得了惊人的成功。 不过标准差（或方差）不满足一致性原则中的单调性原则和平移不变性原则，因此它不是一 个一致性风险度量。
2.2 ADEH 体系
Artzner, Delbean, Eber & Heath (1999)从另一个角度来探讨风险度量原则， 他们将风险度 量看作是对资本需求的度量， 即在一定时期内企业至少应储备多大的资本量来满足企业的安 全保障要求，简称该体系为 ADEH 体系。 ADEH 体系包括： （1）弱可加性（Subadditivity） ：R(X+Y)≤R(X)+R(Y)。该式表明，两个风险组合的总体 风险水平不会超过它们单个风险水平之和； （2）单调性 （Monotonicity） ： 如果在任意情况下都有 X Y，那么 R(X)≤R(Y)。 该式表明， 在所有可能的结果下，如果一种风险造成的损失较大，那么它的风险水平就应该更高，同时 对于任意的非负风险 X，均有 R(X) ≥0； （3）正奇次性（Positive Homogeneity） ：对任意正数 c，均有 R(cX)=cR(X)。该式表明， 对于金融风险度量而言不应受计量单位的影响。 （4） 平移不变性 （Translation Invariance） ： 对于任意的确定损失 α， 均有 R(X+α)= R(X)+α。 该式表明，风险 X 在增加一个确定的损失值后其风险水平也会增加一个相等的确定值。
3.2 Biblioteka BaiduaR
VaR（Value at Risk）是在金融业中得到广泛应用的风险度量方法（Jorion, 1997） 。它是 在一定概率条件下 （譬如 α = 99％） 的最大可能损失。 或者说， VaR(α)是在最大的 100(1-α)% 损失中的最小损失。假设风险 X 的累积分布函数为 F(x)，VaR(α)可用数学的语言表述如下： P [X≤VaR(α)]= α VaR 目前已成为金融学界和业界均十分看重的一个风险度量方法，Duffie&Pan(1997)做了一 个较为全面的综述。 不过随着研究的深入， VaR 的一些理论缺陷也逐步的暴露出来。 例如从包含的统计信息 而言，VaR 仅仅考虑了损失发生的概率，而没有充分考虑损失的额度。更为重要的是，作为 一个风险度量函数，VaR 不满足“一致性原则”中的弱可加性（Subadditivity） 。因此许多学 者都对 VaR 提出了相应的批评，如 Artzner, Delbean, Eber & Heath (1997, 1999)、Rootzen & Kluppelberg(1999) 都证明了 VaR 不满足弱可加性， 而 Embrechts (2000)则给出了一个较为详 细的批评性回顾。
架的资产组合选择理论。在该理论中，Markwitz 将均值视为收益水平的度量，方差（或标 准差） 视为风险水平的度量。 正是得益于这一开创性的工作， 现代金融学取得了惊人的成功。 第二类风险度量方法的典型代表就是目前已广泛应用于金融领域的 VaR 技术。它是指在一 定概率条件下（表示为）的最大可能损失。假设风险 X 的累积分布函数为 F(x)，VaR(α)可 表述为：Pr[X≤VaR(α)]= α。从统计学的角度看，VaR 就是累积概率 α 所对应的分位数。 近年来， 对于金融风险度量的研究取得了令人瞩目的进展， 这主要表现在以下两个方面： 首先是针对第二类风险度量方法应该遵循的原则被广泛讨论； 其次许多性质良好的风险度量 方法的大量提出与应用。 因此本文将从金融风险的度量原则、 度量方法及其估计三个方面进 行相关的文献综述与评论。
风险度量在保险领域中一个至关重要的应用就是保费定价，即对于保险风险 X 如何合 理地选取定价函数 H(X)计算保费，用以满足未来的赔付要求，显然保费定价函数 H(X)通常 可以看作是保险人对 X 的风险度量。 Wang, Young&Panjer(1997) 在 Yaari(1987) 提出的“ dual theory ” （对偶效用理论） 、 Schmeidle(1986)和 Denneberg(1994)深入讨论的“Comonotonic” （同变性）以及 Choquet 积分 的基础上，认为保费定价函数 H(.)应满足以下四个公理化假设： （1）条件状态独立性（Conditional State Independence） ：给定市场条件下，保险风险 X 的定价仅仅依赖于自身的概率分布； （2）单调性（Monotonicity） ：对于两个风险 X、Y，如果在任一状态 ω 均有 X(ω)≤Y(ω)， 那么 R(X) ≤R(Y)； （3）同变可加性（Comonotonic Additive） ：如果 X 和 Y 具有同变关系（comonotonic） ， 即存在另外一个随机变量 Z 和实值函数 f 和 h， 使得 X = f(Z)， Y = h(Z)， 则有 H(X + Y) = H(X) + H(Y)； （4）连续性（Continuity） ：对于风险 X，H(.)应满足下面两个式子（其中 d 为非负常数） ：
d 0
lim H max ( X d ),0 H ( X )
d
lim H min X , d H(X )
上面第一个式子表明，当 X 出现一个微小的变化时，其定价也相应变化；第二个式子表明， 可以用 X 的上限来逼近其度量值。
2.4 其他的原则体系
除了上述三个体系之外， 还有很多学者提出了其他的一些风险度量原则体系。 不过这些 体 系 通 常 可 以 看 作 是 上 述 三 个 体 系 ， 特 别 是 ADEH 体 系 的 某 种 扩 展 。 Rockafellar&Uryasev(2002)认为风险度量除了满足 ADEH 体系的 1-3 原则外，还应满足“底 期望原则” （Expectation-Boundedness） ，即对于风险 X，其风险度量|R(X)| ≥|R(Y)|。唐爱国、 秦宛顺（2003）提出的“广义随机占优单调一致风险测度”则认为，风险度量原则除了满足 ADEH 体系的四个原则之外，还要满足“n 阶广义随机占优单调性公理” ：当效用函数 U(X) 为拟线性效用函数，且风险 X 在 n 阶随机占优于风险 Y，则 R(X)≤R(Y)。 虽然风险度量原则不止一种，学者也存在诸多争论，但是 ADEH 体系的广泛认可和接 受已是不争的事实， 例如 Szego (2002)认为 ADEH 体系是目前最为完整和合理的风险度量原 则。因此如果对一个风险度量方法进行评判，符合 ADEH 体系已经成为“好”风险度量的 一项重要标准。
ADEH 认为如果一个风险度量函数满足 ADEH 体系的要求，那么这个风险度量函数就 可以称为一致性风险度量（Coherent Risk Measure） ，因此 ADEH 体系通常被称为风险度量 的一致性原则（Coherent Principle of Risk Measure） 。
2.3 WYP 体系
金融风险度量：一个文献综述
滕帆 浙江大学宁波理工学院，浙江宁波 315100
摘 要：近年来，对于金融风险度量的研究取得了令人瞩目的进展，这主要表现在金融风险 度量原则、风险度量方法的提出和广泛应用。通过对风险度量的原则、方法及其估 计的文献回顾， 本文的结论主要包括三个方面： 其一风险度量方法的创新应基于一 致性原则；其二 ES（或 TailVaR）因其优良性质完全可以取代 VaR 而被广泛应用； 其三则是对金融风险度量值估计的研究仍显薄弱，需要更加重视。 关键词：金融风险、风险度量原则、风险度量方法、风险度量值
An Overview of Financial Risk Measurement
Abstract: There are many dramatic developments in the field of risk measurement in recent years, such as introduction and widely use of its principles and methods. With an overview of principles, methods and estimation of risk measurement, it is concluded that (1) the innovation of new risk measures should be based on coherent principles, (2) ES (or TailVaR) can be more widely used than VaR because of its good properties, and (3) it more and more emphasis should be laid on ―risk estimator‖. Keywords: Financial risk, Principle of risk measurement, Risk measures, Risk estimator
3.3 TailVaR
自从 Artzner 等人对 VaR 作为风险度量工具的可行性提出置疑以后， 研究人员开始从不 同的角度探索可以替代 VaR 的一致性的风险度量工具， 此时 TailVaR 也就应运而生。 TailVaR 也被称作条件尾部期望（TCE, Tail Conditional Expectation）或条件 VaR（CVaR, Conditional Value at Risk） ，它是超过 VaR(α)的损失的期望值。Artzner, Delbean, Eber & Heath (1999)对其 进行了较为严格的数学定义。对于连续型分布函数，TailVaR(α)的数学公式为： TailVaR(α) = E[ X | X VaR( )] = VaR( ) E[ X VaR( ) | X VaR( )] 如果损失分布是离散型函数，则由于有可能出现 Pr[X > VaR(α)] < (1–α)的情况，所以 TailVaR(α)的数学表达式更为复杂一些： TailVaR(α) = VaR( )